初三奥数竞赛初赛试题.docx

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初三奥数竞赛初赛试题

全国初中数学竞赛

一、选择题（本大题满分

50分，每小题5分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案

的字母

代号填写在下表相应题号下的方格内

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

1、3－x的相反数是－6,那么x的值为

A．－3

B．3

C．6

D．9

2、从甲、乙两名男生和A、B两名女生中随机选出一名男生和一名女生，则恰好

选中甲男生和A女生的概率是

A．1

B．3

C．1

D

．1

2

4

8

4

E

C

3、如图1，∠AOB=180°，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，

D

则下列各角中与∠

COD

A

O

B

的互补的是

A．∠COE

B．∠AOC

C

．∠AOD

D

．∠BOD

图1

4

、如图，在

Rt△ADB中，∠D°，C为AD上一点，∠ACB＝x，则x值可以

2

=90

6

是

A．10°

B．20°C．30°D．40°

5、已知a是质数，b是奇数，且a2

Ｂ

b2013，则a＋b＋2的值为

A．2009

B．2011

C．2013

D．2015

6x

Ｄ

Ａ

6、有这样的数列：

3、7、12、18、25，则第

10个数是

Ｃ

图2

A．65

B

．70

C

．75

D

．80

7、轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，

当这条河的水流速度增大（水流的速度总小于船在静水中的速度）时，船往

返一次所用的时间将

A．增多B．减少C．不变D．以上都有可能

8、如图3，矩形AOBC的面积为8，反比例函数y

k的图象经过矩形的对角线的

x

交点P，则反比例函数的解析式是

A．

8

B．y

2

C

4

1

y

x

．y

D．y

x

x

x

y

Ａ

y

A

C

O

x

P

A

M

O

Bx

Ｂ

Ｃ

图3

图5

图4

9、图4是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点落在小正方形的

顶点上．在网格上能画出三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴

对称的三角形共有

A．5个B．4个

C．3个

D．2个

10

、如图

5

是半径为

2

的圆，圆心

A坐标为（

1

，－），点M是圆上的动点，

1

则点M的坐标不可能为

A．（2，0）B．（0，－2）C．（2，－2）

二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）

11、分解因式:

9

x2

xy

y

2

＝_________________．

－

12

＋4

12、计算：

25

5

2

5＝__________．

2

5

13、若

2x1

4x

128

，则

x的值为

．

__________

D．（1，－2）

y

A

B

Ox

图6

14、已知关于x的方程x2－4x＋a＝0的两个实数根x1、x2满足3x1－x2＝0，则a

＝________．

15、在△ABC中，AB＝5，AC＝9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是

__________．

、如图，在平面直角坐标系中，直线

AB由直线y

x沿x轴向左平移

3

个单

16

6

=3

位长度所得，则直线AB与坐标轴所围成的三角形的面积为A

．D

17、如图

，已知正方形ABCD中，点M在边CD上，且DM＝，

7

3

M

MC

AM

A

顺时针旋转，使点

M

落在

BC

所在B

C

＝1，把线段

绕点

图7

C

D

AEB

的直线上的点N处，则N、C两点的距离为__________．

18、如图8，在△ABC中,AB＝10,∠BAC的平分线

AD交BD于点D，且BD⊥AD，DE∥AC交AB于E，

则DE的长是__________．

三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）

19、海南省某种植园收获香蕉20000千克，其中香牙蕉12000千克、黄帝蕉8000

千克，准备运往海口与文昌销售；根据市场供需，海口需要香蕉15000千克，

．．

文昌需要香蕉5000千克，海口与文昌两地的香蕉售价如下表所示：

价格

品黄帝蕉

香牙蕉

种

（元/千克）（元/千克）

地区

海口

5

4.8

文昌

4.2

3.6

（1）若该种植园供应海口市的香牙蕉与黄帝蕉的比是2：

1，请问该种植园供应文昌市的香牙蕉与黄帝蕉各是多少千克？

（2）若海口与文昌的香蕉都能在保质期内销售完，请你设计一种销售方案，使销售的收入最大，并估算出获得的最大销售收入.

、如图

，在平面直角坐标系

xoy内，正方形

AOBC的顶点A、O、B、C的

20

9

坐标分别为（

，）、（，）、（，）、（、），过点B的直线MN与OC平

0

1

0

0

1

0

1

1

行，AC的延长线交MN于点D，点P是直线MN上的一个动点，CQ∥OP交MN于点Q.

