六年级数学小升初专题训练第3节数论拓展人教新课标含答案.docx
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六年级数学小升初专题训练第3节数论拓展人教新课标含答案
第3节：
数论拓展
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
.这样，数字0〜9可以组成无穷无尽、千变万化的数。
数字的数值、数位的变化，决定不同的数.
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同.也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值。
例如“5”，写在个位上，就表示5
个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百，等等。
根据以上原则，我们可以将数写成另一种形式，例如：
926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100＋2×10＋6×1。
11.3表示1个十，1个一，3个0.1，即11.3=1×10＋1×1＋3×0.1。
有时，我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：
表示a个百，b个十，c个一。
其中，a可以是1〜9中的数字，不能是0；b和c是0〜9中的数字。
【例1】有一个小数，先把它的小数点向左移动2004位后，再向右移动2005位，结果是40.3，原来的小数是。
【例2】小李在某个三位数的最左边添上了一个数字1，得到一个新的四位数，且这个数是原数的9倍，那么原来的三位数是。
【例3】一个三位数，三个数位上的数字和为16，百位上的数字比十位上的数字小1，个位上的数字比十位上的数字大2，则十位上的数字是（）
A.4B.5C.6
1.有这样的一类三位数:
个位和百位上的数字交换后仍然是这个数，这样的三位数共有（）个。
A.10B.9C.90
2．—个两位数，它个位上的数字是m，十位上的数字是n，用含有字母的式子表示这个两位数是（）
A．
B．
C．
3.一个数的小数点向右移动一位后比原来的数大25.2，原数是。
4.一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为（）。
A.54B.27C.72D.45
5．—个自然数各个数位上的数之和是16，而且各数位上的数字都不相同。
符合条件的最小数是，最大数是。
6．一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。
这个三位自然数是。
7.小明做一道减法题，由于写竖式计算时，少写了减数末尾的0，算得的结果是452，而这一道题正确的得数是290，这一题的减数是。
8.一个数与它自己相加、相减、相除，其和、差、商相加的结果是21，则原来这个数是（）
9.80×☆+5与80×（☆+5）相差（）。
A.75B.5C.400D.395
10.小红在计算除法时，把除数34写成了43，结果得到的商是3还余7，那么正确的商应是（）
A.3B.2C.4
11.一位同学在计算a+167时，把167当做16.7，那么（）。
A．和增加了10倍B.和减少了10倍
C.和增加了（167-16.7）D.和减少了（167-16.7）
12.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。
甲数是。
1、将一个自然数的所有因数从小到大排列，最小因数和最大因数的乘积等于这个自然数，第2小的因数和第2大的因数的乘积也等于这个自然数，……，可见一个自然数的因数可以两两分组，而当一个自然数是完全平方数时，它的因数有奇数个，中间的因数乘以它本身，积等于这个自然数。
2、最大公因（约）数×最小公倍数＝两数的乘积。
即
。
【例1】甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450，且它们的差最小，那么甲、乙两数分别为和。
【例2】某班学生不到50人，一次数学考试中有
学生评为优秀、
学生评为良好、
学生评为及格，该班有（）个学生在这次考试中不及格。
A.1B.2C.3
【例3】a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是（），此时a和b的最小公倍数是（）
【例4】把自然数a和b分解质因数得到：
a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a和b的最小公倍数是2730，那么m=。
【例5】有100盏灯，分别对应编号为1至100的100个开关。
现在有编号为1至100的100个人来按动这些开关，已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去第100个人按的开关的编号是100的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这100个人按完后，还有（）盏灯是亮着的。
【例6】幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给孩子分巧克力，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个巧克力，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个巧克力，结果甲班比乙班总共多分了3个巧克力，乙班比丙班总共多分了5个巧克力，问三个班总共分了多少巧克力？
1.甲数=2×3×a，乙数=5×3×a，它们的最小公倍数是210，则a=，两数的最大公因数是。
2.A=2×3×a，B=3×a×7，已知A与B的最大公约数是15，那么a=，A与B的最小公倍数是。
3.A=2×3×5，B=2×2×3，A和B的最大公因数是，最小公倍数是。
4.
