期末复习一元一次方程.docx
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期末复习一元一次方程
第三章一元一次方程期末复习
一、知识梳理
1．方程
（1）方程的定义：
含有未知数的等式叫做方程.
（2）方程的解：
能够使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
（3）解方程：
求方程解的过程叫做解方程.
2．一元一次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程.
3．解一元一次方程的步骤：
①去分母，在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项，分子为多项式的要加上括号；
②去括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，注意不要漏乘括号里的项，当括号前是“-”时，去掉括号时注意括号内的项都要变号；
③移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边，注意移项要变号，移项和交换位置不同；
④合并同类项，将同类项合并成一项，把方程化为ax=b（a≠0）的形式，注意只合并同类项的系数；
⑤系数化为1，在方程ax=b的两边都除以a，求出方程的解x=
，注意符号，不要把方程ax=b的解写成x=
。
4．列方程解应用题的步骤：
（1）读题找相等关系：
认真读题，理解题意，分清已知与未知，找出相等关系.
（2）设出适当的未知数：
根据问题的实际情况，设未知数可以直接设未知数，也可以间接设未知数.
（3）列方程：
根据问题中的一个相等关系列出方程.
（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值.
（5）写出所求解的答案：
求到方程的解，要检验它是否符合实际意义，如果符合实际意义，要写出完整的答案.
5．实际问题的常见类型
（1）利息问题:
①相关公式:
本金×利率×期数=利息（未扣税）;②相等关系:
本息=本金+利息.
（2）利润问题:
①相关公式:
利润率=利润÷进价;②相等关系:
利润=售价-进价.
（3）等积变形问题:
①相关公式:
长方体的体积=长×宽×高;圆柱的体积=底面积×高.
②相等关系:
变形前的体积=变形后的体积.
（4）工程问题
①数量关系:
工作量=工作时间×工作效率.②相等关系:
总工作量=各部分工作量的和.
（5）行程问题:
①相关数量关系:
路程=时间×速度;
②相等关系:
（相遇问题）两者路程和=总路程;
（追及问题）两者路程差=相距路程.
二、思想方法总结
1．方程的思想：
方程的思想就是把末知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参与运算，这是一种很重要的数学思想，很多问题都能归结为方程来处理。
2、数形结合的思想：
数形结合的思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数和形结合起来分析问题的思想方法。
本章在列方程解应用题时常采用画图，列表格的方法展示数量关系。
使问题更形象、直观。
3、“化归思想”：
所谓化归思想，是指在如解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它先进行交换，使之筒化，并得到解决的思维方法。
如本章解方程的过程，就是把形式比较复杂的方程，逐步化简为最简方程ax=b（a=0），从而求出方程的解，通过对解一元一次方程的学习要体会并掌据化归这一数学思想方法。
三、易错点突破
1、应用等式的基本性质时出现错误
例1 下列说法正确的是（ ）
A、在等式ab=ac中，两边都除以a，可得b=c
B、在等式a=b两边都除以c2+1可得
C、在等式
两边都除以a，可得b=c
D、在等式2x=2a一b两边都除以2，可得x=a一b
剖析：
A中a代表任意数，当a≠0时结论成立；但当a=0时，不能运用等式的性质
（2）结论不一定成立，如0·3=0·（－1）但3≠－1，所以，等式两边同时除以一个数，要保证除数不为0才能行。
B中c2+1≠0所以成立C用的性质错误，应在等式两边都乘以a，D中一b这一项没除以2，应为x=a－
选B
2、去分母去括号时出现漏乘现象或出现符号错误；移项不变号，错把解方程的过程写成“连等”的形式。
例2 解方程
.
错解：
=3x-2+10=x+6=2x=－2=x=－1
剖析：
错解的原因是对方程的变形理解不深，受到代数式运算时使用连等式的习惯影响。
正解：
去分母得3x-2+10=x+6
移项合并同类项得2x=－2,所以x=－1
3、列方程解应用题时常出现的错误
（1）审题不清，没有弄请各个量所表示的意义；
（2）列方程出现错误
（3）应用公式错误
（3）单住不统一
（4）计算方法出现错误。
考点例析
考点一考查基本概念
例1若关于x的方程2（x－1）－a=0的解是3，则a的值是（）
A．4B．－4C．5C．－5
分析：
方程的解是指能使方程左右两边相等的未知数的值，将x=3代入方程，左右两边相等，从而可以解出a.
解：
把x=3代入方程，得2×（3－1）－a=0，解得a=4.
例2一个一元一次方程的解为2，请写出这个方程：
.
分析：
解为2的一元一次方程有无数个，故此题的答案不惟一.解决此题我们可以利用等式的基本性质在x=2的两边同时加（或减）同一个整式，或同时乘上（或除以）同一个数.
