北师大版数学八年级上册四边形探索教案及习题.docx
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北师大版数学八年级上册四边形探索教案及习题
菱形
教学目标：
1.菱形的定义.2.菱形的性质.3.菱形的判定.
二.新课
菱形：
一组邻边相等的平行四边形。
菱形是一种特殊的平行四边形，特殊之处在于它是有一组邻边相等.所以菱形是具备：
“①平行四边形，②一组邻边相等”.
如图，在菱形ABCD中，AB=AD，对角线AC、BD相交于点O.
（1）图中有哪些线段是相等的？
哪些角是相等的？
（2）图中有哪些等腰三角形、直角三角形？
（3）两条对角线AC、BD有什么特定的位置关系？
.因为菱形是特殊的平行四边形，所以它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质：
1、菱形的四条边都相等.
2．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形吗？
如果是，那么它有几条对称轴？
对称轴之间有什么位置关系？
（菱形是轴对称图形，它有两条对称轴，这两条对称轴是菱形的对角线，所以两条对称轴互相垂直.）
判别方法：
1．一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3．四条边都相等的四边形是菱形
［例2］如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于F，交AC于E，若EG⊥BC于G，连结FG.
求证：
四边形AFGE是菱形.
分析：
要判别四边形AFGE是菱形，要先证它是平行四边形，然后再寻找邻边相等的条件，而要证明它是平行四边形，要找出平行四边形的判定条件.
四．小结
本节课我们探讨了菱形的定义、性质和判别方法，我们来共同总结一下：
菱形的定义：
一组邻边相等的平行四边形是菱形.
菱形的性质：
边：
四条边都相等
对边分别平行
角：
对角线相等
对角线：
互相垂直、平分，每一条对角线平分一组对角.
菱形的判定：
矩形、正方形
（1）
教学目标：
1．掌握矩形的概念、性质和判别条件.
2．提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力.
教学过程设计：
1.归纳矩形的定义：
问题：
平行四边形具备什么条件时，就成了矩形？
结论：
有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
2．探究矩形的性质：
（1）.问题：
除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质？
结论：
矩形的四个角都是直角.
（2）.探索矩形对角线的性质：
在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
.随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
.当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系？
当∠α是钝角时呢？
.当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系？
结论：
矩形的两条对角线相等.
（3）.议一议：
.矩形是轴对称图形吗？
如果是，它有几条对称轴？
如果不是，简述你的理由.
.直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗？
（4）.归纳矩形的性质：
矩形的对边平行且相等；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分；矩形是轴对称图形.
探索矩形的判别条件：
（1）对角线相等的平行四边形是怎样的四边形？
为什么？
结论：
对角线相等的平行四边形是矩形.
（2）.归纳矩形的判别方法：
有一个内角是直角的平行四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
正方形
教学目标：
1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。
2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。
3.正确运用正方形的性质解题。
4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。
5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。
教学过程：
（一）复习提问
1.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。
2.说明平行四边形，矩形，菱形的内在联系。
（二）引入新课
矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？
它又有什么特殊性质呢？
这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形
（三）讲解新课
1.正方形的定义
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
问：
正方形是在什么前提下定义的？
答：
平行四边形。
问：
包括哪两层意思？
答：
（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）。
（2）并且有一个角是直角的平行四边形（矩形）。
画图表示正方形与矩形，正方形与菱形的从属关系如图4－49。
2.正方形的性质
因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，
所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质
正方形性质定理1：
正方形的四个角都是直角，四条边相等。
正方形性质定理2：
正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
说明：
定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。
例1如图4－50，求证：
正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形
补充例题：
如图4－51，已知正方形ABCD，延长AB到E，作AG⊥EC于G，AG交BC于F，求证：
AF＝CE。
小结：
（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如图4－52。
（2）正方形的性质：
①正方形对边平行。
②正方形四边相等。
③正方形四个角都是直角。
④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
梯形
（一）
教学目标：
1、经历探索梯形的有关概念、性质的过程，在简单的操作活动中发展学生的说理意识、主动探究的习惯，初步体会平移、轴对称的有关知识在研究等腰梯形性质中的运用；
2、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索并了解等腰梯形的性质，能用它们解决简单的问题。
一、回顾——知识的连续和类比：
本章中已经研究了哪几种特殊四边形？
二、创设问题情境——引出梯形概念，观察一组图片，在图中有你熟悉的图形吗？
三、探究：
（一）梯形的有关概念
底
1、梯形：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
高
腰
腰
一些基本概念（如图）：
底、腰、高。
底
2、等腰梯形：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3、直角梯形：
一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
问题一：
图中等腰梯形有哪些相等的线段？
有哪些相等的角？
这个图形是轴对称图形吗？
；问题二：
这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？
结论：
①等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。
②等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。
（三）等腰梯形性质的简单应用
１．如图１所示，在等腰梯形中∠Ｂ＝７０度
1.，你能确定其他三个内角的度数吗?
