知识梳理与自测人教A版文科数学《75合情推理与演绎推理》.docx
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知识梳理与自测人教A版文科数学《75合情推理与演绎推理》
§7.5 合情推理与演绎推理
最新考纲
考情考向分析
1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单演绎推理．
3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题.
1．合情推理
类型
定义
特点
归纳推理
根据某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊
2.演绎推理
（1）定义：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
（2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
概念方法微思考
1．合情推理所得结论一定是正确的吗？
提示 合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．
2．合情推理对我们学习数学有什么帮助？
提示 合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．
3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？
提示 大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．（ × ）
（2）由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．（ √ ）
（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．（ × ）
（4）“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．（ √ ）
（5）一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是an＝n（n∈N*）．（ × ）
（6）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．（ × ）
题组二 教材改编
2．[P23例2]已知在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是（ ）
A．an＝3n－1B．an＝4n－3
C．an＝n2D．an＝3n－1
答案 C
解析 a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.
3．[P35A组T5]在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n（n<19，n∈N*）成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．
答案 b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17，n∈N*）
解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，
b＝b1＋n·b17－n，
可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n（n<17，n∈N*）．
题组三 易错自纠
4．正弦函数是奇函数，f（x）＝sin（x2＋1）是正弦函数，因此f（x）＝sin（x2＋1）是奇函数，以上推理（ ）
A．结论正确B．大前提不正确
C．小前提不正确D．全不正确
答案 C
解析 f（x）＝sin（x2＋1）不是正弦函数，所以小前提错误．
5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
则正确的结论是________．（填序号）
答案 ①④
解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．
6．（2018·河南八市联考）观察下列关系式：
1＋x＝1＋x；2≥1＋2x，3≥1＋3x，……，由此规律，得到的第n个关系式为________．
答案 （1＋x）n≥1＋nx
解析 左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n个关系式为（1＋x）n≥1＋nx（n∈N*）．
题型一 归纳推理
命题点1 与数式有关的的推理
例1
（1）（2018·成都模拟）《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：
把阳爻“
”当做数字“1”，把阴爻“
”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“
”表示的十进制数是（ ）
A．18B．17C．16D．15
答案 B
解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“
”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17，故选B.
（2）观察下列式子：
1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：
1＋＋＋…＋<________.
答案
解析 由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2018，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a2017＝3＋（2017－1）×2＝4035.
命题点2 与图形变化有关的推理
例2（2019·哈师大附中模拟）分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为（ ）
A．81B．121
C．364D．1093
答案 C
解析 由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，
所以，n＝1时，a1＝1；
n＝2时，a2＝3＋1＝4；
n＝3时，a3＝3×4＋1＝13；
n＝4时，a4＝3×13＋1＝40；
n＝5时，a5＝3×40＋1＝121；
n＝6时，a6＝3×121＋1＝364，故选C.
思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略
（1）与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．
（2）与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．
（3）与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．
跟踪训练1某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为（ ）
A．21B．34C．52D．55
答案 D
解析 由2＝1＋1，3＝1＋2，5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.
题型二 类比推理
例3
（1）已知{an}为等差数列，a1010＝5，a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.若{bn}为等比数列，b1010＝5，则{bn}类似的结论是（ ）
A．b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝5×2019
B．b1b2b3…b2019＝5×2019
C．b1＋b2＋b3＋…＋b2019＝52019
D．b1b2b3…b2019＝52019
答案 D
解析 在等差数列{an}中，令S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019，
则S＝a2019＋a2018＋a2017＋…＋a1，
∴2S＝（a1＋a2019）＋（a2＋a2018）＋（a3＋a2017）＋…＋（a2019＋a1）＝2019（a1＋a2019）
＝2019×2a1010＝10×2019，
∴S＝a1＋a2＋a3＋…＋a2019＝5×2019.
