测量平差的数学模型.docx

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测量平差的数学模型

本节重点：

（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：

条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；

（2）测量平差的随机模型。

本节教学思路：

首先说明平差的数学模型分两类：

函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立

的方法和模型的具体形态。

教学内容：

一、平差模型的定义与分类

1•从模型的性质分：

函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；

2•函数模型又分为：

条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；

二、各类函数模型的建立

（一）概述

1•函数模型定义：

在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或

内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。

2.函数模型的意义与特点

函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。

对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方

法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。

函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线

性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。

（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。

1.条件平差法及其函数模型

首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。

A

图2-2

在图2-1中，观测了三个内角，n=3,t=2，贝Ur=n-1=1,存在一个函数关系式（条件方

程），可以表示为：

LiL2L3-180=0

令

A

13=[111]

31=[L1L2L3]T

Ao=[-18O]

则上式为

ALA0~0（2-2-1）

再如图2-2水准网，

D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为

〜〜

[hi

611

〜〜〜〜〜

h2h3h4h5h6]

其中n=6，t=3，则

r=n-t=3，应列出3个线性

无关的条件方程，它们可以是：

Fi（~）*-h2-~4=0

F2（~）-~3E=0

F3（~）=~_忘_~6=0

j

-1

0

-1

0

01

A=

0

1

-1

0

1

0

3>6

1

0

-1

0

0

-1

则上面条件方程组可写为

般而言，如果有n个观测值Ll，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程,

（2-2-3）

则（2-2-4）式为

（2-2-6）

（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。

以此模型为基础的平差计算称为

条件平差法。

如图2-3的三角形ABC中，观测了三个内角L1、

L2、L3,门=3,t=2,r=n-t=1，平差时选/A为平差参数X，即u=1，此时条件方程个数

应为r+u=2个，它们可以写成:

~1~2~3-180=0

J-X0

令

1110-180

A=|B=|A=

勺00一，:

0一

则上式可写成

A~BX~AQ=0

2-33-A2辺2>12击

一般而言，在某一平差问题中，观测值个数为n,必要观测个数为t，多余观测个数为

r=n-t，再增选u个独立参数，0

（2-2-7）

F（L,X）=0

c1

如果条件方程是线性的，其形式为

将L=■:

代入上式，并令

则得

A「B文—W=0

（2-2-10）

c〉nn1c：

：

uu》1c1

（2-2-8）或（2-2-10）式为附有参数的条件平差的函数模型。

3•间接平差法（参数平差法）及其函数模型

由前所述，一个几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时

若把这t个量都选作参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通过这t个独立参数就能

唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t个独立参数的函数。

选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。

如图2-3三角形ABC中，观测了三个内角Li、L2、L3,n=3,t=2,r=n-1=1，平差时

选/A、/B为平差参数Xl、X2，即X（X1、X2）,u=2，共需列出r+u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：

=X1

L2

方程的个数恰好等于观测值的个数。

X=

-I

X2）L=

（L1、L

*〜T

•2、L2）

-

j

01

-

01

B=

0

1

d=

0

-

-1

-1一

180一

（2-2-11）式可写为

L

=B文+d

3減

3>22>13>1

（2-2-12）

一般而言，如果某一平差问题中

观测值个数为

n,必要观测个数为

t，多余观测个数

则

形式为

4.附有限制条件的间接平差及其函数模型

如果在某平差问题中，选取u>t个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个

参数必定是t个独立参数的函数，即在U个参数之间存在着s个函数关系式。

方程的总数

c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s

个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。

其函数模型的一般形式为

5.附有条件的条件平差（综合平差模型）及其函数模型

上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了相应的要求，如：

条件平差u=0;附有参

数的条件平差0

接平差u>t，要求包含t个独立参数。

附有条件的条件平差的基本思想是：

对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论u

u=t或是u>t，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程

的总数为r+u个。

如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s

个函数关系式，则应列出s个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再列出

c=r+u-s

个形如（2-2-8）的一般条件方程，形成如下的函数模型

Fi（L，X）

若为线性形式，则为

ALB£Ao=0

c：

：

nn1c》uu1c1

cX-^=o

suu1s1

考虑到L-L.：

，贝y

A•：

B£—W0cnn》1c》」uu1c1

cX-w=o

suu>1s1

这就是附有条件的条件平差的函数模型。

（三）平差的随机模型

但测量元素是存在误差的，因

函数模型反映了测量控制网中各几何元素间的数学关系,此还必须建立观测值向量馬及相关量的随机模型，亦即观测向量的协方差阵:

221

D=0Q-；0P

nnnnnn

（2-2-21）

（2-2-22）

（2-2-23）

（2-2-24）

（2-2-25）

_2

式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，'0为单位权方差。

（四）综述

图2-4

函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。

在进行平差计算前，函数模型和随机

模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P、QD其中之一。

一般是

2

按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。

0可以通过平差计算求出其估值，然后根

据公式D=：

?

0q求得D的估值。

（五）例题

例［2-1］如图2-4水准网中，A,B点为已知水

准点，R，P2点为待定水准点，观测高差为

m,h2,h3,h4

试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型:

1.按条件平差法；

2.若选R，B点高程为未知参数Xi,X2时；

3.若仅选P点高程为未知参数X时；

4.若选h2，h3的平差值为未知参数Xl,X2时；

5.若选hi，h2，h3的平差值为未知参数Xl，X2,X3时。

解：

本题n=4，t=2，则r=n-1=2

1.按条件平差法应列出2个条件方程，它们可以是

h?