2.
如图２所示，将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置，则图中有平行四边形吗？
△CAE是等腰三角形吗？
为什么？
D
A
E
A
D
B
C
C
B
（图２）
（图１）
（四）议一议
如图，四边形ＡＢＣＤ是等腰梯形，将腰ＡＢ平移到ＤＥ的位置。
问题一：
ＤＥ把四边形ＡＢＣＤ分成怎样的两个图形？
Ｄ
Ａ
问题二：
图中有哪些相等的线段，相等的角？
注意：
先让学生观看整个平移过程，使学生体会
Ｃ
平移思想在研究梯形问题时的运用，然
Ｂ
Ｅ
后再讨论完成问题。
（五）讲解例１――等腰梯形性的运用
Ｄ
Ａ
如图，在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２，ＢＣ＝４，
高ＤＦ＝２，求ＣＦ和腰ＤＣ的长。
┐
（目的：
使学生学会用平移的思想解决有关梯形
Ｃ
F
Ｂ
问题）
梯形
（二）
教学目标：
梯形的判别方法.
教学过程：
一.巧设情景问题，引入课题
等腰梯形的概念及其性质：
1．两腰相等的梯形是等腰梯形.2.等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等.
怎样判定等腰梯形呢？
我们这节课就来探讨等腰梯形的判定.
二.讲授新课
判定：
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.
问：
我们能说明这种判定方法的正确性吗？
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C.
求证：
梯形ABCD是等腰梯形.
法一：
证明：
把腰DC平移到AE的位置，这时，四边形AECD是平行四边形，则AE∥CD.
AE=CD，因为AE∥CE，所以∠AEB=∠C
又因为∠B=∠C，所以∠AEB=∠B
由在一个三角形中，等角对等边，得
AB=AE，所以AB=CD
因此梯形ABCD是等腰梯形.
法二：
还可以作梯形ABCD的高AE、DF，如图，因为梯形的上、下两底平行，即AD∥BC.所以由平行线间的垂线段处处相等，得AE=DF.
又因为∠AEB=90°，∠DFC=90°，则：
∠AEB=∠DFC，又因为∠B=∠C
所以Rt△ABE≌△Rt△DCF
因此得：
AB=DC
所以由定义可知：
梯形ABCD是等腰梯形.
三．知识运用：
［例1］如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A、∠C互补，梯形ABCD是等腰梯形吗？
议一议：
如图，四边形ABCD是由三个全等的正三角形围成的，它是等腰梯形吗？
为什么？
解：
它是等腰梯形，理由是：
由∠B+∠BAD=∠B+∠BAE+∠EAD=3×60°=180°，∠B+∠C=60°×2=120°
得对边AD、BC平行，而对边AB、CD不平行，所以四边形ABCD是梯形.
又由于∠B、∠C都等于60°.则梯形ABCD是等腰梯形.
由此可知：
1.要判定一个四边形是等腰梯形，一般是先判定这个四边形是梯形，然后再用定义，即“两腰相等的梯形”或“同一底上的两个内角相等”来判定它是等腰梯形.
2.判定一个四边形是梯形时，要判定一组对边平行，而另一组对边不平行或判定一组对边平行但不相等.
1.等腰梯形与等腰三角形有哪些联系？
答：
延长一个等腰梯形的两腰，可以得到一个等腰三角形；过一个等腰三角形腰上一点作底边的平行线，可以得到一个等腰梯形.
