二有限元分析的基本过程.docx
《二有限元分析的基本过程.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二有限元分析的基本过程.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
二有限元分析的基本过程
二有限元分析的基本过程
1单元
有限元-连续体的离散化，将整体结构分割为若干基本单元，每个单元有若干节点。
单元中的基本物理量（结构分析-位移；热分析-温度；电磁分
析-电位势，磁通量；流体分析-流量，等）用单元节点处的值表示，可以写为：
{u}=[P]{ue}
其中：
{u}-单元中任意点的物理量值，它是坐标的函数：
{u}={u（x,y,z）}
[P]-形状函数，与单元形状、节点坐标和节点自由度等有关
{ue}-单元节点的物理量值；对于结构位移法可以是位移、转角或其对坐标的导数。
常用的大型分析软件中基本上是位移+转角。
结构分析时一些常用单元的节点自由度（在单元坐标系中）
杆元：
单元形状为线段，变形形式为拉伸和扭转。
在单元坐标系中：
节点自由度为Tx和Rx，其中x为杆的轴线。
在总体坐标系中：
三个位移和三个转角（T1,T2,T3,R1,R2,R3）。
梁元：
单元形状为线段，变形形式为拉伸、扭转，以及两个垂
直于轴线方向的弯曲
在单元坐标系中：
节点自由度为Tx,Ty,Tz,Rx,Ry,Rz。
其中x为梁的轴线，Y,z为梁截面的两个抗弯惯矩主轴方向。
在总体坐标系中：
三个位移和三个转角（T1,T2,T3,R1,R2,R3）。
平面单元：
三角形或四边形，变形为两个面内位移。
节点自由度为T1,T2。
单元坐标系与总体坐标系一致。
轴对称单元：
三角形或四边形，变形为两个面内位移。
节点自由度为T1,T2。
单元坐标系与总体坐标系一致。
板壳元：
三角形或四边形，变形包括两个面内位移，法向位移及两个转角（一般缺少绕法线转角）。
在单元坐标系中：
三个位移和三个转角（Tx,Ty,Tz,Rx,Ry）
在总体坐标系中：
三个位移和三个转角（T1,T2,T3,R1,R2,R3）
三维实体：
四面体〜六面体，三个方向的位移，无转角。
节点自由度为三个位移（T1,T2,T3），单元坐标系与总
体坐标系一致。
结构分析时一些特殊单元
为了表征结构分析中遇到的一些特殊现象，多数CAE软件中都引入了
一些特殊的单元，例如：
弹簧单元-模拟拉压或弯扭弹簧连接
阻尼单元-模拟阻尼器等结构件
质量单元-用于处理集中质量
接触单元-用于处理接触非线性问题
间隙单元-用于处理接触非线性问题
拉索单元-用于模拟只受拉不受压的线结构
各种连接单元-用于模拟结构件之间的不同连接方式，如
铰接、刚性连接等
刚体单元-将结构的某一部分处理为刚体，可减小计算模
型的规模
单元形状函数举例（未必是实际使用的单元）：
（1）一维单元
a.杆单元
轴向拉伸和扭转：
节点位移自由度为Tx,Rx
对2节点单元（线性单元）：
Tx=a0+al*x
Rx=bO+bl*x
各有2个未知数，可以由2个节点的位移值确定；
对3节点单元（二次单元）：
Tx=aO+al*x+a2*x2
Rx=bO+bl*x+b2*x2
各有3个未知数，可以由3个节点的位移值确定；
b.梁单元
拉伸和扭转的形状函数与杆的情况相同；
对于弯曲变形（以单元坐标系y向为例），2节点单元相应的形状函数为:
Ty=cO+c1*x+c2*x2+c3*x3
由两个节点的Ty,Rz可以确定四个未知数；
对于3节点单元:
Ty=c0+c1*x+c2*x2+c3*x3+c4*x4+c5*x5
由3个节点的Ty,Rz可以确定6个未知数；
（2）二维单元
a.平面单元（平面问题，轴对称问题），以Tx为例三节点三角元：
Tx=a0+a1*x+a2*y
三个未知数可以由三个节点的Tx表示；
6节点三角元：
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2
6个未知数可以由6个节点的Tx表示；
4节点四边形元：
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*xy
4个未知数可以由4个节点的Tx表示；
8节点四边形元：
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2+a6*（x3+xy2）+a7*（x2y+y3）
8个未知数可以由8个节点的Tx表示；
上面使用的简单多项式，对于4节点或8节点四边形（特别是使用简单多项式的8节点单元，三次项缺失较多），使用效果往往不好。
实际使用的是"等参数单元"，通过曲线坐标变换，将任意三角形或四边形变换为等参数坐标系中的正三角形或正方形。
然后用内插函数”来构造形状
函数。
（2）二维单元（续）
b.弯曲单元（板、壳问题）
平面内的变形与平面问题相同，主要考虑法向弯曲变形-Tz，每个节点
有三个弯曲自由度：
Tz,Rx,Ry（法向位移和两个转角）。
三节点三角元：
Tz=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2
+a6*x3+a7*（x2y+xy2）+a8*y3
9个未知数可以由三个节点的Tz,Rx,Ry表示。
这是一个不完整的三次多项式，实际使用的是完整的三次多项式，然后添加约束条件消除多出来的一个未知数。
4节点四边形元：
Tz=a0+a1*x+a2*y+a3*x2+a4*xy+a5*y2
