311 数系的扩充和复数的概念 学案人教A版选修12.docx

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311数系的扩充和复数的概念学案人教A版选修12

3．1.1　数系的扩充和复数的概念

课标解读

1.了解数系的扩充过程．

2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．（重点）

3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念．（难点、易混点）

复数的有关概念

【问题导思】　

1．为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x2＋1＝0在实数系中无根的问题？

【提示】　引入新数i，规定i2＝－1，这样i就是方程x2＋1＝0的根．

2．设想新数i和实数b相乘后再与a相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？

【提示】　a＋bi（a，b∈R）的形式．

（1）复数的定义：

把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数．

（2）虚数单位：

i，其满足i2＝－1.

（3）复数集：

全体复数构成的集合C.

（4）复数的代数形式：

z＝a＋bi（a，b∈R）．

（5）实部、虚部：

对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．

复数相等

　若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.

复数分类

（1）对于复数a＋bi，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．

这样，复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以分类如下：

复数a＋bi（a，b∈R）

（2）集合表示．

复数的基本概念

　下列命题中，正确命题的个数是（　　）

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；

④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；

⑤－1没有平方根；

⑥若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数．

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

【思路探究】　根据复数的有关概念判断．

【自主解答】　①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．

②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．

③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，∴③是假命题．

④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错．

⑤－1的平方根为±i，∴⑤错．

⑥当a＝－1时，（a＋1）i＝0是实数，∴⑥错．故选A.

【答案】　A

　正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．

已知下列命题：

①复数a＋bi不是实数；

②当z∈C时，z2≥0；

③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；

④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；

⑤若a，b，c，d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c，且b＝d.其中真命题的个数是________．

【解析】　根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a∈R且b＝0时，a＋bi是实数．②假命题，如当z＝i时，则z2＝－1<0.③是假命题，因为由纯虚数的条件得

解得x＝2，当x＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a，b∈R.⑤是假命题，只有当a、b、c、d∈R时，结论才成立．

【答案】　0

复数的分类

　当实数m为何值时，复数z＝

＋（m2－2m）i是

（1）实数；

（2）虚数；（3）纯虚数．

【思路探究】　根据复数的分类标准→

列出方程（不等式）组→解出m→结论

【自主解答】　

（1）当

即m＝2时，复数z是实数．

（2）当m2－2m≠0，且m≠0，

即m≠0且m≠2时，

复数z是虚数．

（3）当

即m＝－3时，复数z是纯虚数．

1．本例中，极易忽略对m≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．

2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式（等式或不等式），求解参数时，注意考虑问题要全面．

　把题中的“z”换成“z＝lgm＋（m－1）i”，分别求相应问题．

【解】　

（1）当

即m＝1时，复数z是实数．

（2）当m－1≠0且m＞0，即m＞0且m≠1时，复数z是虚数．

（3）当lgm＝0且m－1≠0时，此时无解，即无论实数m取何值均不能表示纯虚数．

复数相等

　已知

＝（x2－2x－3）i（x∈R），求x的值．

【思路探究】　根据复数相等的充要条件转化成关于x的方程组求解．

【自主解答】　∵x∈R，∴

∈R，

由复数相等的条件得：

解得x＝3.

1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x，y的值．

2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x，y的范围．

求使等式（2x－1）＋i＝y－（3－y）i成立的实数x，y的值．

【解】　由

解得

因忽视虚数不能比较大小而出错

　求满足条件－2＋a－（b－a）i>－5＋（a＋2b－6）i的实数a，b的取值范围．

【错解】　由已知，得

解得a>－3，b<2.

【错因分析】　想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小．所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数．

【防范措施】　当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．细心审题，解题前明确每个参数的取值范围，牢记复数相等的充要条件，才能避免此类错误的出现．

【正解】　由－2＋a－（b－a）i>－5＋（a＋2b－6）i知，不等号左右两边均为实数，

所以

解得a＝b＝2.

1．对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．

2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件．

3．一般来说，两个复数不能比较大小．

1．（2012·北京高考）设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（　　）

A．充分而不必要条件　　B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　“a＝”D⇒\“a＋bi为纯虚数”，

“a＋bi为纯虚数”“⇒”“a＝0”，

∴选B.

