数学知识总汇.docx

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数学知识总汇

一、《集合与函数》

　　内容子交并补集，还有幂指对函数。

性质奇偶与增减，观察图象最明显。

　　复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

　　指数与对数函数，两者互为反函数。

底数非１的正数，１两边增减变故。

　　函数定义域好求。

分母不能等于０，偶次方根须非负，零和负数无对数；

　　正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。

　　两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Ｙ＝Ｘ是对称轴；

　　求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

　　幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

　　奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

　　二、《三角函数》

　　三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

　　同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；

　　中心记上数字１，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，

　　顶点任意一函数，等于后面两根除。

诱导公式就是好，负化正后大化小，

　　变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

　　将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求值，

　　余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

　　计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

　　逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

　　万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；

　　１加余弦想余弦，１减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；

　　三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；

　　利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集；

　　三、《不等式》

　　解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

　　高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

　　证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与０比大小，作商和１争高下。

　　直接困难分析好，思路清晰综合法。

非负常用基本式，正面难则反证法。

　　还有重要不等式，以及数学归纳法。

图形函数来帮助，画图建模构造法。

　　四、《数列》

　　等差等比两数列，通项公式Ｎ项和。

两个有限求极限，四则运算顺序换。

　　数列问题多变幻，方程化归整体算。

数列求和比较难，错位相消巧转换，

　　取长补短高斯法，裂项求和公式算。

归纳思想非常好，编个程序好思考：

　　一算二看三联想，猜测证明不可少。

还有数学归纳法，证明步骤程序化：

　　首先验证再假定，从Ｋ向着K加１，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

　　五、《复数》

　　虚数单位ｉ一出，数集扩大到复数。

一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

　　对应复平面上点，原点与它连成箭。

箭杆与Ｘ轴正向，所成便是辐角度。

　　箭杆的长即是模，常将数形来结合。

代数几何三角式，相互转化试一试。

　　代数运算的实质，有ｉ多项式运算。

ｉ的正整数次慕，四个数值周期现。

　　一些重要的结论，熟记巧用得结果。

虚实互化本领大，复数相等来转化。

　　利用方程思想解，注意整体代换术。

几何运算图上看，加法平行四边形，

　　减法三角法则判；乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

　　三角形式的运算，须将辐角和模辨。

利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

　　辐角运算很奇特，和差是由积商得。

四条性质离不得，相等和模与共轭，

　　两个不会为实数，比较大小要不得。

复数实数很密切，须注意本质区别。

　　六、《排列、组合、二项式定理》

　　加法乘法两原理，贯穿始终的法则。

与序无关是组合，要求有序是排列。

　　两个公式两性质，两种思想和方法。

归纳出排列组合，应用问题须转化。

　　排列组合在一起，先选后排是常理。

特殊元素和位置，首先注意多考虑。

　　不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。

排列组合恒等式，定义证明建模试。

　　关于二项式定理，中国杨辉三角形。

两条性质两公式，函数赋值变换式。

　　七、《立体几何》

　　点线面三位一体，柱锥台球为代表。

距离都从点出发，角度皆为线线成。

此处有图

　　垂直平行是重点，证明须弄清概念。

线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。

计算之前须证明，画好移出的图形。

　　立体几何辅助线，常用垂线和平面。

射影概念很重要，对于解题最关键。

　　异面直线二面角，体积射影公式活。

公理性质三垂线，解决问题一大片。

　　八、《平面解析几何》

　　有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

　　笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。

　　两种思想相辉映，化归思想打前阵；都说待定系数法，实为方程组思想。

　　三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

　　四件工具是法宝，坐标思想参数好；平面几何不能丢，旋转变换复数求。

　　解析几何是几何，得意忘形学不活。

图形直观数入微，数学本是数形学。

数学必修1

1.集合

　　（约4课时）

（1）集合的含义与表示

　　①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

　　②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

（2）集合间的基本关系

　　①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

　　②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

　　（3）集合的基本运算

　　①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

　　②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

　　③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2.函数概念与基本初等函数I

　　（约32课时）

（1）函数

　　①进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

　　②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

　　③了解简单的分段函数，并能简单应用。

　　④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。

　　⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参见例1）。

（2）指数函数

　　①（细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。

　　②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

　　③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。

　　④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。

　　（3）对数函数

　　①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。

　　②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

　　③知道指数函数与对数函数互为反函数（a＞0，a≠1）。

　　（4）幂函数

　　通过实例，了解幂函数的概念；结合函数的图象，了解它们的变化情况。

　　（5）函数与方程

　　①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

　　②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

　　（6）函数模型及其应用

　　①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。

　　②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

　　（7）实习作业

　　根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。

具体要求参见数学文化的要求。

数学必修2

1.立体几何初步

　　（约18课时）

（1）空间几何体

　　①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

　　②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。

　　③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

　　④完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。

　　⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

（2）点、线、面之间的位置关系

　　①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。

　　◆公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

　　◆公理2：

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

　　◆公理3：

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

　　◆公理4：

平行于同一条直线的两条直线平行。

　　◆定理：

空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

　　②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。

　　操作确认，归纳出以下判定定理。

　　◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

　　◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

　　◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

　　◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。

　　操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。

　　◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。

　　◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。

　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行。

　　◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

　　③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。

2.平面解析几何初步

　　（约18课时）

（1）直线与方程

　　①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

　　②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。

　　③能根据斜率判定两