专题229 二次函数中的存在性问题重难点题型举一反三人教版原卷版.docx

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专题229二次函数中的存在性问题重难点题型举一反三人教版原卷版

专题22.9二次函数中的存在性问题-重难点题型

【人教版】

【题型1二次函数中直角三角形存在性问题】

【例1】（2021•罗湖区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，连接PB，PC．

（1）点A的坐标为　　，点B的坐标为　　；

（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求△PBC的面积；

（3）抛物线上存在一点P，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．

【变式1-1】（2021春•望城区校级月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），连接AC，点P为第二象限抛物线上的动点．

（1）求a、b、c的值；

（2）连接PA、PC、AC，求△PAC面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC为直角三角形，若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-2】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，若OD＝m．

（1）求二次函数解析式；

（2）设△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？

若有，求出其最值，若没有，请说明理由；

（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？

若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-3】（2021•长沙模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．

（1）求抛物线的表达式；

（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；

（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；

（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？

若存在，请直接写出此时点M的坐标，若不存在，请说明理由．

【题型2二次函数中等腰三角形存在性问题】

【例2】（2020秋•曾都区期末）如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）两点，点P是y轴左侧且位于x轴下方抛物线上一动点，设其横坐标为m．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）将线段AB绕点B顺时针旋转90°得线段BD（点D是点A的对应点），求点D的坐标，并判断点D是否在抛物线上；

（3）过点P作PM⊥x轴交直线BD于点M，试探究是否存在点P，使△PBM是等腰三角形？

若存在，求出点m的值；若不存在，说明理由．

【变式2-1】（2020秋•云南期末）如图，直线y

x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点A（﹣1，0）．

（1）求B，C两点的坐标．

（2）求该二次函数的解析式．

（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？

如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【变式2-2】（2021•南充）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x

．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；

（3）如图2，在

（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，得△BEF为等腰三角形？

若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式2-3】（2021•建华区二模）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．

（1）求抛物线的解析式及点B坐标；

（2）设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝　　；

（3）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；

（4）在（3）的条件下：

当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？

若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【题型3二次函数中平行四边形存在性问题】

【例3】（2020秋•元阳县期末）如图，直线y

x+c与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，抛物线y

x2+bx+c经过点A，C，与x轴的另一个交点为B（1，0），连接BC．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）M为x轴的下方的抛物线上一动点，求△ABM的面积的最大值．

（3）P为抛物线上一动点，Q为x轴上一动点，当以B，C，Q，P为顶点的四边形为平行四边形时，求点P的坐标．

【变式3-1】（2020秋•泰山区期末）如图，抛物线y

bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图．

（1）求直线AB和抛物线的表达式；

（2）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，在备用图中画出图形并求出点Q的坐标；

（3）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点且AC为一边的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式3-2】（2021春•雨花区期末）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P从点B出发，沿着射线BC运动，速度每秒

个单位长度，过点P作直线PM∥y轴，交抛物线于点M．设运动时间为t秒．

①在运动过程中，当t为何值时，使（MA+MC）（MA﹣MC）的值最大？

并求出此时点P的坐标．

②若点N同时从点B出发，向x轴正方向运动，速度每秒v个单位长度，问：

是否存在t使点B，C，M，N构成平行四边形？

若存在，求出t，v的值；若不存在，说明理由．

【变式3-3】（2021•北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴交于A，C（﹣6，0）两点（点A在点C右侧），交y轴于点B，连接BC，且AC＝4．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若P是BC上方抛物线上不同于点A的一动点，连接PA，PB，PC，求当S△PBC

S△PAC有最大值时点P的坐标，并求出此时的最大值．

（3）如图2，将原抛物线向右平移，使得点A刚好落在原点O，M是平移后的抛物线上一动点，Q是直线BC上一动点．当A，M，B，Q组成的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点Q的坐标．

【题型4二次函数中菱形存在性问题】

【例4】（2020秋•巴南区期末）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求b，c的值；

（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBC的面积最大？

并求出这个面积的最大值．

（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线BC上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式4-1】（2021•湘潭）如图，一次函数y

x

图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y

x2+bx+c图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？

若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【变式4-2】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数解析式；

（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP'C．是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？

若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？

求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

【变式4-3】（2020秋•南岸区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（4，0）和B（﹣1，0），交y轴于点C．

（1）求二次函数y＝x2+bx+c的表达式；

（2）将点C向右平移n个单位得到点D，点D在该二次函数图象上．点P是直线BD下方该二次函数图象上一点，求△PBD面积的最大值以及此时点P的坐标；

（3）在

（2）中，当△PBD面积取得最大值时，点E是过点P且垂直于x轴直线上的一点．在该直角坐标平面内，是否存在点Q，使得以点P，D，E，Q四点为顶点的四边形是菱形？

若存在，直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【题型5二次函数中矩形存在性问题】

【例5】（2021春•九龙坡区校级期末）如图1，若二次函数y＝﹣x2+3x+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）求三角形ABC的面积；

（2）若点P是抛物线在一象限内BC上方一动点，连接PB、PC，是否存在点P，使四边形ABPC的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，BC为边的四边形是矩形？

若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式5-1】（2021•齐齐哈尔）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线上C、D两点之间的距离是　2

　；

（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；

（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

【变式5-2】（2021春•杏花岭区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求直线BC的解析式；

（2）若点P为直线BC下方抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△BCP的面积最大，求△BCP的最大面积及此时点P的坐标；

（3）点M为抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，若以点B，C，M，N为顶点的四边形是矩形，直接写出点M的坐标．

【变式5-3】（2021•北碚区校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣2，0），直线BC的解析式为y

x﹣4．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图1，过点A作AD∥BC交抛物线于点D（异于点A），P是直线BC下方抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴，交AD于点Q，过点Q作QR⊥BC于点R，连接PR．求△PQR面积的最大值及此时点P的坐标．

（3）如图2，点C关于x轴的对称点为点C′，将抛物线沿射线C′A的方向平移2

个单位长度得到新的抛物线y′，新抛物线y′与原抛物线交于点M，原抛物线的对称轴上有一动点N，平面直角坐标系内是否存在一点K，使得以D，M，N，K为顶点的四边形是矩形？

若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．

【题型6二次函数中正方形存在性问题】

【例6】（2021•渝中区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣2，0），并且抛物线过点D（4，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点P为直线CD上方抛物线上一点，过P作PE∥y轴交BC于点E，连接CP，PD，DE，求四边形CPDE面积的最值及点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移得新抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），是否在新抛物线上存在点M，在平面内存在点N，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？

若在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由．

【变式6-1】（2020秋•高明区期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点Q在该抛物线的对称轴上，若△ACQ是以AC为腰的等腰三角形，求点Q的坐标；

（3）若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，GM⊥x轴于点M，N为直线PF上一动点，当以F、M、G、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出点M的坐标．

【变式6-2】（2021•合川区校级模拟）如图，在平面直角坐标系．xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C（﹣2，0）．

（1）求抛物线解析式；

（2）如图1，点F是直线AB下方抛物线上一动点，连接FA，FB，求出四边形FAOB面积最大值及此时点F的坐标．

（3）如图2，在

（2）问的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面内任意一点M使得以A，F，Q，M为顶点的四边形是正方形？

若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【变式6-3】（2021•海南模拟）如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0），交y轴于点C（0，4）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）直线y

x

与抛物线交于A、D两点，与直线BC交于点E．若点M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．

①当SEOG

S△AOE时，求m的值；

②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？

若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．