在等比数列{bn}中，令T＝b1b2b3…b2019，
则T＝b2019b2018b2017…b1，
∴T2＝（b1b2019）（b2b2018）（b3b2017）…（b2019b1）＝（b）2019，
∴T＝b1b2b3…b2019＝（b1010）2019＝52019.
（2）如图
（1）所示，点O是△ABC内任意一点，连接AO，BO，CO，并延长交对边于A1，B1，C1，则＋＋＝1，类比猜想：
点O是空间四面体V—BCD内的任意一点，如图
（2）所示，连接VO，BO，CO，DO并延长分别交面BCD，VCD，VBD，VBC于点V1，B1，C1，D1，则有____________________．
答案 ＋＋＋＝1
解析 利用类比推理，猜想应有＋＋＋＝1.
用“体积法”证明如下：
＋＋＋＝＋＋＋＝＝1.
思维升华类比推理常见的情形有：
平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比（加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方）．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．
跟踪训练2在平面上，设ha，hb，hc是△ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：
＋＋＝1.把它类比到空间中，则三棱锥中的类似结论为____________________．
答案 ＋＋＋＝1
解析 设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：
＋＋＋＝1.
题型三 演绎推理
例4数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n∈N*）．证明：
（1）数列是等比数列；
（2）Sn＋1＝4an.
证明
（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，
∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），即nSn＋1＝2（n＋1）Sn.
∴＝2·，
又＝1≠0，（小前提）
故是以1为首项，2为公比的等比数列．（结论）
（大前提是等比数列的定义，这里省略了）
（2）由
（1）可知＝4·（n≥2），
∴Sn＋1＝4（n＋1）·＝4··Sn－1
＝4an（n≥2），（小前提）
又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，（小前提）
∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.（结论）
（第
（2）问的大前提是第
（1）问的结论以及题中的已知条件）
思维升华演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．
跟踪训练3某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（ ）
A．今天是周六B．今天是周四
C．A车周三限行D．C车周五限行
答案 B
解析 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．故选B.
1．（2018·豫南九校联考）“对数函数是非奇非偶函数，f（x）＝log2|x|是对数函数，因此f（x）＝log2|x|是非奇非偶函数”，以上推理（ ）
A．结论正确B．大前提错误
C．小前提错误D．推理形式错误
答案 C
解析 本命题的小前提是f（x）＝log2|x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f（x）＝log2|x|不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如y＝logax（a>0且a≠1）的才是对数函数．故选C.
2．（2018·四川冲刺演练）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造．据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年．算筹记数的方法是：
个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为
.
1～9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则
的运算结果可用算筹表示为（ ）
答案 D
解析 根据题意，
＝36＝729，
用算筹记数表示为
，故选D.
3．（2018·西北师大附中冲刺诊断）下列推理是归纳推理的是（ ）
A．M，N为定点，动点P满足||PM|－|PN||＝2a<|MN|（a>0），则动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线
B．由a1＝2，an＝3n－1求出S1，S2，S3，猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇
答案 B
解析 A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B选项根据前3个S1，S2，S3的值，猜想出Sn的表达式，属于归纳推理，符合要求．C选项由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．D选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B.
4．观察下列等式，13＋23＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102.
根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63等于（ ）
A．192B．202C．212D．222
答案 C
解析 因为13＋23＝32，13＋23＋33＝62，
13＋23＋33＋43＝102，等式的右端依次为
（1＋2）2，（1＋2＋3）2，（1＋2＋3＋4）2，
所以13＋23＋33＋43＋53＋63＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）2＝212，故选C.
5．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（ ）
A．丙酉年B．戊申年C．己申年D．己酉年
答案 D
解析 天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，
从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉，故选D.
