向量矩阵的运算.docx
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向量矩阵的运算
第三章
向量、矩阵的运算
学习目标：
1、正确输入向量、矩阵；
2、熟悉MATLAB中向量、矩阵基本运算的命令；
3、会访问提取向量、矩阵中元素；
4、能用MATLAB进行矩阵的初等变换。
第一节向量的运算
由n个数组成的一个有序数组，称为一个n维向量，记作：
或
，前者称为行向量，后者称为列向量。
一、向量的生成：
方法一：
生成向量的最直接方式是把向量元素逐个从键盘上直接输入，用“[]”括起来，元素之间可以用逗号、空格、分号分隔，注意不同的是，用空格和逗号分隔生成行向量，用分号分隔生成列向量。
方法二：
利用冒号表达式生成
格式是:
a:
d:
b,d为”步长”即公差.
方法三：
利用线性等分命令linspace，先设定向量的维数,再生成等间隔的向量.
格式是：
x=linspace（a,b）%生成100维的行向量,使得x1=a,x100=b,
x=linspace（a,b,n）,%生成n维行向量,使得x1=a,xn=b.
例如：
>>x=[1,2,5,8,10]
x=
125810
>>y=1:
2:
10
y=
13579
>>z=linspace（1,10,5）
z=
1.00003.25005.50007.750010.0000
二、向量中的元素操作
MATLAB允许访问向量中的元素和对元素重新赋值，元素的位置编号写在小括号内，如：
x（n）表示向量x的第n个元素。
在小括号中可以使用冒号表达式和“[]”，此时表示访问向量中的多个元素。
如：
x（1:
3）%访问x的前3个元素
x（5:
-2:
1）%访问x的第5、3、1个元素
x（[1,3,4]）%访问x的第1、3、4个元素
x（3）%访问x的第3个元素
x（5）=-3%给x的第5个元素重新赋值为-3
三、向量的运算
向量运算
命令格式
a+b
a+b
a+k
a+k
ka
k.*a
a.b向量点积
dot（a,b）
向量的长度（范数）
norm（a）
例：
a=（7,2,0,-8）,b=（2,1,-4,3），求1）3a+7b2）a.b
>>
（1）3*a+7*b
ans=
3513-28-3
（2）dot（a,b）
ans=
-8
>>
第二节矩阵
一、矩阵的生成：
1）数值型小矩阵的生成：
把矩阵中的元素从键盘逐一输入，放置在“[]”内，同行元素之间用逗号或空格分隔，行与行之间用分号或回车键分隔；
2）特殊数值矩阵的生成：
利用内部语句和函数命令可快速产生特殊矩阵。
如单位矩阵、零矩阵、全1阵、随机矩阵、空矩阵。
命令格式
说明
[]
生成空矩阵
eye（n）
eye（m,n）
eye（size（A））
生成n阶单位矩阵
生成m行n列单位矩阵
生成与矩阵A同阶的单位矩阵
zeros（n）
zeros（m,n）
zeros（size（A））
生成n阶零矩阵
生成m行n列零矩阵
生成与矩阵A同阶的零矩阵
ones（n）
ones（m,n）
ones（size（A））
生成n阶全1矩阵
生成m行n列全1矩阵
生成与矩阵A同阶的全1矩阵
rand（n）
rand（m,n）
rand（size（A））
生成n阶随机矩阵
生成m行n列随机矩阵
生成与矩阵A同阶的随机矩阵
randn（m,n）
生成m行n列的标准正态随机矩阵
例如：
>>A=eye（3）
A=
100
010
001
>>B=ones（2,3）
B=
111
111
>>C=rand（size（A））
C=
0.95010.48600.4565
0.23110.89130.0185
0.60680.76210.8214
3）符号矩阵：
用sym或syms命令
方法一：
sym（‘[]’）
方法二：
先用syms命令创建符号变量，再用创建数值型矩阵的方法输入。
例如：
>>A=sym（'[ab;cd]'）
A=
[a,b]
[c,d]
>>symsx
>>B=（[cos（x）,sin（x）;-x,x^2+1]）
B=
[cos（x）,sin（x）]
[-x,x^2+1]
注：
符号型矩阵输出时的特征是每行都用“[]”括起来。
二、矩阵的基本数学运算：
矩阵运算
命令格式
说明
加法
A+B
A,B必须是行列数分别相等的同型矩阵
减法
A-B
数乘
k*A
乘法
A*B
矩阵A的列数与矩阵B的行数相同
除法:
左除（/）、右除（\）
A/B，B\A
A/B相当于
B\A相当于