-h^=0

Ha+~+~2+h4-Hb=0

2.此时参数个数U=t=2，且不相关，属于间接平差，函数模型为

~i"i-Ha

2二-X「X2

h^-XiX2

~4=-文2Hb

3.U=t，属于附有参数的条件平差，方程个数为r^3

h2-h3=0

Hahih2h4-H0

Ham=0

4.u=t=2但相关，属于附有条件的条件平差。

方程总个数为r4个，应列i

个限制条件方程和3个一般条件方程。

函数模型为

Ho

Hahi）~iA-Hb=0

Hahi乂2位-Hb=0

乂i-文2=0

5.U=3.t且包含2个独立参数，属于附有条件的间接平差，限制条件方程个数为

S二u-t=1,观测方程个数为4个。

函数模型为

hi=X1

〜〜

h2=X2

h3二X3

~4=—HA-乂1-乂2HB

限制条件方程为

乂2_X3=0

爱人者，人恒爱之；敬人者，人恒敬之；宽以济猛，猛以济宽，政是以和。

将军额上能跑马，宰相肚里能撑船。

最高贵的复仇是宽容。

有时宽容引起的道德震动比惩罚更强烈。

君子贤而能容罢，知而能容愚，博而能容浅，粹而能容杂。

宽容就是忘却，人人都有痛苦，都有伤疤，动辄去揭，便添新创，旧痕新伤难愈合，忘记昨日的是非，忘记别人先前对自己的指责和谩骂，时间是良好的止痛剂，学会忘却，生活才有阳光，才有欢乐。

世界上没有不争吵的感情，只有不肯包容的心灵；生活中没有不会生气的人，只有不知原谅的心。

感情不是游戏，谁也伤不起；人心不是钢铁，谁也疼不起。

好缘分，凭的就是真心真意；真感情，要的就是不离不弃。

爱你的人，舍不得伤你；伤你的人，并不爱你。

你在别人心里重不重要，自己可以感觉到。

所谓华丽的转身，都有旁人看不懂的情深。

人在旅途，肯陪你一程的人很多，能陪你一生的人却很少。

谁在默默的等待，谁又从未走远，谁能为你一直都在？

这世上，别指望人人都对你好，对你好的人一辈子也不会遇到几个。

人心只有一颗，能放在心上的人毕竟不多；感情就那么一块，心里一直装着你其实是难得。

动了真情，情才会最难割；付出真心，心才会最难舍。

你在谁面前最蠢，就是最爱谁。

其实恋爱就这么简单，会让你智商下降，完全变了性格，越来越不果断。

所以啊，不管你有多聪明，多有手段，多富有攻击性，真的爱上人时，就一点也用不上。

这件事情告诉我们。

谁在你面前很聪明，很有手段，谁就真的不爱你呀。

遇到你之前，我以为爱是惊天动地，爱是轰轰烈烈抵死缠绵；我以为爱是荡气回肠，爱是热血沸腾幸福满满。

我以为爱是窒息疯狂，爱是炙热的火炭。

婚姻生活牵手走过酸甜苦辣温馨与艰难，我开始懂得爱是经得起平淡。

爱人者，人恒爱之；敬人者，人恒敬之；宽以济猛，猛以济宽，政是以和。

将军额上能跑马，宰相肚里能撑船。

最高贵的复仇是宽容。

有时宽容引起的道德震动比惩罚更强烈。

君子贤而能容罢，知而能容愚，博而能容浅，粹而能容杂。

宽容就是忘却，人人都有痛苦，都有伤疤，动辄去揭，便添新创，旧痕新伤难愈合，忘记昨日的是非，忘记别人先前对自己的指责和谩骂，时间是良好的止痛剂，学会忘却，生活才有阳光，才有欢乐。

不要轻易放弃感情，谁都会心疼；不要冲动下做决定，会后悔一生。

也许只一句分手，就再也不见；也许只一次主动，就能挽回遗憾。

世界上没有不争吵的感情，只有不肯包容的心灵；生活中没有不会生气的人，只有不知原谅的心。

人在旅途，肯陪你一程的人很多，能陪你一生的人却很少。

谁在默默的等待，谁又从未走远，谁能为你一直都在？

这世上，别指望人人都对你好，对你好的人一辈子也不会遇到几个。

人心只有一颗，能放在心上的人毕竟不多；感情就那么一块，心里一直装着你其实是难得。

动了真情，情才会最难割；付出真心，心才会最难舍。

你在谁面前最蠢，就是最爱谁。

其实恋爱就这么简单，会让你智商下降，完全变了性格，越来越不果断。

所以啊，不管你有多聪明，多有手段，多富有攻击性，真的爱上人时，就一点也用不上。

这件事情告诉我们。

谁在你面前很聪明，很有手段，谁就真的不爱你呀。

遇到你之前，我以为爱是惊天动地，爱是轰轰烈烈抵死缠绵；我以为爱是荡气回肠，爱是热血沸腾幸福满满。