【答案】　B

2．（1＋

）i的实部与虚部分别是（　　）

A．1，

B．1＋

，0

C．0,1＋

D．0，（1＋

）i

【解析】　根据复数的代数形式的定义可知（1＋

）i＝0＋（1＋

）i，

所以其实部为0，虚部为1＋

，故选C.

【答案】　C

3．下列命题中的假命题是（　　）

A．自然数集是非负整数集

B．实数集与复数集的交集为实数集

C．实数集与虚数集的交集是{0}

D．纯虚数与实数集的交集为空集

【解析】　本题主要考查复数集合的构成，即复数的分类．复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，故选项C中的命题是假命题．

【答案】　C

4．已知复数z＝m＋（m2－1）i（m∈R）满足z<0，则m＝________.

【解析】　∵z<0，∴

∴m＝－1.

【答案】　－1

一、选择题

1．若复数2－bi（b∈R）的实部与虚部互为相反数，则b的值为（　　）

A．－2　　　B.

　　　C．－

　　　D．2

【解析】　2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－（－b），∴b＝2.

【答案】　D

2．i是虚数单位，1＋i3等于（　　）

A．iB．－iC．1＋iD．1－i

【解析】　由i是虚数单位可知：

i2＝－1，所以1＋i3＝1＋i2×i＝1－i，故选D.

【答案】　D

3．（2012·陕西高考）设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋

为纯虚数”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【解析】　ab＝0⇒a＝0或b＝0，当a≠0，b＝0时，a＋

为实数，当a＋

为纯虚数时⇒a＝0，b≠0⇒ab＝0，故“ab＝0”是“复数a＋

为纯虚数”的必要不充分条件．

【答案】　B

4．若复数z＝（x2－1）＋（x－1）i为纯虚数，则实数x的值为（　　）

A．－1B．0C．1D．－1或1

【解析】　由题意可知，当

即x＝－1时，复数z是纯虚数．

【答案】　A

5．以3i－

的虚部为实部，以3i2＋

i的实部为虚部的复数是（　　）

A．3－3iB．3＋i

C．－

＋

iD．

＋

i

【解析】　3i－

的虚部为3,3i2＋

i＝－3＋

i的实部为－3，则所求复数为3－3i.

【答案】　A

二、填空题

6．给出下列复数：

2＋

，0.618，i2,5i＋4，

i，其中为实数的是________．

【解析】　2＋

，0.618，i2为实数，5i＋4，

i为虚数．

【答案】　2＋

，0.618，i2

7．已知x－y＋2xi＝2i，则x＝________；y＝________.

【解析】　根据复数相等的充要条件得

解得

【答案】　1　1

8．给出下列几个命题：

①若x是实数，则x可能不是复数；

②若z是虚数，则z不是实数；

③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；

④－1没有平方根；

⑤两个虚数不能比较大小．

则其中正确命题的个数为________．

【解析】　因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2.

【答案】　2

三、解答题

9．实数m分别为何值时，复数z＝

＋（m2－3m－18）i是：

（1）实数；

（2）虚数；（3）纯虚数．

【解】　

（1）要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.

故若使z为实数，则

，

解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．

（2）要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.

故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，

所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．

（3）要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.

故若使z为纯虚数，则

，

解得m＝－

或m＝1.

所以当m＝－

或m＝1时，z为纯虚数．

10．若m为实数，z1＝m2＋1＋（m3＋3m2＋2m）i，z2＝4m＋2＋（m3－5m2＋4m）i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？

使z1

【解】　当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，

m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.

当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，

m＝0,1,4，z2＝2或6或18.

上面m的公共值为m＝0，

此时z1与z2同时为实数，

此时z1＝1，z2＝2.

所以z1>z2时m值的集合为空集，

z1

11．已知关于x的方程x2＋（k＋2i）x＋2＋ki＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．

【解】　x＝x0是方程的实根，代入方程并整理，得

（x

＋kx0＋2）＋（2x0＋k）i＝0.

由复数相等的充要条件，得

解得

或

∴方程的实根为x0＝

或x0＝－

，相应的k值为k＝－2

或k＝2

.