小学数学竞赛等积变换.docx

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小学数学竞赛等积变换

第十三讲三角形的等积变形

　　我们已经掌握了三角形面积的计算公式：

　　三角形面积=底×高÷2

　　这个公式告诉我们：

三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来

　　角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：

一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系．

　　为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：

　　①等底等高的两个三角形面积相等．

　　②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．

　　③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．

，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．

　　同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍．

　　例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．

　　例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍．

　　上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据．

例1用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形．

　　方法2：

如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．

例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．

　　方法1：

如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4．

DE，从而得到三个三角形：

△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．

　　当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．

例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：

△AOB与△COD面积相等．

　　证明：

∵△ABC与△DBC等底等高，

　　∴S△ABC=S△DBC

　　又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC

　　S△DOC=S△DBC—S△BOC

　　∴S△AOB=S△COD．

例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形．

　　分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等．我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，

　　把顶点A移到CB的延长线上的A′处，△A′BD与△ABD面积相等，从而△A′DC面积与原四边形ABCD面积也相等．这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△A′DC．问题是A′位置的选择是依据三角形等积变形原则．过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A′点．

　　解：

①连结BD；

　　②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A′．

　　③连结A′D，则△A′CD与四边形ABCD等积．

例5如右图，已知在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积为1平方厘米．求三角形ABC的面积．

　　解法1：

连结BD，在△ABD中

　　∵BE=3AE，

　　∴S△ABD=4S△ADE=4（平方厘米）．

　　在△ABC中，∵CD=2AD，

　　∴S△ABC=3S△ABD=3×4=12（平方厘米）．

　　解法2：

连结CE，如右图所示，在△ACE中，

　　∵CD=2AD，

　　∴S△ACE=3S△ADE=3（平方厘米）．

　　在△ABC中，∵BE=3AE

　　∴S△ABC=4S△ACE

　　=4×3=12（平方厘米）．

例6如下页图，在△ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=

　　解：

连结BG，在△ABG中，

　　∴S△ADG+S△BDE+S△CFG

例7如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．

　　解：

连结AF、CE，∴S△ADE=S△ACE；S△CDF=S△ACF；又∵AC与EF平行，∴S△ACE=S△ACF；

　　∴S△ADE=S△CDF=4（平方厘米）．

例8如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH．求四边形EFGH的面积．

　　解：

连结BD，将四边形ABCD分成两个部分S1与S2．连结FD，有S△FBD=S△DBC=S1所以S△CGF=S△DFC=2S1．

　　同理S△AEH=2S2，

　　因此S△AEH+S△CGF=2S1+2S2=2（S1+S2）=2×1=2．

　　同理，连结AC之后，可求出S△HGD+S△EBF=2所以四边形EFGH的面积为2+2+1=5（平方单位）．

例9如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE=1，求△BEF的面积．

　　解：

连结AC，∵AB//CD，∴S△ADE=S△ACE

　　又∵AD//BC，∴S△ACF=S△ABF

　　而S△ACF=S△ACE+S△AEF∶S△ABF=S△BEF+S△AEF

　　∴S△ACE=S△BEF∴S△BEF=S△ADE=1．

习题十三

一、选择题（有且只有一个正确答案）：

　　1．如下左图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有______个．

　　（A）0个（B）1个

　　（C）2个（D）3个

　　2．如上右图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有______个．

　　（A）0个（B）1个

　　（C）2个（D）3个

　　3．如下左图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有______对．

　　（A）0对（B）1对

　　（C）2对（D）3对

　　4．如上右图，是一个长方形花坛，阴影部分是草地，空地是四块同样的菱形，那么草地与空地面积之比是______．

　　（A）1∶1（B）1∶1.1

　　（C）1∶1.2（D）1∶1.4

　　5．如右图，长方形AEGK四周上共有12个点，相邻两点的距离都是1厘米，以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有______个．

　　（A）24个（B）25个

　　（C）26个（D）27个

二、填空题：

　　1．如下左图，A、B两点是长方形长和宽的中点，那么阴影部分面积占长方形面积的______．

　　2．如上右图，平行四边形ABCD的面积是40平方厘米，图中阴影部分的面积是______．

　　3．如下左图，正方形ABCD的面积为1平方厘米，S△BEG∶S△CEG=2∶1，S△CFG∶S△DFG=1∶1，那么这四个小三角形面积之和______．

　　4．如上右图，在△ABC中，EF平行BC，AB=3AE，那么三角形甲、乙、丙面积的连比是______．

三、解答题：

　　1．如下左图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．

　　3．如下左图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AC、BC的三等分点，且SABCD=54平方厘米，求S△BEF．

　　4．如上页右图，将四边形ABCD各边都延长一倍至A'、B'、C'、D'．连接这些点得到一个新的四边形A'B'C'D'．如果四边形ABCD的面积是1，求四边形A'B'C'D'的面积．

　　5．如右图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF=CE，BG=DE，如果四边形ABCD的面积是1，求△EFG的面积？