中考数学图形的变换专题复习导学案.docx

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中考数学图形的变换专题复习导学案

2017年中考数学图形的变换专题复习导学案

2017年中考数学专题练习27《图形的变换》

【知识归纳】

一．平移

1.定义：

在平面内，将一个图形沿某个______移动一定的________，这样的图形移动称为平移.

2.平移的性质：

（1）对应线段平行（或共线）且_______，对应点所连的线段_______，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；

（2）对应角分别_____，且对应角的两边分别平行、方向一致；

（3）平移变换后的图形与原图形______

二.轴对称与轴对称图形

1.轴对称

（1）定义：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形_____，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫对称点.

（2）性质：

（1）对应点的连线被对称轴____；

（2）对应线段______；

（3）成轴对称的两个图形_________

2.轴对称图形：

定义：

如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做_____，这条直线叫做它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别：

轴对称是指_____全等图形之间的相互位置关系；轴对称图形是指具有特殊形状的___图形.

（2）联系：

（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形是轴对称图形；

（2）如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称平移与轴对称的坐标特征

（1）平移的坐标特征：

①点（x，y）向右（或向左）平移a个单位长度后，对应点的坐标为_______；

②点（x，y）向上（或向下）平移a个单位长度后，对应点的坐标为__________．

（2）轴对称的坐标特征：

①关于x轴对称的两个图形中，点（x，y）的对称点的坐标为______；

②关于y轴对称的两个图形中，点（x，y）的对称点的坐标为__________．

三.旋转

1.旋转的定义：

在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做______，转动的角叫做_____

2.图形的旋转有三个基本条件：

（1）；

（2）；（3）旋转的性质：

（1）对应点到旋转中心的距离________；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于_______；

（3）旋转前后的图形_______中心对称与中心对称图形

（1）中心对称的定义：

把一个图形绕着某一点旋转_______后，如果它能与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做____

（2）中心对称的性质

（1）成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心______；

（2）成中心对称的两个图形______

（3）中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一点旋转_____，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么我们把这个图形叫中心对称图形，这个点叫做_____

【基础检测】

1．（2016巴中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

2．（2016深圳）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

3．（2016河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）

4．（2016海南）在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（1，2）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）

5．（2016青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

（　　）

A．B．C．D．

6．（2016黄石）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C．D．（2016黑龙江龙东）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．

（1）画出△A1B1C1；

（2）画出△A2B2C2；

（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．

8．（2016黑龙江齐齐哈尔6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）

（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；

（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

【达标检测】

一.选择题：

1．（2016重庆）下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

2．（2016邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

3．（2016河北）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

4．（2016黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

5．（2015湖南郴州，第8题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）

　A．B．2C．3D．．（2015辽宁抚顺）（第10题，3分）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）

　A．3B．1.5C．2D．

二．填空题（2016江西3分）如图所示，△ABC中，∠BAC=33°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB′C′，则∠B′AC的度数为．

8.（2016四川内江）如图12所示，已知点C（1，0），直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是______．

9.（2016黑龙江龙东3分）如图，MN是⊙O的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B为弧AN的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为　．

10．（2016黑龙江龙东3分）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次変换，如果这样连续经过2016次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为　　．

三．解答题（2016云南省昆明市）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）

（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；

（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；

（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．2.（2016浙江绍兴）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．

（1）分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点M是直线l上的一点，点A惯有点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．

①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？

请说明理由．

②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．．（2016黑龙江龙东）已知：

点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？

请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．

【知识归纳答案】

一．平移

1.定义：

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的___距离，这样的图形移动称为平移.

2.平移的性质：

（1）对应线段平行（或共线）且相等_，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；

（2）对应角分别相等，且对应角的两边分别平行、方向一致；

（3）平移变换后的图形与原图形全等

二.轴对称与轴对称图形

1.轴对称

（1）定义：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形_重合__，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，叫对称点.

（2）性质：

（1）对应点的连线被对称轴垂直平分；

（2）对应线段相等；

（3）成轴对称的两个图形全等

2.轴对称图形：

定义：

如果一个图形沿某一条直线对折后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做____轴对称图形__，这条直线叫做它的对称轴．这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别：

轴对称是指两个全等图形之间的相互位置关系；轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形.