解：
如x－1=1；2x=4；3x－2=4等.
考点二考查一元一次方程的构建
例3如果单项式4x2ya＋3与－2x2y3－2a是同类项，那么a为（）
A.－2B.－1C.0D.1
分析：
同类项是指所含字母相同，相同字母的指数也相同的项，所以a＋3=3－2a，从而可以解出a.
解：
根据同类项的定义，知a＋2=3－2a，解得a=0.故选C.
例4某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25%，求这种服装的成本价.设这种服装的成本价为x元，则得到方程（）
A.x=150×25%B.25%x=150C.150－x=25%xD.150－x=25%
分析：
根据利润率=
，得150－x=25%x.
解：
选C.
考点三考查一元一次方程的解法
例5解方程：
x－
=2－
.
分析：
这是一道一元一次方程的求解题，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1这五个步骤逐步求解，解时要留意每步的注意点.
解：
去分母，得6x－3（x－1）=12－2（x＋1）.
去括号，得6x－3x＋3=12－2x－2.
移项，得6x－3x＋2x=12－2－3.
合并同类项，得5x=7.
系数化为1，得x=
.
考点三考查一元一次方程的应用
例6某同学在A、B两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元．
（1）求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多少元？
（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打7.5折销售；超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？
分析：
（1）设书包的单价为x元，则英语学习机的单价为（4x－8）元，根据“英语学习机和书包单价之和是452元”列出方程，求出书包和英语学习机的单价；
（2）分别求出在超市A、B购买看中的英语学习机、书包的费用，通过比较大小即可知道那种方式购买更省钱.
解：
（1）设书包的单价为x元，则英语学习机的单价为（4x－8）元.
根据题意，得4x－8＋x=452，
解得x=92.
4x－8=4×92－8=360.
答：
该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元.
（2）在超市A购买英语学习机与书包各一件，需花费现金：
452×75%=339（元）；
因为339＜400，所以可以选择超市A购买.
在超市B可先花费现金360元购买英语学习机，再利用得到的90元购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：
360＋2=362（元）；
因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买.
但是，由于362＞339，所以在超市A购买英语学习机与书包，更省钱.
专题练习一
（内容：
一元一次方程3.1---3.2）
一、选择题（每题4分，共40分）
1.下列方程中是一元一次方程的是（）
A．3x+2y=5B．y2－6y+5=0C．
x－3=
D．4x－3=0
2.下列方程的解正确的是（）
A．x－3=1的解是x=－2B．
x－2x=6的解是x=－4
C．3x－4=
（x－3）的解是x=3D．－
x=2的解是x=－
3.在下列方程中，解是x=-1的是（）
A．2x+1=1B．1-2x=1C．
=2D．
=2
4.已知x=y，则下面变形错误的是（）
A．x+a=y+aB．x－a=y－aC．2x=2yD．
5.如果
，那么
=（）
A.15B.16C.17D.19
6.方程
m+
m=5－
m的解是（）
A.5B.10C.15D.30
7.方程2－
去分母得（）
A．2－2（2x－4）=－（x－7）B．12－2（2x－4）=－x－7
C．12－4x－8=－（x－7）D．12－2（2x－4）=x－7
8.与方程x－
=-1的解相同的方程是（）
A．3x－2x+2=--1B．3x－2x+3=－3
C．2（x－5）=1D．
x－3=0
9.若关于x的一元一次方程
=1的解为x=-1，则k的值为（）
A．
B．1C．-
D．0
10.为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文（加密），按收方由密文→明文（解密），已知加密规则为明文a，b，c对应的密文a+1，2b+4，3c+9，例如明文1，2，3对应的密文为2，8，18，如果接收的密文7，18，15，则解密得到的明文为（）
A．4，5，6B．6，7，2C．2，6，7D．7，2，
二、填空题（每题4分，共20分）
11.若
是一元一次方程，则m=_______．
12.合并下列相同字母的项:
（1）
______________.
（2）
____________．
13．方程
的解是.
14．当
时，代数式
与
的值相等.
15.若方程
与方程
的解相同，则
.
三、解答题（共40分）
16.解方程（每小题5分，共10分）
（1）
（2）
17.解方程（每小题5分，共10分）
（1）
（2）
18.（共10分）x取什么数时,
的
是
的相反数?
