广东惠州市届高三数学第二次调研试题理科带解析.docx

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广东惠州市届高三数学第二次调研试题理科带解析

广东惠州市2018届高三数学第二次调研试题（理科带解析）

惠州市2018届高三第二次调研考试

理科数学

全卷满分150分，时间120分钟．

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

（1）若（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

（2）已知集合，，若，

则实数的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

（3）设为三条不同的直线，为一个平面，下列命题中正确的个数是（）

①若，则与相交；②若则；

③若||，||，，则；④若||，，，则||.

（A）1（B）2（C）3（D）4

（4）“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是（）

（A）（B）（C）（D）

（5）设随机变量服从正态分布，若，

则实数等于（）

（A）7（B）6（C）5（D）4

（6）《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：

把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

坤

0000

震

0011

坎

0102

兑

0113

依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）

（A）（B）（C）（D）

（7）已知等差数列的前项和为，且，，

则数列的前10项和为（）

（A）（B）（C）（D）

（8）旅游体验师小明受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为（）

（A）24（B）18（C）16（D）10

（9）已知，为双曲线的左右顶点，点在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

（10）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，

则最大值为（）

（A）（B）（C）（D）

（11）函数部分图像如图所示，且，对不同的，若，有，则（）

（A）在上是减函数（B）在上是增函数

（C）在上是减函数（D）在上是增函数

（12）函数是定义在上的奇函数,当时,，则函数在上的所有零点之和为（）

（A）8（B）（C）（D）0

二．填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）已知，且，则____________．

（14）某班共有56人，学号依次为1,2,3,…,56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则还有一位同学的学号应为_____．

（15）已知数列满足，则数列的通项公式为．

（16）在四边形中，，已知，与的夹角为，且，，则___________．

三．解答题：

共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

共60分。

（17）（本小题满分12分）

已知中，角的对边分别为，.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，．

（1）求证：

平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

（19）（本小题满分12分）

某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，背诵结果只有“正确”和“错误”两种。

其中某班级背诵正确的概率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成首背诵后总得分为”.

（1）求且的概率；

（2）记，求的分布列及数学期望.

（20）（本小题满分12分）

已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足，.

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；

（2）若斜率为的直线与圆相切，与

（1）中所求点的轨迹交于不同的两点,是坐标原点，且时，求的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

已知函数，．

（1）若函数的图象在处的切线与轴平行，求的值；

（2）若，恒成立，求的取值范围．

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（本小题满分10分）[选修4-4：

坐标系与参数方程]

已知曲线（为参数）和定点，、是此曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求直线的极坐标方程；

（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于、两点，

求的值．

（23）（本小题满分10分）[选修4-5：

不等式选讲]

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，

求实数的取值范围.

惠州市2018届高三第二次调研考试

理科数学参考答案

一、选择题：

（每小题5分，共60分）

题号123456789101112

答案ADCCBBBDDCBA

1．【解析】由题意知，其对应点的坐标为，在第一象限．

2．【解析】集合，由可得，.

3．【解析】②错，①③④正确.

4．【解析】“不等式在上恒成立”即，，

同时要满足“必要不充分”，在选项中只有“”符合.

5．【解析】由随机变量服从正态分布可得对称轴为，又

，与关于对称，，

即.

6．【解析】由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的，

转化为十进制数的计算为

7．【解析】由及等差数列通项公式得，又，，，，，

8．【解析】第1种：

甲在最后一个体验，则有种方法；第2种：

甲不在最后体验，则有种方法，所以小明共有.

9．【解析】设双曲线方程为，不妨设点M在第一象限，所以，，作轴于点，则，故，，所以，将点代入双曲线方程，得，所以.

10．【解析】依题意，题中的几何体是三棱锥P­ABC（如图所示），

其中底面ABC是直角三角形，，面ABC，

，，，因此

，

当且仅当，即时取等号，因此xy的最大值是64.

11．【解析】由题意，，，又，有，，即，且，即，解得，

，，单调递增.解得.所以选项B符合.

