解析 将p,q看成变量,则m
答案 B
6.当点(x,y)在直线x+3y=2上移动时,z=3x+27y+1的最小值是( )
A.3B.7
C.1+2D.6
解析 z=3x+27y+1≥2+1=2+1=2+1=7.
答案 B
7.
如图,目标函数z=kx-y的可行域为四边形OEFG(含边界),若点F是目标函数的最优解,则k的取值范围是( )
A.B.
C.D.
解析 kGF=-,kEF=-,由题意,知kEF≤k≤kGF.
答案 C
8.函数f(x)=则不等式xf(x)-x≤2的解集为( )
A.B.
C.D.∪
解析 或解得-1≤x≤2.
答案 B
9.某金店用一杆不准确的天平(两臂不等长)称黄金,某顾客要买10g黄金,售货员先将5g的砝码放入左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客;然后又将5g的砝码放入右盘,将另一黄金放入左盘使之平衡后又给顾客,则顾客实际所得黄金( )
A.大于10gB.小于10g
C.大于等于10gD.小于等于10g
解析 设天平的两边臂长分别为a,b,两次所称黄金的重量分别为xg,yg.
则所以x+y=+>2=10.
答案 A
10.对任意的a∈,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范围为( )
A.(1,3)B.(-∞,1)∪(3,+∞)
C.(-∞,1)D.(3,+∞)
解析 y=φ(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),
x=2时,y=0,所以x≠2.只需
答案 B
11.设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( )
A.8B.4
C.1D.
解析 ∵a>0,b>0,3a·3b=3,∴a+b=1,
∴+=+=1+++1≥2+2=4.
答案 B
12.对于使-x2+2x≤m成立的所有常数M中,我们把M的最小值叫做-x2+2x的上确界.若a,b∈R+,且a+b=1,则--的上确界为( )
A.-3B.-4
C.-D.-
解析 ∵a,b∈R+,且a+b=1,
∴+=+=+++2≥+2=,∴--≤-,即--的上确界为-.
答案 D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.设a>b,则①ac2>bc2;②2a>2b;③<;④a3>b3;⑤|a|>|b|.正确的结论有________.
答案 ②④
14.函数y=2x2+的最小值是________.
解析 y=2x2+=2(x2+1)+-2≥2-2=2×4-2=6.
当且仅当2(x2+1)=.即x=±1时,等号成立.
答案 6
15.已知不等式x2-ax-b<0的解集为(2,3),则不等式bx2-ax-1>0的解集为________.
解析 依题意知方程x2-ax-b=0的两根为2,3,根据韦达定理可求得a=5,b=-6,所以不等式为6x2+5x+1<0,解得-答案
16.某实验室需购某种化工原料106千克,现在市场上该原料有两种包装,一种是每袋35千克,价格为140元;另一种是每袋24千克,价格为120元.在满足需要的条件下,最少要花费________元.
解析 设购买35kg的x袋,24kg的y袋,则35x+24y≥106,x∈N,y∈N,共花费z=140x+120y,作出由对应的平面区域,则知目标函数在(1,3)点处取得最小值为500元.
答案 500
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知a,b,x,y>0且>,x>y,
求证:
>.
证明:
-=.
由>>0,可得b>a>0.
又∵x>y>0,∴bx>ay,x+a>0,y+b>0,
∴>0,∴>.
18.(12分)设f(x)=(m+1)x2-mx+m-1.
(1)当m=1时,求不等式f(x)>0的解集;
(2)若不等式f(x)+1>0的解集为(,3),求m的值.
解
(1)当m=1时,f(x)>0,即
2x2-x>0⇒x(2x-1)>0⇒x<0,或x>.
∴此时不等式的解集为(-∞,0)∪(,+∞).
(2)由f(x)+1>0,得(m+1)x2-mx+m>0.
∵不等式的解集为(,3),
∴和3是方程(m+1)x2-mx+m=0的两个根,
且m+1<0.
∴解得m=-.
19.(12分)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).
(1)若不等式的解集是{x|x<-3或x>-2},求k的值;
(2)若不等式的解集为R,求k的取值范围.
解
(1)∵不等式kx2-2x+6k<0的解集是{x|x<-3或x>-2},
∴方程kx2-2x+6k=0的两根为-3,-2,且k<0.
由根与系数的关系得∴k=-.
(2)∵不等式kx2-2x+6k<0的解集为R,
∴解得
故k的取值范围是.
20.(12分)某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100g含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元,米食每100g含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭,每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少?
解 设每盒盒饭需要面食x百克,米食y百克,所需费用为z=0.5x+0.4y,且x,y满足
作出可行域,如图所示.由图可知,平行直线系y=-x+z过点A时,纵截距z最小,即z最小.由解得点A.
所以每盒盒饭为面食百克,米食百克时,既科学又费用最少.
21.(12分)若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x>0,y>0满足f=f(x)-f(y),若f
(2)=1,解不等式f(x+3)-f<2.
解 由f(x+3)-f<2,得
即
又f=f(4)-f
(2),∴f(4)=2f
(2)=2.
∴
∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,
∴解得022.(12分)某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需各种费用12万元,从第二年开始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加4万元,该船每年捕捞的总收入为50万元.
(1)该船捕捞几年开始盈利?
(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)
(2)该船捕捞若干年后,处理方案有两种:
①当年平均盈利达到最大值时,以26万元的价格卖出;
②当盈利总额达到最大值时,以8万元的价格卖出.问哪一种方案较为合算,请说明理由.
解
(1)设捕捞n年后开始盈利,盈利为y元,则y=50n--98=-2n2+40n-98.
由y>0,得n2-20n+49<0,
解得10-则3≤n≤17,故n=3.即捕捞3年后,开始盈利.
(2)①平均盈利为=-2n-+40≤-2+40=12,当且仅当2n=,即n=7时,年平均盈利最大.
故经过7年捕捞后年平均盈利最大,共盈利12×7+26=110万元.
②∵y=-2n2+40n-98=-2(n-10)2+102,
∴当n=10时,y的最大值为102.
即经过10年捕捞盈利总额最大,共盈利102+8=110万元.
综上知两种方案获利相等,但方案②的时间长,所以方案①合算.