6．甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成绩等级．老师说：
“你们四人中有2人A等，1人B等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成绩等级，给乙看丙的成绩等级，给丙看丁的成绩等级”．看后甲对大家说：
“我知道我的成绩等级了”．根据以上信息，则（ ）
A．甲、乙的成绩等级相同
B．丁可以知道四人的成绩等级
C．乙、丙的成绩等级相同
D．乙可以知道四人的成绩等级
答案 D
解析 由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最后所说的话，
甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成绩等级不一定是相同的，
所以A是不对的，乙、丙的成绩等级不一定是相同的，所以C是不正确的，
丁没有看任何人的成绩等级，所以丁不可能知道四人的成绩等级，所以B是不对的，
只有乙可能知道四人的成绩等级，所以D是正确的．
7．在等差数列{an}中，若公差为d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，类比上述性质，写出在等比数列{bn}中类似的性质：
___________________________________________.
答案 在等比数列{bn}中，若公比为q，且b1＝q，则bm·bn＝bm＋n
解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在等比数列{bn}中，若公比为q，且b1＝q，则bm·bn＝bm＋n.”
8．观察下列等式：
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
……
照此规律，第n个等式为________．
答案 n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2
解析 由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为（2n－1）2，故第n个等式为
n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2.
9．已知f（x）＝，x≥0，若f1（x）＝f（x），fn＋1（x）＝f（fn（x）），n∈N*，则f2019（x）的表达式为________．
答案 f2019（x）＝
解析 f1（x）＝，f2（x）＝＝，f3（x）＝＝，…，fn＋1（x）＝f（fn（x））＝，
归纳可得f2019（x）＝.
10.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定理c2＝a2＋b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面的结论有________．
答案 S2＝S＋S＋S
解析 三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：
S2＝S＋S＋S.
11．（2019·吉林调研）《聊斋志异》中有这样一首诗：
“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
2＝，3＝，4＝，
5＝，……，
则按照以上规律，若8＝具有“穿墙术”，则n＝________.
答案 63
解析 ∵2＝2＝，
3＝3＝，
4＝4＝，
5＝5＝，
∴按照以上规律8＝，可得n＝82－1＝63.
12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：
将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________．
答案 336
解析 因为这些整数能被2除余1且被3除余1，
所以这些数组成的数列的通项an＝6n＋1，
设6n＋1≤2018，所以6n≤2017，所以n≤336.
所以此数列的项数为336.
13．一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为（0，1），第4步结束时质点所在位置的坐标为（－1，1），那么第2018步结束时该质点所在位置的坐标为________．
答案 （16，－22）
解析 当运动：
1＋1＋2＋2步时，坐标为（－1，－1）；
当运动：
1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为（－2，－2）；
当运动：
1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为（－3，－3）；
……
当运动：
1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n（n为偶数）步时，
坐标为.
而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n＋n≤2018，
即n（n＋1）≤2018（n∈N*），解得n≤44.
当n＝44时，该点的坐标为（－22，－22），共走了1980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为（16，－22）．
14．（2019·贵州适应性考试）为了提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设原信息为a1a2a3，传输信息为h1a1a2a3h2，其中h1＝a1a2，h2＝h1a3，运算规则为：
00＝0，01＝1，10＝1，11＝0.例如：
原信息为111，则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（ ）
A．01100B．11010C．10110D．11000
答案 D
解析 A选项原信息为110，则h1＝a1a2＝11＝0，h2＝h1a3＝00＝0，所以传输信息为01100，A选项正确；
B选项原信息为101，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为11010，B选项正确；
C选项原信息为011，则h1＝a1a2＝01＝1，h2＝h1a3＝11＝0，所以传输信息为10110，C选项正确；
D选项原信息为100，则h1＝a1a2＝10＝1，h2＝h1a3＝10＝1，所以传输信息为11001，D选项错误；
故选D.
15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点（算第1层），第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案 C
解析 由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n（n≥2，n∈N*）层的点数为6（n－1）．设一个点阵有n（n≥2，n∈N*）层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6（n－1）＝1＋6·＝3n2－3n＋1，由题意，得3n2－3n＋1＝169，即（n＋7）·（n－8）＝0，所以n＝8，故共有8层．
16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝AB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列{Sn}的四个命题：
①数列{Sn}不是
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