（2）联系：

（1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形是轴对称图形；

（2）如果把一个轴对称图形中对称的部分看成是两个图形，那么它们成轴对称平移与轴对称的坐标特征

（1）平移的坐标特征：

①点（x，y）向右（或向左）平移a个单位长度后，对应点的坐标为_（x±a，y）；

②点（x，y）向上（或向下）平移a个单位长度后，对应点的坐标为___（x，y±a）________．

（2）轴对称的坐标特征：

①关于x轴对称的两个图形中，点（x，y）的对称点的坐标为____（x，－y）_______；

②关于y轴对称的两个图形中，点（x，y）的对称点的坐标为___（－x，y）________．

三.旋转

1.旋转的定义：

在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做__旋转中心______，转动的角叫做__旋转角______

2.图形的旋转有三个基本条件：

（1）旋转中心；

（2）旋转方向；（3）旋转角度旋转的性质：

（1）对应点到旋转中心的距离_相等_______；

（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角______；

（3）旋转前后的图形__全等______中心对称与中心对称图形

（1）中心对称的定义：

把一个图形绕着某一点旋转____180°____后，如果它能与另一个图形___重合_____，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，该点叫做__对称中心_____

（2）中心对称的性质

（1）成中心对称的两个图形，对应点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心___平分_____；

（2）成中心对称的两个图形___全等____

（3）中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一点旋转___180°__，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么我们把这个图形叫中心对称图形，这个点叫做___对称中心______

【基础检测答案】

1．（2016巴中）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】利用轴对称图形定义判断即可．

【解答】解：

在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，故选D．

【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．

2．（2016深圳）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．（2016河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）

A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）

【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．

【解答】解：

菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得

D点坐标为（1，1）．

每秒旋转45°，则第60秒时，得

45°×60=2700°，

2700°÷360=7.5周，

OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），

故选：

B．

【点评】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．

4．（2016海南）在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1，若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（　　）

A．（1，2）B．（2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（﹣2，﹣1）

【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B1关于原点对称，据此求出B1的坐标即可．

【解答】解：

∵△A1OB1是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，

∴点B和点B1关于原点对称，

∵点B的坐标为（2，1），

∴B1的坐标为（﹣2，﹣1）．

故选D．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

5．（2016青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、不是轴对称图形．是中心对称图形，故此选项错误；

B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．

故选：

B．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

6．（2016黄石）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．（2016黑龙江龙东6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．

（1）画出△A1B1C1；

（2）画出△A2B2C2；

（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．

【分析】

（1）由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；

（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长．

【解答】解：

（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；

（3）OA==4，

点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2π．

8．（2016黑龙江齐齐哈尔6分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）

（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；

（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；

（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标．

【考点】作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．

【分析】

（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；

（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；

（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求．

【解答】解：

（1）如图所示，△A1B1C1为所求做的三角形；

（2）如图所示，△A2B2O为所求做的三角形；

（3）∵A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，﹣4），

∴A2A3所在直线的解析式为：

y=﹣5x+16，

令y=0，则x=，

∴P点的坐标（，0）．

【达标检测答案】

一.选择题：

1．（2016重庆）下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【解答】解：

A、不是轴对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．（2016邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】分别根据轴对称图形与中心对称图形的性质对各选项进行逐一分析即可．

【解答】解：

A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项错误；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

【点评】本题考查的是轴对称图形，熟知轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合是解答此题的关键．

3．（2016河北）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4．（2016黑龙江）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．B．C．D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；

B、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

D、是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项正确．

故选：

D．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5．（2015湖南郴州，第8题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）

　A．B．2C．3D．【解析】翻折变换（折叠问题）．利用翻折变换的性质得出：

∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．

【解答】解：

如图所示：

由题意可得：

∠1=∠2=30°，则∠3=30°，

可得∠4=∠5=60°，

∵AB=DC=BE=3，

∴tan60°===，

解得：

EF=．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4=∠5=60°是解题关键．

6．（2015辽宁抚顺）如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=3，则△AEC的面积为（　　）

　A．3B．1.5C．2D．

【解析】旋转的性质．.根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．

【解答】解：

∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=A