=2×3×m，b=3×5×m（是自然数且m≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是，a和b的最小公倍数是。
5.A=2×3×7，B=2×5×7，A和B的最大公因数是，最小公倍数是。
6.两个数的最大公约数是1，最小公倍数是72，这两个数是。
7.甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（）。
A、6月12日B、6月13日C、6月24日D、6月25日
8.已知m=2×3，那么m的因数有（）个
A.2B.4C.6
9.李明家客厅长6米，宽4.8米，计划用方砖铺地面，请你选择一种方砖，使地面都是整块方砖，你选择边长是（）的方砖。
A.50厘米B.60厘米C.70厘米D.100厘米
10.某班有学生52人，那么这个班男、女生人数的比可能是（）。
A.8:
7B.7:
6C.6:
5D.5:
4
11.一个合数分解质因数为N=a×b×c，它的约数有（）个。
（a、b、c不相等）
A.6B.7C.8
12.有—个自然数，他的最小的两个约数之和是4,最大的两个约数之和是100,则这个自然数。
13.右图是A、B、C三个互相咬合的齿轮若A轮转3圈，B轮转7圈，C轮转2圈，那么这三个齿轮的齿数最少是A轮（）齿，B轮（）齿，C轮（）齿。
1、与乘积有关的许多题目都可以用分解质因数的方法来解。
2、分类讨论思想是重要的数学思想之一，通过合理的分类，可以使一些题目迎刃而解。
【例1】在1-100这100个数中，数字1出现了（）次。
A.11B.20C.21
【例2】在一次射箭运动中，每箭得的环数是不超过10的自然数。
甲、乙两名运动员各射5箭，每人得的环数的积都是1764，但甲总环数比乙少4环。
求甲、乙各得多少环?
1.算式
的积末尾连续有个0。
2.马拉松长跑比赛中有100个运动员，分别给他们1至100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名
A、19B、20C、18D、21
3.马拉松长跑比赛中有100个运动员，分别给他们1－100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（）名
A.19B.20C.18D.21
4.一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，已知这个长方体的体积是9240,则这个长方形的表面积是。
5.已知等式
，若
和
分别代表一个整数，则
的值为。
1、带余除法的表示方法
被除数÷除数＝商……余数
也可以表示为其它形式：
被除数＝除数×商＋余数；除数＝（被除数－余数）÷商；商＝（被除数－余数）÷除数
2、余数的性质
（1）余数小于除数。
（2）a，b除以c，如果余数相同，那么a与b的差能被c整除。
（3）a与b的和除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个和除以c的余数）。
【当余数这和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c所得的余数】
（4）a与b的乘积除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个积除以c的余数）。
【当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c所得的余数】
【例1】在有余数的除法中，除数是b，商是c（b、c不等于0）被除数最大是（）
A.
B.
C.
D.
【例2】甲数除以乙数的商是5，余数是3，若甲数、乙数同时扩大10倍，那么余数为（）。
A.3B.30C.300
【例3】一堆苹果，用统一样式的袋子装袋，3个3个的装，最后剩下2个，5个5个的装，剩下2个，7个7个的装，也剩下2个，请问这堆苹果至少有多少个?
【例4】一个数除以5余2，除以7余3，被11除余7，满足条件的最小自然数为。
【例5】—个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是。
1.判断：
2700÷500的余数是200。
（）
2．甲除以乙的商是10，甲乙的和是77，甲是，乙是。
3.一个不为1的数除以2、3、5的余数都是1，这个数最小是。
4.在a÷b=4…1中，把a、b同时扩大3倍，商是，余数是。
5.某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人。
这个学校五年级至少有名学生。
6.0.29除以0.06的商是4，则余数是。
7.一个数除以6或8都余2，这个数最小是；一个数去除160余4，去除240余6，这个数最大是。
8.a除以b，商是3，余数是1，如果a和b同时扩大到原来的100倍，那么余数是（）
A.3B.300C.1D.100
9.有一个分数，如果分母加上6，分子不变，约分后为
；如果分子加上4，原分母不变，约分后为
。
原分数是。
第3节：
数论拓展参考答案
我们通常使用的是十进制计数法，其特点是“满十进一”。
.这样，数字0〜9可以组成无穷无尽、千变万化的数。
数字的数值、数位的变化，决定不同的数.
