九年级上期数学证明二5 课时学案.docx

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九年级上期数学证明二5课时学案

九年级上期数学学案

第一章证明

（二）3.线段的垂直平分线（第一课时）

课前预习

线段垂直平分线的性质定理是什么

线段垂直平分线的判定定理是什么

用尺规作线段的垂直平分线

已知：

求作：

作法：

用尺规作线段的中点

已知：

求作：

作法：

课堂内容

我们曾利用折纸的办法得到：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，你能证明这一结论吗？

已知：

.

求证：

证明：

画图

你能写出上面这个定理的逆命题吗？

它是真命题吗？

如果是，请你证明它

已知：

求证：

证明：

画图

当堂练习

1．如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则（）

A．l垂直ABB．l平分ABC．l垂直平分ABD．不能确定

2．如图，ED为△ABC的AC边的垂直平分线，且AB=5，△BCE的周长为8，则BC＝.

当堂测试

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，若DB＝10cm，则AC＝.

2．在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC=.

线段的垂直平分线（第二课时）

课前预习

利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线时，你发现了什么的结论？

结论

三线共点的证明方法

已知底边上的高，求作等腰三角形.

已知：

线段a、b

求作：

△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.

作法：

画图

课堂内容

证明线段垂直平分线的相关结论

已知：

.

求证：

证明：

画图

当堂练习

1、到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）

A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边中垂线的交点

2、如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）

A.30°B.36°C.45°D.70°

3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D，则∠BCD的度数是.

当堂测试

1如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=

∠DAB；④△ABC是正三角形。

请写出正确结论的序号（把你认为正确结论的序号都填上）。

2已知：

如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF。

当D点在什么位置时，DE=DF？

并加以证明.

角平分线（第一课时）

课前预习

角平分线的性质定理：

角平分线性质定理的逆定理：

用尺规作已知角的平分线

已知：

求作：

作法：

课堂内容

还记得角平分线上的点有什么性质吗？

你是怎样得到的？

你能证明它吗？

已知：

.

求证：

证明：

画图

你能写出这个定理的逆命题吗?

如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．

这个命题是真命题吗．

角平分线性质定理的逆命题：

在且到角的距离相等的点，在这个角的角平分线上．

已知：

求证：

证明：

画图

当堂练习

1、角平分线的尺规作图，其根据是构造两个全等三角形，由作图可知：

判断所构造的两个三角形全等的依据是（）

A.SSSB.ASAC.SASD.AAS

2已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则△ODE的周长.

当堂测试

1如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为.

2已知在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，DE⊥AB于E，且AE=EB，DE=DC，求∠B的度数.

1.4、角平分线

（二）

课前预习

习题1．8的第1题作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么?

发现：

三角形的三个内角的交于点．这到三角形的距离相等．

剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论?

与同伴交流．

证明这个结论

已知：

.

求证：

证明：

画图

课堂内容

例如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

（1）已知CD=4cm，求AC的长；

（2）求证：

AB=AC+CD．

当堂练习

1如图，FD⊥AO于D，FE⊥BO于E，下列条件：

①OF是∠AOB的平分线；②DF=EF；③DO=EO；④∠OFD=∠OFE。

其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于______度

当堂测试

23、如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高.

求证：

AD垂直平分EF.

回顾与思考

1．你能说说作为证明基础的几条公理吗？

公理：

同位角相等，；

公理：

两直线平行，；

公理：

的两个三角形全等；

公理：

的两个三角形全等；

公理：

的两个三角形全等；

公理：

全等三角形的．

２．向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法．

①综合法：

从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理；

②反证法．

３．你能说出一对互逆命题吗？

它们的真假性如何？

４．任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分．

已知：

如图，∠AOB

求作：

（1）射线OC，使∠AOC=∠BOC；

（2）射线OD、OE，使∠AOD=∠DOC=∠COE=∠EOB

建立本章的知识框架图

本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？

等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理．

1．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理：

（1）与等腰三角形、等边三角形有关的结论：

性质：

等腰三角形的相等，即等边对；

等腰三角形的、底边上的、底边上的互相重合；

等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。

等边三角形的三条边都相等，三个角都，并且每个角都等于；

等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等。

判定：

有相等的三角形是等腰三角形；

有一个角是的等腰三角形是等边三角形；

三个都的三角形是等边三角形。

（2）与直角三角形有关的结论：

勾股定理的逆定理；

在直角三角形中，如果一个锐角等于°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（）

（3）与一般三角形有关的结论：

在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）。

2．命题的逆命题及其真假：

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的和，那么这两个命题称为互逆命题。

其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为。

其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

例如勾股定理及其逆定理。

3．尺规作图

线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形。

角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线。

反馈练习

一、填空题（每小题7分，共35分）

　　1.已知等腰三角形的两边长分别为1cm和2cm，则这个等腰三角形的周长为________.

　　2.已知：

如图1，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，且AB=10cm．则△DEB的周长是_________.

　　3.有一个角是30°的直角三角形三条边的比为__________.

　　4.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B

的大小为_________.

　　5.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是__________________.

　　二、选择题（每小题7分，共35分）

　　6.下列命题中，真命题的个数是（　　）

（1）三边长分别为

、

、

的三角形是直角三角形；

（2）三边长分别为15、20、25的三角形是直角三角形；

　　（3）有两条边长分别为4和3，另一边的长大于5的三角形不是直角三角形；

　　（4）有两条边的长分别为3和4，另一边的长小于5的三角形不是直角三角形．

　　A.1　　　B.2　　　C.3　　　　D.4

　　7.在△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，则高AD=（　　）

　　A.8cm　　　B.12cm　　　C.16cm　　　D.15cm

　　8.等腰三角形的底边长为a，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（　　）

　　A.

　　　B.

　　　C.

　　　D.

　　9.已知：

如图2，DE是AC的垂直平分线，AE=9cm，△ABD的周长为39cm，那么△ABC的周长是（　　）cm

　　A.39　　　　B.48　　　　C.57　　　　D.21

　　10.已知：

如图3，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿

直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（　　）

　　A.3cm　　　B.2cm　　　C.4cm　　　D.5cm

　　三、解答题（每小题15分，共30分）

　　11.作图：

在△ABC中，求作一点P，使得PB=PC，并且P到AB的距离等于P到BC的距离．（要求写已知、求作、作法，并保留作图痕迹）

12.已知：

如图4，在△ABC中，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，且BE、AD相交于

点H．

　　求证：

BH=AC．

附加题（10分,不计入总分）

　　在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE.

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=____度；

（2）设∠BAC=α，∠BCE=β.

　　①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请说明理由；

　　②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的结论.