12．【解析】令，所以求的零点之和和的交点横坐标之和，分别作出时，和图象，如图

由于和都关于原点对称，因此的零点之和为0，而当时，，即两函数刚好有1个交点，而当时的图象都在的上方，因此零点之和为8.

二．填空题：

本题共4小题，每小题5分。

13．14.1615.16.2

13．【解析】；，由且可得.

14．【解析】由题意得，需要从56人中分成4组，每组的第2位学号为抽出的同学，所以有.

15．【解析】由两边同除可得，又，成以为首，公差为的等差数列，，.

16．【解析】，，，又，，代入式子可得

三．解答题：

共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解：

（1），

由正弦定理可得…………2分

，即

又，，，即.…………6分

（2）由余弦定理可得，…………9分

又，，，的面积为.………12分

18.解：

（1）取中点，连接、、，

∵四边形是边长为的菱形，∴．

∵，∴是等边三角形．

∴，．……2分

∵，∴．

∵，∴．∴．……4分

∵，∴平面．

∵平面，∴平面平面．……5分

（2）∵，∴．

由

（1）知，平面平面，∴平面，

∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，

则．

∴．……6分

设平面的法向量为，

由，得，取，得，……8分

设平面的法向量为，由，得，

取，得，……10分

∴，由图可知二面角为锐二面角，∴二面角的的余弦值为．……12分

19.解：

（Ⅰ）当时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首；

由可得：

若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；

若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，

此时的概率为：

；……4分

（Ⅱ）∵的取值为10，30，50，又，，

∴，……6分

，……8分

……10分

ξ

3050

∴的分布列为：

∴．……12分

20.解：

（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以

所以点的轨迹是以点，为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，……2分

，，……3分

故点的轨迹方程是……4分

（2）设直线，

直线与圆相切

联立……6分

……7分

……8分

……9分

……10分

所以

为所求.……12分

21.解：

（1），的图象在处的切线与轴平行，

即在处的切线的斜率为0，即，……4分

（2）f′（x）＝2（ex－x＋a），又令h（x）＝2（ex－x＋a），则h′（x）＝2（ex－1）≥0，

∴h（x）在[0，＋∞）上单调递增，且h（0）＝2（a＋1）．……5分

①当a≥－1时，f′（x）≥0恒成立，即函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，

从而必须满足f（0）＝5－a2≥0，解得－5≤a≤5，又a≥－1，∴－1≤a≤5.……8分

②当a－1时，则存在x00，使h（x0）＝0且x∈（0，x0）时，h（x）0，即f′（x）0，

即f（x）单调递减，x∈（x0，＋∞）时，h（x）0，即f′（x）0，即f（x）单调递增．

∴f（x）min＝f（x0）＝2ex0－（x0－a）2＋3≥0，

又h（x0）＝2（ex0－x0＋a）＝0，从而2ex0－（ex0）2＋3≥0,解得0x0≤ln3.

由ex0＝x0－a⇒a＝x0－ex0，令M（x）＝x－ex，0x≤ln3，

则M′（x）＝1－ex0，∴M（x）在（0，ln3]上单调递减，

则M（x）≥M（ln3）＝ln3－3，又M（x）M（0）＝－1，

故ln3－3≤a－1.……11分

综上，ln3－3≤a≤5.……12分

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）解：

（1）曲线C：

可化为，其轨迹为椭圆，

焦点为和．…………2分

经过和的直线方程为，即，……4分

极坐标方程为.…………5分

（2）由

（1）知，直线AF2的斜率为，因为⊥AF2，所以的斜率为，倾斜角为30°，所以的参数方程为（t为参数），…………6分

代入椭圆C的方程中，得．…………8分

因为M，N在点F1的两侧，所以…………10分

23.解：

（1）当时，，……………3分

由得不等式的解集为.……………5分

（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，

因为，在处取得最大值，……8分

所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，

只需，即.………10分