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同.也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值。
例如“5”，写在个位上，就表示5
个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百，等等。
根据以上原则，我们可以将数写成另一种形式，例如：
926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100＋2×10＋6×1。
11.3表示1个十，1个一，3个0.1，即11.3=1×10＋1×1＋3×0.1。
有时，我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：
表示a个百，b个十，c个一。
其中，a可以是1〜9中的数字，不能是0；b和c是0〜9中的数字。
【例1】有一个小数，先把它的小数点向左移动2004位后，再向右移动2005位，结果是40.3，原来的小数是4.03。
【例2】小李在某个三位数的最左边添上了一个数字1，得到一个新的四位数，且这个数是原数的9倍，那么原来的三位数是125。
【例3】一个三位数，三个数位上的数字和为16，百位上的数字比十位上的数字小1，个位上的数字比十位上的数字大2，则十位上的数字是（B）
A.4B.5C.6
1.有这样的一类三位数:
个位和百位上的数字交换后仍然是这个数，这样的三位数共有（C）个。
A.10B.9C.90
2．—个两位数，它个位上的数字是m，十位上的数字是n，用含有字母的式子表示这个两位数是（C）
A．
B．
C．
3.一个数的小数点向右移动一位后比原来的数大25.2，原数是2.8。
4.一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大9，则原来的两位数为D。
A.54B.27C.72D.45
5．—个自然数各个数位上的数之和是16，而且各数位上的数字都不相同。
符合条件的最小数是__79__，最大数是_643210_。
6．一个三位自然数正好等于它各数位上的数字和的18倍。
这个三位自然数是__162__。
7.小明做一道减法题，由于写竖式计算时，少写了减数末尾的0，算得的结果是452，而这一道题正确的得数是290，这一题的减数是180。
8.一个数与它自己相加、相减、相除，其和、差、商相加的结果是21，则原来这个数是（10）
9.80×☆+5与80×（☆+5）相差（D）。
A.75B.5C.400D.395
10.小红在计算除法时，把除数34写成了43，结果得到的商是3还余7，那么正确的商应是（C）
A.3B.2C.4
11.一位同学在计算a+167时，把167当做16.7，那么（D）。
A．和增加了10倍B.和减少了10倍
C.和增加了（167-16.7）D.和减少了（167-16.7）
12.小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。
甲数是93。
解答：
由于小胡和小涂都没有看错乙数，则乙数是1274和819的公约数中的两位数。
1274=2×7×7×13，819=3×3×7×13，
乙数可为13或91。
当乙数为91时，错看的甲数可能是：
1274÷91=14或819÷91=9。
由于甲数是两位数，显然这种情况不适合；
当乙数为13时，错看的甲数可能是：
1274÷13=98或819÷13=63。
结合题意可知小何看错的两位数为98，所以甲数十位上是9；
小涂看错了甲数的十位数字后的结果是63，所以甲数的个位上是3，由此得出甲数是93。
（3）【2016·天省2】在一个减法算式里，被减数、减数、差的和等于160，而且差是减数的3倍，差是多少？
160÷2÷（1+3）×3=60
答:
差是60。
3、将一个自然数的所有因数从小到大排列，最小因数和最大因数的乘积等于这个自然数，第2小的因数和第2大的因数的乘积也等于这个自然数，……，可见一个自然数的因数可以两两分组，而当一个自然数是完全平方数时，它的因数有奇数个，中间的因数乘以它本身，积等于这个自然数。
4、最大公因（约）数×最小公倍数＝两数的乘积。
即
。
【例1】甲、乙两数的最大公约数是75，最小公倍数是450，且它们的差最小，那么甲、乙两数分别为150和225。
【例2】某班学生不到50人，一次数学考试中有
学生评为优秀、
学生评为良好、
学生评为及格，该班有（A）个学生在这次考试中不及格。
A.1B.2C.3
