一元一次方程学生讲义.docx
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一元一次方程学生讲义
3.1从算式到方程
3.1.1一元一次方程
知识点1
定义1:
含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程:
只含有一个未知数(元)x,未知数x的指数都是1(次),这样的方程叫做一元一次方程.例如:
1700+50x=1800,2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.
1、如果(m-1)x|m|+5=0是一元一次方程,那么m=___.
2、下列各式:
①3x+2y=1②m-3=6③x/2+2/3=0.5④x2+1=2⑤z/3-6=5z⑥(3x-3)/3=4⑦5/x+2=1⑧x+5中,一元一次方程的个数是( )
A、1 B、2 C、3D、4
3、若(a-1)x|a|+3=-6是关于x的一元一次方程,则a=__;x=___。
知识点2
方程的解:
使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.
注:
⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值(或几个数值),而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.
⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
1、若x=1是方程k(x-2)=2的解,则k=.
2、(2009·芜湖)已知方程3x
-9x+m=0的一个根是1,则m的值是。
解:
把x=1代入原方程,得3×
-9×1+m=0,
解得m=6
答案:
6
3、y=1是方程
的解,求关于x的方程
的解。
4、(2004·吉林)已知m是方程
-x-2=0的一个根,则代数式
的值等于____.
3.1.2等式的性质
等式的性质
(1):
等式两边都加上(或减去)同个数(或式子),结果仍相等.
等式的性质
(1)用式子形式表示为:
如果a=b,那么a±c=b±c
(2)等式的性质
(2):
等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质
(2)用式子形式表示为:
如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么
=
1、等式2-
=1变形,应得()
A.6-x+1=3B.6-x-1=3C.2-x+1=3D.2-x-1=3
五、解方程的一般步骤
1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
2.去括号(按去括号法则和分配律)
3.移项(把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号)
4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)
5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=
).
1、要解方程4.5(x+0.7)=9x,最简便的方法应该首先( )
A、去括号 B、移项 C、方程两边同时乘以10 D、方程两边同时除以4.5
分析:
由于9是4.5的2倍,所以选择D最简便.
2、解方程
解:
去括号 8x-20x+6=8-4x+6
移项 8x-20x+4x=8+6
-6
合并 -8x=8
系数化为1 x=-1
3、如果
那么
等于()
(A)1814.55(B)1824.55(C)1774.45(D)1784.45
分析与解:
移项,得2005-200.5+20.05=x,解得:
x=1824.55.答案为A.
4、(2008·江苏)解方程:
解:
去括号,得
移项、合并同类项,得-x=6
,
系数化为1,得x=-6
5、(2003·黄州)解方程:
.
6、解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3.4实际问题与一元一次方程
(1)用方程思想解决实际问题的一般步骤
1.审:
审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系.
2.设:
设未知数(可分直接设法,间接设法)
3.列:
根据题意列方程.
4.解:
解出所列方程.
5.检:
检验所求的解是否符合题意.
6.答:
写出答案(有单位要注明答案)
(2)有关常用应用类型题及各量之间的关系
1.和、差、倍、分问题:
(1)倍数关系:
通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
2.等积变形问题:
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为:
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积.
3.调配问题:
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变
(1)有两个工程队,甲工程队有32人,乙工程队有28人,如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍,需从乙工程队抽调多少人到甲工程队?
(2)某班同学利用假期参加夏令营活动,分成几个小组,若每组7人还余1人,若每组8人还缺6人,问该班分成几个小组,共有多少名同学?
4.数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:
100a+10b+c.
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.
(1)已知三个连续偶数的和是2004,求这三个偶数各是多少?
(2)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小5,若此两位数的两个数字位置交换,得一新两位数,那么新两位数与原两位数大45,求新两位数与原两位数的积是多少?
5.工程问题:
工程问题中的三个量及其关系为:
工作总量=工作效率×工作时间
工程问题有三个基本量:
工作量、工作时间、工作效率,其基本关系为:
工作量=工作效率×工作时间;
.一般情况下把全部工作量看作1.
(1)一个水池安有甲乙丙三个水管,甲单独开12h注满水池,乙单独开8h注满,丙单独开24h可排掉满池的水,如果三管同开,多少小时后刚好把水池注满水?
(2)某工程,甲单独完成续20天,乙单独完成续12天,甲乙合干6天后,再由乙继续完成,乙再做几天可以完成全部工程?
6.行程问题:
(1)行程问题中的三个基本量及其关系:
路程=速度×时间.