2.有两个内角是70°的梯形一定是等腰梯形吗？
为什么？
答：
是等腰梯形.理由是：
这两个70°的内角的位置仅有三种可能：
①相邻：
顶点是同一条腰的两个端点；②相邻：
顶点是同一底边的两个端点.③相对.
当顶点是一条腰的两个端点时，两个角应该是互补的；两角相对时，可以推得此时的四边形是平行四边形.因此，这两个70°的内角只能是同一底上的两个内角，因此这个梯形是等腰梯形.
五.课时小结
（2）用判定方法来判定，即“同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形”.
4.6探索多边形的内角和与外角和
（一）
教学目标：
1.理解多边形及正多边形的定义.2.掌握多边形的内角和公式.
一．.巧设情景问题，引入课题：
引导学生回忆已经学过哪些图形？
书桌面是什么形状？
作业本的每一张是什么形状？
提问：
若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导。
（三角形，四边形，五边形）
二.讲授新课
1．多边形的定义：
在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：
①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.
把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图
（2））图
（1）的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形.
多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：
边：
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
顶点：
每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
对角线：
在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
内角：
多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.
如图
多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。
（1）一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？
在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.
“想一想”：
六边形能分成多少个三角形，n（n是大于或等于3的自然数）边形呢？
你能确定n边形的内角和吗？
（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引（n－3）条对角线，这时n边形被分割成（n－2）个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n－2）·180°）
大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？
（必须是大于3的自然数.）
口答一下：
12边形的内角和是多少呢？
（1800°）
请同学们“想一想”：
观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：
正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.
2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形.
下面大家想一想，议一议：
1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
3.正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
1．.如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：
一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.
2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：
矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等.
3．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n－2）·180°,所以，正n边形的每个内角为：
·180°.
因此，正三角形的内角是：
；
正方形的内角是：
·180°=90°
正五边形的内角是：
正六边形的内角是：
；正八边形的内角是：
三．知识运用：
例1：
一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为
例2：
一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？
四.课堂练习
1.如下图.
（1）作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来.
（2）求这个多边形的内角和.
解：
（1）如下图：
过顶点A的对角线是AC、AD、AE.
（2）从
（1）图中可知：
这个六边形被过顶点A的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°.
也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：
（6－2）×180°=720°
探索多边形的内角和与外角和
（二）
教学目标
1.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角.
2.掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题.
一.巧设情景问题，引入课题
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小跑，按逆时针方向跑步.
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
在图中标出它们.
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5吗？
你是怎样得到的？
下面大家来看小亮的思考：
如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′，得到∠α、∠β、∠γ、∠δ、∠θ,其中：
∠α=∠1,∠β=∠2,∠γ=∠3,∠δ=∠4,∠θ=∠5.
大家看图，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的角，那是什么角呢？
它们的和叫什么呢？
（这五个角是五边形的外角，它们的和叫外角和.）
我们这节课就来探讨多边形的外角、外角和.
二.讲授新课
那什么是多边形的外角、外角和呢？
我们可类似三角形的外角定义来定义多边形的外角.另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角。
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.
一般地，在多边形的任一顶点处按顺（逆）时针方向可作外角，n边形有n个外角.
那多边形的外角和是多少呢？
我们来回忆一下：
三角形的外角和为多少？
（360°）
刚才我们又研究了五边形的外角和，它为360°，
想一想：
如果广场的形状是六边形、八边形.它们的外角和也等于360°吗？
（六边形的外角和是360°，八边形的外角和是360°）
那么能不能由此得出：
多边形的外角和都等于360°呢？
能得证吗？
因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以，n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为（n－2）·180°,因此，外角和为：
n·180°－（n－2）·180°=360°.
性质：
多边形的外角和都等于360°
由此可知，多边形的外角和与多边形的边数无关，它恒等于360°.下面想一想、议一议：
利用多边形外角和的结论，能不能推导多边形内角和的结论呢？
（因为对于n（n是大于或等于3的整数）边形，每个顶点处的内角及其一个外角恰好组成一个平角.因此，n边形的内角和与外角和的和为n·180°，所以，n边形的内角和就等于n·180°－360°=n·180°－2×180°=（n－2）·180°）.
三．知识应用
［例1］一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
分析：
这是多边形的内角和公式与外角和公式的简单应用.根据题意，可列方程解答.