+a6*x3+a7*x2y+a8*xy2+a9*y3+2个四次项
12个未知数可以由四个节点的Tz,Rx,Ry表示。
这是一个不完整的四次多项式，效果较差，实际使用的是"等参数单元"0
同样可以构造"高阶"单元（6节点三角元、8节点四边形单元）0
（3）三维实体单元
每个节点三个自由度：
Tx,Ty,Tz，一般情况，单元坐标系x,y,z与总体坐标系X,Y,Z相同。
a.四面体单元（以Tx为例）
4节点单元：
Tx=aO+a1*x+a2*y+a3*z
四个未知数由四个节点的Tx确定。
10节点单元（增加6个边的中点）：
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z+a4*x2+a5*y2+
a6*z2+a7*xy+a8*yz+a9*zx
10个未知数由10个节点的Tx确定。
b.六面体单元（以Tx为例）
8节点单元（直观的例子，实际用"等参数单元"）:
Tx=a0+a1*x+a2*y+a3*z+a4*x2+a5*y2+
a6*z2+a7*（xy+yz+zx）
8个未知数由8个节点的Tx确定。
20节点六面体单元：
使用完整的三次多项式，共20个未知数，由20个节点的Tx确定。
实际中使用的是"等参数单元"。
理论上，计算结果应该随着网格的细化而收敛到精确值。
但实践发现，单
元的形状函数对其计算结果和收敛性有较大影响。
经数学界研究发现，单元的构
造必须满足相容性（协调性）和完备性要求，才能保证计算结果的收敛性。
（1）单元的完备性要求：
对一般的多项式形式的单元形状函数，必须是与所解决问题的"应变-位
移"关系式中的最高阶导数相同阶数的完整多项式。
与"应变-位移"关系式中的最高阶导数相同阶数的多项式，在"应变-位
移"关系式中微分后得到常应变项。
因此，如果该多项式不完整，就会丢失某些常应变项，导致结果不准确。
这一条可以归结为：
位移函数必须包含全部刚体位移和常应变项。
（2）单元的相容性（协调性）要求：
单元的位移函数必须包含所解决问题的"应变-位移"关系式中的最高阶导数低一阶的连续性。
即，在相邻单元的边界上，该导数必须连续。
如一般弹性问题（平面问题、轴对称问题和三维弹性问题），其应变-位移”关系式中只包括位移对坐标的一阶导数，只要求在单元边界上位移连续。
因此其位移形状函数只要包含坐标的一次多项式即可（Tx=a0+a1*x+a2*y+
a3*z…）。
对板弯曲问题，"应变-位移"关系式包含位移对坐标的二次导数，在单元边界上需要位移和转角都连续，因而板弯曲单元的节点自由度至少需要三个自由度：
Tz,Rx,Ry。
这也造成了难以构造简单而又满意的板弯曲单元。
在满足相容性（协调性）要求的情况下，随着网格的细化，结果是单调收敛的。
如果只满足完备性，而不满足相容性（如板弯曲问题），解有时也能收敛，但一般不是单调收敛。
2单元特性的推导（略）
3单元组集
将所有单元的应变能求和，得到整个结构的应变能：
U=SUe=1/2{u}T［K］{u}
其中{u}是整个结构所有节点的总体位移自由度按顺序排列所成，称为结构位移矢量；［K］是将各单元的刚度矩阵对应相同总体自由度的元素叠加后得到。
考虑两个杆单元的情况（下页图），各单元的节点位移矢量和单元刚度矩阵
用总体自由度序号表示如下:
在计算整个结构的应变能时，将两个单元刚度矩阵中具有相同下标的元素进
行求和，例如K4,4~K4,6、K5,4~K5,6、K6,4~K6,6，从而得到整个结构的刚度矩阵。
123
如果单元中作用有外力，可以根据静力等效原理把它们分配到单元的节点上:
然后可以求出节点外力在节点位移上所做的功：
V=[F]{u}
其中[F]为所有节点的外力矢量（每个节点三个分量）,{u}为所有节点的位移矢量（每个节点三个分量）。
然后，根据最小势能原理，真实位移应该使总势能取极小值：
总势能为：
P=U-V=1/2{u}T[K]{u}-[F]{u}
对{u}取极值，即总势能对{u}的一次导数为零：
an
9{u}
由此得到：
[K]{u}-{F}=0
或
[K]{u}={F}
这就是待求解的有限元代数方程。
由于将复杂的微分方程转换为有限个数的代数方程，从而使问题的求解变得容易。
不过，现在还不能马上求解，因为数学上已经证明，没有约束的结构的刚度矩阵是一个奇异矩阵（行列式为零），从物理上来说，即存在刚体运动，及时很小的外力也能够造成无穷大的位移。
为了求解，必须对结构施加足够的约束以消除所有可能的刚体运动。
常用的约束条件有：
指定节点位移（通常是零）；
弹性约束（弹性地基）
等。
缺乏足够的约束常常是求解失败的主要原因之一。
在约束自由度上会产生约束反力，对于结构而言，约束反力也是一种外力,以{R}表示约束反力，整个结构的方程可以写成：
[K]{u}={F}+{R}
其中反力{R}仅在约束自由度上不为零。
对整个结构的位移自由度重新排序，将已知位移自由度放到最后，分别以下标f和r代表未知和已知的自由度，则有：
『Kgt=rra+roi
Lk十KrJLurJIfJIkJ
展开后分解为两个方程：
[Kff]{uf}={Ff}
[Krf]{uf}+[Krr]{ur}={Fr}+{R}
第一个方程用来求解未知的位移自由度，第二个方程改写为：
{R}={Fr}-[Krf]{uf}-[Krr]{ur}
用来计算约束反力。
在求出整个结构的节点位移后，可以回到各单元，计算单元的应力、应变等其它所需的物理量（通常称为数据恢复）。
至于节点应力、应变等物理量，通常用与节点相邻的单元的平均值代表。
升级会员 