(2)基本类型有
①相遇问题;
②追及问题;常见的还有:
相背而行;行船问题;环形跑道问题.
水上(空中)问题.
此类问题主要涉及四个量:
静水船速、水速、逆水船速、顺水船速.基本关系为:
顺水船速=静水船速+水速;逆水船速=静水船速-水速.
(1)甲乙两个人在400米的环形跑道上同时同点出发,甲的速度是6米/秒,乙的速度是4米/秒,乙跑几圈后,甲可超过乙一圈?
(2)甲乙两站相距300km,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行40km,一列快车从乙站开往甲站,每小时行80km,已知慢车先行1.5h,快车
7.商品销售问题
有关关系式:
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
再开出,问快车开出多少小时后与慢车相遇?
(1)某产品按原价提高40%后打八折销售,每件商品赚270元,问该商品原标价多少元?
现销售价是多少?
(2)甲乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将家服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价,在实际销售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲乙两件服装成本各是多少元?
8.储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
利息税=利息×税率(20%)
9、增长率问题(降低率)
增长率问题有三个基本量:
净增量、基础量、增长率,
基本关系;
1、(2009·福州)某班学生为希望工程共捐款131元,比每人平均2元还多35元,设这个班的学生有x人,根据题意列方程为_________________。
解题思路:
本题的相等关系是捐款总数相等,解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数35元表示出捐款总数(2x+35)元。
答案:
2x+35=131
2、某校初三年级学生参加社会实践活动,原计划租用30座客车若干辆,但还有15人无座位。
(1)设原计划租用30座客车x辆,试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数;
(2)现决定租用40座客车,则可比原计划租30座客车少一辆,且所租40座客车中有一辆没有坐满,只坐35人。
请你求出该校初三年级学生的总人数。
分析:
本题表示初三年级总人数有两种方案,用30座客车的辆数表示总人数:
30x+15
用40座客车的辆数表示总人数:
40(x-2)+35。
解:
(1)该校初三年级学生的总人数为:
30x+15
(2)由题意得:
30x+15=40(x-2)+35
解得:
x=6
30x+15=30×6+15=195(人)
答:
初三年级总共195人。
3.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试:
同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?
请说明理由.
分析:
可以先设1个小餐厅可供
名学生就餐,这样的话,2个小餐厅就可供2y个学生就餐,因此大餐厅就可共(1680-2y)名学生就餐.然后在根据开放2个大餐厅、1个小餐厅可以就餐的人数列出方程2(1680-2y)+y=2280
解:
(1)设1个小餐厅可供
名学生就餐,则1个大餐厅可供(1680-2y)名学生就餐,根据题意,得
2(1680-2y)+y=2280
解得:
y=360(名)
所以1680-2y=960(名)
答:
(略).
(2)因为
,
所以如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300名学生就餐.
【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题,而第⑵问属于说理题,关键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐,然后比较即可.
4、工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?
分析:
根据利润=售价-进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等,就可以列出一元一次方程.
解:
设该工艺品每件的进价是
元,标价是(45+x)元.依题意,得:
8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x
解得:
x=155(元)
所以45+x=200(元)
答:
(略).
【点拨】这是销售问题,在解答销售问题时把握下列关系即可:
商品售价=商品标价×折扣率
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折数—商品进价
商品利润率=
×100%
5、(2006·益阳市)八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话:
李小波:
阿姨,您好!
售货员:
同学,你好,想买点什么?
李小波:
我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.
售货员:
好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请清点好,再见.
根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?
分析:
这是一道情景对话问题,具有一定的新颖性.解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系.从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2元,同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费(100-5)=95元.根据上述等量关系可以得到相应的方程.
解:
设笔记本每本x元,则钢笔每支为(x+2)元,据题意得
10(x+2)+15x=100-5
解得,x=3(元)
所以x+2=5(元)
答:
(略)
6、某工厂计划26小时生产一批零件,后因每小时多生产5件,用24小时,不但完成了任务,而且还比原计划多生产了60件,问原计划生产多少零件?
7、甲、乙两种商品的单价之和为100元,因为季节变化,甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后,甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%,求甲、乙两种商品的原来单价?
8、甲、已两个团体共120人去某风景区旅游。
风景区规定超过80人的团体可购买团体票,
已知每张团体比个人票优惠20%,而甲、已两团体人数均不足80人,两团体决定合起来买
团体票,共优惠了480元,则团体票每张多少张?
9、(2004·陕西)足球比赛的记分规则为:
胜一场得3分。
平一场得1分,输一场得0分,一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分,请问:
(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?
(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?
(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?