（1）求直线MN的函数解析式；

M

（2）当点P在x轴的上方时，求证:

△OBP≌△CDQ；

y

C

Q

A

D

猜想：

若点P运动到x轴的下方时，

△OBP与△CDQ是否依然全等？

（不要求写出证明过程）

P

（）当四边形OPQC为菱形时，

O

B

x

3

①请求出点P的坐标；

②请求出∠POC的度数.

E

图9

N

初中数学竞赛初赛试题

参考答案

一、选择题（本大题满分50分，每小题5分）

题号12345678910

答案ADCBCCABAD

答案提示：

4、由三角形外角大于任何一个不相邻的内角与∠ACB小于180°可知90°＜6x＜180°，由此可得

15°＜x＜30°，故选择B．

5、a是质数，b是奇数，且a2b2013，所以a、b必是一奇一偶，所以可求

得a=2，b=2009，所以a＋b＋2=2013．

6、由数列3、7、12、18、25可判断存在的规律为：

第①个数为3，第②个数为3+4，第③个数为3+4+5，第④个数为3+4+5+6，第⑤个数为3+4+5+6+7

如此可断定第⑩个数为3+4+5++12=75,故选择C．

7、设两码头之间的航程为S，船在静水中的速度为a，水流的速度为b，则船顺

水所需的时间为

S

船逆水所需的时间为

S

，则船往返一次所需的时间为

a

b

a

b

S+S

=

22aS2由此可判断船在静水中的速度不变与水流的速度总小于船

ababa

b

在静水中的速度的条件下，水流的速度

b越大，a2－b2越小，船往返一次所需的

2aS

时间为a2

b2就越大，故选择A．

y

8、由矩形AOBC的面积为8，可求矩形PEOF的面积为2，A

C

又点P在第一象限，所以K=2，故选择B．

E

P

OFBx

图3

9、如图，分别以大的正方形中间”十”字所在的直线为对称轴可画出

2、3两

图，分别以正方形对角线所在直线为对称轴可画出

4、5两图，再加上第1幅图，

总共有5个符合条件的三角形，故选择A．

y

O

x

A

M

图5

10、若点

M在圆上，点M与圆心A

的距离等于圆的半径2，容易判断点（

2

，）

0

是圆A与X轴正半轴的交点、点（

0

，－）是圆A与y轴负半轴的交点，另外，

2

可以通过构造直角三角形判断点（2，－2）与圆心A的距离等于

2，也可以用两

点公式求出点（2，－2）

与圆心A的距离等于

2，因此A、B、C三个选项中的点

均在圆上，而点

（1

，－

2）

与圆心A

的距离等于

，小于圆A的半径，点

（1

，－

2）

1

不在圆上，故选择

D．

二、填空题（本大题满分

40分，每小题5分）

2

12

、

5

13

、2

14

、3

15

、2＜x＜7

11、（3x－2y）

16、13.517

、1或7

18

、5

答案提示：

12、255

25

5（2

5）

25

525

5

2

5

2

5

13、由

2x1

4x

128

得

2x

122x

27

所以有

（x

1）2x

7所以x的

值为2．

因为关于x的方程x2－4x＋a=0的两个实数根为x1、x2，由根与系数的关系得

x1+x2=4，所以3x1

x2

0，解得

x1

1，所以a=3．

x1

x2

4

x2

3

15、构造右图，延长中线

ADA’

，使

ADA’D

A

到

=

，

BDC

A’