【例3】a=2×3×m，b=3×5×m（m是自然数且≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是（7），此时a和b的最小公倍数是（210）
【例4】把自然数a和b分解质因数得到：
a=2×5×7×m，b=3×5×m，如果a和b的最小公倍数是2730，那么m=13。
【例5】有100盏灯，分别对应编号为1至100的100个开关。
现在有编号为1至100的100个人来按动这些开关，已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数……依此做下去第100个人按的开关的编号是100的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这100个人按完后，还有（90）盏灯是亮着的。
【例6】幼儿园有三个班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老师给孩子分巧克力，甲班每个小孩比乙班每个小孩少分3个巧克力，乙班每个小孩比丙班每个小孩少分5个巧克力，结果甲班比乙班总共多分了3个巧克力，乙班比丙班总共多分了5个巧克力，问三个班总共分了多少巧克力？
分析：
已知甲班比乙班多4人，则这4人所分的巧克力数之和能被4整除；这些巧克力减去3个之后，再分给乙班每人3个，则这4人所分的巧克力数之和也能被3整除．由此得出这4个人所分的巧克力数之和最少是12个．这时，乙班小孩的人数是：
（12-3）÷3=3（人），丙班小孩的人数是：
（12×2-8）÷8=2（人），乙班比丙班多1人．要使乙班比丙班多4人，甲班4个小孩分巧克力的数量应该是：
12×〔4÷（3-2）=48（个）．这样，乙班小孩的人数是：
（48-3）÷5=15（人），甲班小孩的人数是：
15+4=19（人）．然后求出三个班分别分得巧克力的数量，最后相加即可．
解答：
因为甲班比乙班多4人，则这4人所分的巧克力数之和能被4整除；这些巧克力减去3个之后，再分给乙班每人3个，则这4人所分的巧克力数之和也能被3整除。
由此得出这4个人所分的巧克力数之和最少是12个。
乙班小孩的人数是：
（12−3）÷3=3（人）；
丙班小孩的人数是：
（12×2−8）÷8=2（人）.
要使乙班比丙班多4人,甲班4个小孩分巧克力的数量应该是：
12×〔4÷（3−2）=48（个）.
乙班小孩的人数是：
（48−3）÷3=15（人），
甲班小孩的人数是：
15+4=19（人），
甲班共分巧克力的数量是：
48÷4×19=228（个），
乙班共分巧克力的数量是：
228−3=225（个），
丙班共分巧克力的数量是：
225−5=220（个）.
所以,三个班共分巧克力的数量是：
228+225+220=673（个）.
答：
三个班总共分了673个巧克力。
1.甲数=2×3×a，乙数=5×3×a，它们的最小公倍数是210，则a=7，两数的最大公因数是21。
2.A=2×3×a，B=3×a×7，已知A与B的最大公约数是15，那么a=5，A与B的最小公倍数是210。
3.A=2×3×5，B=2×2×3，A和B的最大公因数是6，最小公倍数是60。
4.
=2×3×m，b=3×5×m（是自然数且m≠0），如果a和b的最大公约数是21，则m是7，a和b的最小公倍数是210。
5.A=2×3×7，B=2×5×7，A和B的最大公因数是14，最小公倍数是210。
6.两个数的最大公约数是1，最小公倍数是72，这两个数是1,72或8,9。
7.甲每3天去少年宫一次，乙每4天去一次，丙每6天去一次，如果6月1日甲、乙、丙同时去少年宫，则下次同去少年宫应是（B）。
A、6月12日B、6月13日C、6月24日D、6月25日
8.已知m=2×3，那么m的因数有（B）个
A.2B.4C.6
9.李明家客厅长6米，宽4.8米，计划用方砖铺地面，请你选择一种方砖，使地面都是整块方砖，你选择边长是（B）的方砖。
A.50厘米B.60厘米C.70厘米D.100厘米
10.某班有学生52人，那么这个班男、女生人数的比可能是（B）。
A.8:
7B.7:
6C.6:
5D.5:
4
11.一个合数分解质因数为N=a×b×c，它的约数有（C）个。
（a、b、c不相等）
A.6B.7C.8
12.有—个自然数，他的最小的两个约数之和是4,最大的两个约数之和是100,则这个自然数75。
分析：
最小的两个约数中一定有一个是1，因此另一个是3，说明最大的约数是第二大的约数的3倍，而最大的两个约数之和为100，100÷（3+1）=25，所以最大的两个约数是25和75，这个自然数就是75．
解答：
最小的两个约数中一定有一个是1，因此另一个是3，最大的两个约数是：
100÷（3+1）=25，100−25=75.