矩阵的行列式|A|
det（A）
A必须是方阵
逆矩阵
int（A）
A必须是方阵
矩阵的秩R（A）
rank（A）
矩阵的转置
A
矩阵的特征值、特征向量
X=eig（A）
[X,Y]=eig（A）
只求A的特征值
X为A的特征值，t=
t=
t=
t=
t=
t=
t=
t=
t=
Y为A的特征向量
例：
1、求矩阵
的逆矩阵
>>A=[23-1;120;-12-2]
A=
23-1
120
-12-2
>>inv（A）
ans=
0.6667-0.6667-0.3333
-0.33330.83330.1667
-0.66671.1667-0.1667
>>formatrat%指定数值输出为分数形式
>>ans
ans=
2/3-2/3-1/3
-1/35/61/6
-2/37/6-1/6
例2、解矩阵方程：
>>X=[1-30;1027;1078]*inv（[12-3;32-4;2-10]）
X=
20-1513
-10577-58
-152112-87
例3、求矩阵
的特征值和特征向量：
>>[X,D]=eig（[11/20;01/21;000]）
X=
1-985/1393881/2158
0985/1393-881/1079
00881/2158%X为特征向量
D=
100
01/20
000
>>eig（[11/20;01/21;000]）%求特征值
ans=
1
1/2
0
上机实践：
1）、
，
，求：
AB，BA（AB=BA吗？
）
2）、设
，
解矩阵方程：
（2A-X）+2（B-X）=0
3）、解矩阵方程：
4）、求矩阵的A秩：
5）、求方阵
的逆矩阵
6）、用克拉默法则解线性方程组：
第三节矩阵的元素操作
一、MATLAB可以对矩阵元素作如下操作：
提取、赋值、删除、增加元素，从矩阵中提取小矩阵，由小矩阵合并成大矩阵。
命令格式
说明
A（i）
单下标访问，把A的元素按列从左到右连接成一个列向量，提取A的第i个元素
A（i,j）
双下标访问，提取元素
A（i,:
）
提取矩阵A的第i行
A（:
j）
提取矩阵A的第j列
A（[m,n],[s,t]）
提取矩阵A的第m,n行和第s,t列交叉处元素
A（i,j）=a
给元素
重新赋值为a
A（i,j）=[]
删除元素
例如：
>>A=zeros（2,4）%生成2行4列的零矩阵
A=
0000
0000
>>A（1,3）%重新赋值，使
=4
ans=
0
>>A（:
[2,3]）=ones
（2）%把A的第2、3列元素的值变为1
A=
0110
0110
>>A（2,:
）%提取矩阵A的第2行
ans=
0110
二、矩阵的初等变换
1）互换变换：
矩阵的两行（列）互换位置。
A（[i,j],:
）=A（[j,i],:
）%交换A的第i行与第j行
A（:
[j,i]）=A（:
[i,j]）%交换A的第i列和第j列
2）数乘变换：
用一个非零数乘矩阵的某一行（列）的所有元素。
A（i,:
）=k*A（i,:
）%数k乘以A的第i行元素
A（：
，j）=k*A（:
j）%数k乘以A的第j列元素
3）消去变换：
把矩阵的某一行（列）乘以一个非零数后加到另一行上（列）去。
A（j,:
）=k*A（i,:
）+A（j,:
）%A的第i行元素乘以k后加到第j行上去。
A（:
j）=k*A（:
i）+A（:
j）%A的第i列元素乘以k后加到第j列上去。
例如：
用初等变换把矩阵
化为上三角阵
>>A=[-102;31-1;024]
A=
-102
31-1
024
>>A（1,:
）=-1*A（1,:
）
A=
10-2
31-1
024
>>A（2,:
）=-3*A（1,:
）+A（2,:
）
A=
10-2
015
024
>>A（3,:
）=-2*A（2,:
）+A（3,:
）
A=
10-2
015
00-6
上机实践：
1、设矩阵
，输入下列程序并解释语句的功能
（1）B（3,3）=0%
（2）B（2,6）=1%
注：
因为B没有6列，矩阵B的维数会根据需要增加，并且在其他没有赋值的位置填上0，以便使数组保持为一个矩形矩阵。
（3）B（:
4）=4%
（4）B（3:
-1:
1,1:
3）%
（5）B（1:
2,2:
3）%
（6）A1=B（[1,2],[3,4]）%
A2=B（[2,3],[1,2]）%
A=[A1,A2]%
2、用初等变换求矩阵
的逆矩阵
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