9.（共10分）当
时，多项式
的值是
，那么当
时，这个多项式的值是多少？
（内容：
一元一次方程3.3---本章末）
一、选择题（每题4分，共40分）
1.下列方程中，属于一元一次方程的是（）
A．x-3B．x2-1=0C．2x-3=0D．x-y=3
2．下列方程中，解是2的方程是（）
A．3x+6=0B．-
x+
=0C．
x=2D．5-3x=1
3．已知x=-2是方程2x+m-4=0的一个解，则m的值是（）
A．8B．-8C．0D．2
4．已知等式a=b，c为任意有理数，则下列等式中，不一定成立的是（）
A．a-c=b-cB．a+c=b+cC．-ac=-bcD．
5.一件标价为250元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价是（）
A．180元B．200元C．240元D．250元
6.下列四组变形中，变形正确的是（）
A．由5x+7=0得5x=-7B．由2x-3=0得2x-3+3=0
C．由
=2得x=
D．由5x=7得x=35
7.下列各组方程中，解相同的方程是（）
A．x=3与4x+12=0B．x+1=2与2（x+1）=2x
C．7x-6=25与
=6D．x=9与x+9=0
8.解方程
=1去分母正确的是（）
A．2（x-1）-3（4x-1）=1B．2x-1-12+x=1
C．2（x-1）-3（4-x）=6D．2x-2-12-3x=6
9.一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现由甲独做4小时，剩下的甲、乙合做，还需几小时？
设剩下部分要x小时完成，下列方程正确的是（）
10.甲、乙两种衣服售价均为60元，其中一件衣服赢利20%，另一件衣服亏损20%。
当商家同时卖出这两种衣服各一件时（）
A．不赢不亏B．赢利5元C．亏损5元D．赢利6元
二、填空题（每题4分，共20分）
11.方程6x+5=3x的解是．
12．若x=3是方程2x-10=4a的解，则a=．
13.一张试卷上有只有20道选择题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，某学生做了全部试卷共得70分，他做对了道．
14.敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击，小时后可追上敌军．
15.某超市规定，如果购买不超过50元的商品时，按全额收费；购买超过50元的商品时，超过部分按九折收费．某顾客在一次消费中，向售货员交纳了212元，那么在此次消费中该顾客购买了价值元的商品．
三、解答题（共40分）
16.解方程（每小题5分，共10分）
（1）
（2）
17.（10分）如图所示，在一块展示牌上整齐地贴着许多资料卡片，这些卡片的大小相同，卡片之间露出了三块正方形的空白，在图中用斜线标明．已知卡片的短边长度为10厘米，想要配三张图片来填补空白，需要配多大尺寸的图片．
18.（10分）下表为某相馆的价目表，今逢开业周年庆，底片冲洗与照片冲洗皆打八折，小颖带了一卷底片去冲洗相纸为“布纹”的照片若干张，打折后共付了16.8元。
请问小颖洗了多少张照片？
项目
费用
底片冲洗费
3元/卷
相知规格（布纹）照片冲洗费
0.50元/张
19.（10分）某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元．
（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案．
（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？
专题训练二（应用题专项）
1和差倍分问题（年龄问题、比例问题、日历问题）
1、姐姐4年前的年龄是妹妹的2倍，今年年龄是妹妹的1.5倍，求姐姐今年的年龄。
2、1992年,妈妈52岁,儿子25岁,哪一年妈妈的年龄是儿子的4倍.
3、爸爸和女儿两人岁数加起来是91岁,当爸爸岁数是女儿现在岁数两倍的时候,女儿岁数是爸爸现在岁数的,那么爸爸现在的年龄是多少岁,女儿现在年龄是多少岁.
4、建筑工人在施工中，使用一中混凝土，是由水、水泥、黄沙、碎石搅拌而成的，这四种原料的重量的比是0.7：
1：
2：
4.7，搅拌这种混凝土2100千克，分别需要水、水泥、黄沙、碎石多少千克？
5、小名出去旅游四天，已知四天日期之和为65，求这四天分别是哪几日？
2等积问题
1、直径为30厘米，高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。
2、用60米长的篱笆，围成一个长方形的花圃，若长比宽的2倍少3米，则长方形的面积是多少？
3、将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块，锻造成一个底面边长为12厘米的正方形的长方体零件钢坯。
试问是锻造前长方体钢块的表面积大，还是锻造后的长方体零件钢坯的表面积大？
请计算回答。
3行程问题（航行问题、相遇问题、追及问题、火车过桥问题）
1、一艘轮船，航行于甲、乙两地之间，顺水用5小时，逆水比顺水多用2小时。
已知轮船在静水中的速度是每小时52千米，求水流的速度？
2、小红和小明绕周长为1200米的湖晨练，小红的速度为85米/分，小明比她快10米/分，
（1）如果两人同时同向同一地点开跑，多少分钟两人会相遇？
（2）如果两人同时相向同地开跑，多少分钟两人会相遇？
（3）如果小红在小明前面200米两人同时反向开跑，多少分钟两人会相遇？
3、甲乙两人骑自行车,从相距60千米的两地相向而行,甲每小时走12千米,乙每小时走10千米,如甲走15分钟后乙再出发,问甲出发后几小时与乙相遇？
4、敌军和我军相距27千米,敌军以4千米/小时的速度逃跑,我军迅速以7千米/小时的速度追击敌军,需几小时可以追上?