可证△ABD≌△A’CD，

设AD=x，AA’=2x，由三角形三边不等关系可得

9－5＜2x＜9+5，从而有2＜x＜7．

16、设直线AB的解释式为y=3x+b，由题意可知直线AB过点（－3、0），故

b=9，所以直线AB与y轴的交点为（0，9），则直线AB与坐标轴所围成的三角

形的面积为3×9÷2=13.5平方单位．

17、如图7，把线段AM绕点A画弧，可见N、C两点的距离存在两种情况：

①点N在边BC上，②点N在边CB的延长线上；可以证明△ADM≌△ABN≌△ABN’，所以有BN=BN’=DM=3,所以N、C两点的距离是：

1或7．

AD

18、提示：

可证AE=DE，BE=DE，由此得到DE的长是5．

三、解答题（本大题满分30分，每小题15分）

N’B

N

M

C

19、解：

图7

（1）设种植园应向海口供应的黄帝蕉有x千克,则向海口供应的香牙蕉有2x千克,根据题意列方程得：

2x+x=15000，解得：

x=5000，则2x=10000

所以种植园供应文昌市的香牙蕉应为12000－10000=2000千克，植园供应文昌市

的黄帝蕉应为5000－2000=3000千克．

（2）设应安排m千克香牙蕉在海口市销售，则在海口市销售的黄帝蕉为（15000

－m）千克；在文昌市销售的香牙蕉与黄帝蕉分别为（12000－m）千克、（m－7000）千克，则这批香蕉的销售收入y与m的函数关系式为：

y=4.8m+5（15000－m）+3.6

（12000－m）+4.2（m－7000）

即y=0.4m+88800（7000≤m≤12000）

从函数关系式看m的值越大，销售收入y就越大，即香牙蕉应尽可能多地安排在

海口市销售，所以若要使销售收入最大，需安排12000千克香牙蕉与3000千克

黄帝蕉在海口市卖，安排5000千克黄帝蕉在文昌市卖，最大销售收入为y=0.4

×12000+88800=93600（元）．

20、

解：

（1）设直线OC的解析式为y=kx，

∵直线OC过点C（、），∴k

=1,

∴直线OC的解析式为yx

11

=

∵直线MN与OC平行，

∴可设直线MN的解析式为y=x+b，

∵直线y=x+b过点B（1，0），

∴b=－1,∴直线MN的函数解析式为y=x－1

（此题也可以通过求点B、D的坐标，再利用待定系数法求直线MN的解析式）

（2）当点P在x轴的上方时∵四边形AOBC是正方形

∴OB=BC，∠BCD=∠ACB=90°，∠BCO=45°

又MN与OC平行

∴∠

CBD

∠BCO∠BDC

°，∴BCOBCD

M

=

=

=45

==

y

AC∥OB知AD∥OB

∴∠OBP

∠CDQ

Q

由

C

=

A

D

CQ∥OP∴∠OPB

∠CQD

∵

H

=

P1

∴△OBP≌△CDQ

O

BF

x

同理可知，若点P运动到x轴的下方，△OBP与△CDQ依然全等

（3）

E图9

P2

A

N

①设点P的横坐标为（a，b）

因为点P在直线yx－

1

上，则点

P的坐标可表示为（a，a－

）

=

1

若四边形OPQC为菱形，则有OP=OC=2

作PF⊥x轴于点F，在Rt△OPF中有

2

2

2

2

（a1）2

2

OF+PF=OP即a

解得：

a1

1

3，a2

1

3

则b1

31，b2

31

2

2

2

2

即当四边形OPQC为菱形时，

点P的坐标为（1

3，

31）或（1

3，

31）

2

2

2

2

②

由①知点P存在两种情况使四边形OPQC为菱形，

即点P在第一象限与第三象限

ⅰ）当点P在第一象限时（如点P1），

方法一（如图9A）：

过点C作CH⊥MN于点H，则△CHQ是直角三角形，

由

（2）的证明可知△BCD是等腰直角三角形，且BC=OB=CD=1∴CH=2,

2

若四边形OPQC为菱形，则有CQ=OC=2，

∴

CH

1

OC∴∠CQH°

∴∠P1OC

°

=

=30

=30

2

方法二（如图9B）：

连接

AB

交

OC

G

P1

作

P1H

OC

H

于点

，过点

⊥

于点

则△OP1H是直角三角形，

在正方形AOBC中有AB⊥OC，又MN∥OC，

M

y

Q

∴∠

BGH

P1HG∠GBP1

=90

°

A

C

D

=∠

=

H

∴四边形P1BGH是矩形，

G

P1

又四边形OPQC为菱形

O

BF

x

∴P1H=BG=1AB=1OC=1OP1

E

P2

图9B

2

2

2

P1OC

°

N

∴∠

=30

ⅱ）当点

P在第三象限时（如点P2

），

令x=0，则y=x－1=－1，即直线MN与y轴的交点E的坐标为（0，－1）

则OE=OB，则∠OEB=∠OBE=45°则∠OEP2=∠OBP1=135°

又四边形OPQC为菱形

∴

OP2OP1

OC

∴∠OP2E∠OP1B

=

=

=

∴△OP2E≌△OP1B（AAS）

∴∠EOP2=∠BOP1

∵∠BOP1=∠BOC－∠P1OC=45°－30°=15°

∴∠EOP2=15°，∴∠P2OC=150°

综合以上论述可知，当四边形OPQC为菱形时，∠POC的度数为30°或150°