所以最大的两个约数是25和75，这个自然数就是75.
13.【2019年·白广附（3）】右图是A、B、C三个互相咬合的齿轮若A轮转3圈，B轮转7圈，C轮转2圈，那么这三个齿轮的齿数最少是A轮（14）齿，B轮（6）齿，C轮（21）齿。
1、与乘积有关的许多题目都可以用分解质因数的方法来解。
2、分类讨论思想是重要的数学思想之一，通过合理的分类，可以使一些题目迎刃而解。
【例1】在1-100这100个数中，数字1出现了（C）次。
A.11B.20C.21
【例2】在一次射箭运动中，每箭得的环数是不超过10的自然数。
甲、乙两名运动员各射5箭，每人得的环数的积都是1764，但甲总环数比乙少4环。
求甲、乙各得多少环?
【解析】每次射箭的环数是0-10内的自然数,而5箭环数的积是1764,故不可能有0、5、10环。
而1764=1×2×2×3×3×7×7,可以推知两人都有两个7环,而其他3环环数是5个数:
1,2,2,3,3。
经过分组相乘而得到5种情形:
（1）1,4,9;
（2）1,6,6;（3）2,2,9;（4）2,3,6;（5）3,3,4,因此两人5箭的环数就有5种情形
7,7,1,4,9和是28
7,7,1,6,6和是27;
7,7,2,2,9和是27
7,7,2,3,6和是25
7,7,3,3,4和是24
而甲比乙少4环,所以只能是第一种和第五种情形,即甲24环，乙28环。
答:
甲的总环数是24,乙的总环数是28。
1.算式
的积末尾连续有12个0。
2.马拉松长跑比赛中有100个运动员，分别给他们1至100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（A）名
A、19B、20C、18D、21
3.马拉松长跑比赛中有100个运动员，分别给他们1－100的号码布，号码布上有数字7的运动员有（A）名
A.19B.20C.18D.21
4.一个长方体的长、宽、高是三个连续的自然数，已知这个长方体的体积是9240,则这个长方形的表面积是2644。
5.已知等式
，若
和
分别代表一个整数，则
的值为
（2）。
1、带余除法的表示方法
被除数÷除数＝商……余数
也可以表示为其它形式：
被除数＝除数×商＋余数；除数＝（被除数－余数）÷商；商＝（被除数－余数）÷除数
2、余数的性质
（1）余数小于除数。
（2）a，b除以c，如果余数相同，那么a与b的差能被c整除。
（3）a与b的和除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个和除以c的余数）。
【当余数这和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c所得的余数】
（4）a与b的乘积除以c所得的余数，等于a，b分别除以c所得的余数之和（或这个积除以c的余数）。
【当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c所得的余数】
【例1】在有余数的除法中，除数是b，商是c（b、c不等于0）被除数最大是（D）
A.
B.
C.
D.
【例2】甲数除以乙数的商是5，余数是3，若甲数、乙数同时扩大10倍，那么余数为（B）。
A.3B.30C.300
【例3】一堆苹果，用统一样式的袋子装袋，3个3个的装，最后剩下2个，5个5个的装，剩下2个，7个7个的装，也剩下2个，请问这堆苹果至少有多少个?
【解析】3×5×7+2=107（个）
答：
这堆苹果至少有107个。
【例4】一个数除以5余2，除以7余3，被11除余7，满足条件的最小自然数为（227）。
【例5】—个三位数被37除余17,被36除余3,那么这个三位数是831。
分析：
设一个三位数被37除余17的商为a，则这个三位数可以写成：
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