5、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多少米？
6、小强、小芳、小亮在郊游，看到远处一列火车匀速通过一个隧道后，产生了以下对话.各位同学，请根据他们的对话求出这列火车的长。
4劳力调配及配套问题
1、甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给两个车队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，应分配到甲乙两车队各多少辆车？
2、某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10人，又知二个大齿轮和三个小齿轮配套一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？
3、某队有55人，每人每天平均挖土2.5方或运土3方，为合理安排劳力，使挖出的土及时运走，应如何分配挖土和运土人数？
5销售盈亏问题
1、某种衣服因换季打折销售，每件衣服如果按标价的5折出售将亏60元；而如果按标价的8折出售将赚120元。
问这件衣服的标价和成本各是多少元？
2、某商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元，而按定价的九折出售将赚20元，问这种商品的定价是多少元？
3、团体购买公园门票，票价如下：
购票人数1~50人51~100人100人以上
每人门票价分别是65元55元45元
问题：
今有甲，乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费6570元，若合在一起作为一个团体购票，总计应须付5040元，问这两个旅游团各有多少人？
6银行利率问题
1、小颖的爸爸为了准备小颖3年后读高中的费用，准备用1万元参加教育储蓄，已知教育储蓄一年期的利率为2.25%，三年期的利率为2.70%，现在有两种存法
（1）一年，下一年连本带息再存一年，到期后连本带息再存一年
（2）接存一个三年期．请你帮着计算一下，小颖的爸爸应选择哪一种储蓄方式？
7数字问题
1、有一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，把这个两位数的数字对调位置后，新的两位数比原两位数多54，则原两位数为多少？
2、若有一个七位自然数，它的第一位数字是3，若把3移到末位，其他数位上的数字顺序不变，则新数等于这个原数的2倍还多11，求原来的七位数？
8余不足问题
1、用化肥若干千克给一块麦田施肥，每亩用6千克，还差17千克；每亩用5千克，还多3千克，这块麦田有多少亩？
2、毕业生在礼堂入座，1条长凳坐3人，有25人坐不下；1条长凳坐4人，正好空出4条长凳，则共有多少名毕业生？
长凳有多少条？
3、有一次数学竞赛共20题，规定做对一题得5分，做错或不做的题每题扣2分，小景得了86分，问小景对了几题？
9工程问题
1、有一个水池，用两个水管注水。
如果单开甲管，2小时30分注满水池，如果单开乙管，5小时注满水池.
（1）如果甲、乙两管先同时注水20分钟，然后由乙单独注水。
问还需要多少时间才能把水池注满？
（2）假设在水池下面安装了排水管丙管，单开丙管3小时可以把一满池水放完。
如果三管同时开放，多少小时才能把一空池注满水？
2、一项工程，甲单独完成需要9天，乙单独完成需要12天，丙单独完成需要15天。
若甲、丙先做3天后，甲因故离开，由乙接替甲工作，问还需多少天能完成这项工程的？
10方案问题
1、某中学要添置某种教学仪器，方案1：
到商店购买，每件需要8元；方案2：
学校自己制作，每件4元，另外需要制作工具的租用费120元，设需要仪器x件．
（1）分别求出方案1和方案2的总费用；
（2）当购制仪器多少件时，两种方案的费用相同；
（3）若学校需要仪器50件，问采用哪种方案便宜？
请说明理由．
2、张老师带领该校七年级“三好学生”去开展夏令营活动，甲旅行社说：
“如果老师买全票一张，则学生可享受半价优惠。
”乙旅行社说：
“包括老师在内按全票价的6折优惠。
”若全票价为240元，当学生从数为多少人时，两家旅行社的收费一样多？
3、某校七年级组织学生秋游，如果租用若干辆45座的客车，则有15人无座位；如果租用60座的客车，则可比45座的客车少租2辆，且保证人人有座而无空位。
求：
（1）七年级共有多少名学生？
（2）若45座客车的租金为每辆420元，60座客车的租金为每辆600元，那么应如何安排客车的型号和数量，使得租金最少？
是多少元？
11其它问题
有一个伿允许单向通过的窄道口，通常情况下，每分种可以通过9人，一天，王老师到达道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口，还需7分钟到达学校。
（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时间考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择是通过拥挤的道口去学校?
（2）若在王老师等人的维持下几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟若有3人通过道口），结果王老师比拥挤情况下提前6分钟通过道口问维持秩序的时间是多少？
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