（让学生动手解答）
解：
设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n－2）·180°,外角和等于360°，所以：
（n－2）·180°=3×360°
解得：
n=8
这个多边形是八边形.
四.课堂练习
1.一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是n边形？
解：
因为多边形的外角和等于360°，所以根据题意，可知道这个多边形的边数是：
360°÷60°=6
2.下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？
为什么？
解：
这种正多边形是正六边形，理由是：
设：
这个正多边形的一个内角为x°，
则由题图得：
3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得：
n×120°=（n－2）×180°.解得n=6
（二）试一试
1.是否存在一个多边形，它的每个内角都等于相邻外角的
？
为什么？
解：
不存在，理由是：
如果存在这样的多边形，设它的一个外角为α，则对应的内角为180°－α，于是：
×α=180°－α,解得α=150°.
这个多边形的边数为：
360°÷150°=2.4,而边数应是整数，因此不存在这样的多边形.
2.在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？
最多能有几个锐角？
解：
最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是：
设四边形的四个内角的度数分别为：
α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°.
α+β+γ+δ＞360°.
同理最多能有三个小于90°.
中心对称图形
教学目标：
1.了解中心对称图形及其基本性质.
2.掌握平行四边形是中心对称图形.
教学过程：
一.巧设情景问题，引入课题
1、这些图形有什么共同的特征？
（都可由一个基本图形经过旋转而得到）
2、共同回顾轴对称图形，某图形沿某条轴对折能重合，那么有没有什么图形绕着某点旋转也能重合呢？
3、能将上图中的“风车”绕其上的一点旋转180O，使旋转前后的图形完全重合吗？
正六边形呢？
观察他们的旋转动画，显示其旋转180O能完全重合的特殊性。
二.讲授新课
1、对特殊的旋转的定义
定义：
在平面内，一个图形绕某个点旋转180O，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
对比轴对称图形与中心对称图形：
（列出表格，加深印象）
轴对称图形
中心对称图形
有一条对称轴——直线
有一个对称中心——点
沿对称轴对折
绕对称中心旋转180O
对折后与原图形重合
旋转后与原图形重合
巩固知识：
下面哪个图形是中心对称图形？
2、探讨研究中心对称图形的的性质：
在轴对称中，如等腰梯形ABCD中,OP为对称轴，
则点A与点D是一对对应点，那么A、D两点
连线与对称轴的关系为：
被对称轴垂直且平分
提出问题：
左图是一幅中心对称图形，请你找出点A绕点O旋转180O
后的对应点B,点C的对应点D呢？
你是怎么找的？
现在你能很快地找到点E的对应点F吗？
从上面的操作过程，你能发现中心对称图形上的一对对应点与对称中心的关系吗？
即：
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
3、做一做（提出问题）
（1）猜想：
平行四边形是中心对称图形吗？
如果是，对称中心是什么？
（引导学生思考、猜想结论）演示动画。
巩固学生对平行四边形中心对称性的理解。
得出结论：
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点。
巩固知识：
正方形是中心对称图形吗？
正方形绕两条对角线的交点旋转多少度能与原来的图形重合？
能由此验证正方形的一些特殊性质吗？
4、想一想（再次深入研究讨论。
）
（1）三角形是中心对称图形吗？
（2）正五边形是中心对称图形吗？
（3）正六边形是中心对称图形吗？
（4）除了平行四边形，你还能找到哪些多边形是中心对称图形？
归纳：
中心对称的图形很多，如边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
5、数学源于生活，服务于生活，那么在生活中有那些中心对称图形的例子？
（学生举例说明）
三、随堂练习：
1、在数字0至9中，哪些是中心对称图形？
2、世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有轴对称和中心对称性。
请问以下三个图形中是轴对称图形的有，是中心对称图形的有。
一石激起千层浪方向盘铜钱
3．下图中，哪个“风车”是中心对称图形？
（1）
（2）（3）
4．请你用若干根长度相等的火柴棒摆成一个中心对称图形，并说明你所摆出的图案的含义。
四.课时小结
（1）中心对称图形的定义；
（2）中心对称图形的性质；
（3）我们所学过的多边形中有哪些是中心对称图形；
（4）中心对称图形的应用。
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