学年人教版七年级数学下册第五章 相交线与平行线 解答题常考题训练二.docx
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学年人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线解答题常考题训练二
人教版七年级数学下册第五章《相交线与平行线》
解答题常考题训练
（二）
1．如图，BC⊥AE于点C，∠A+∠BCD＝90°，∠B＝55°，求∠ECD的度数．
2．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．
（1）如图1，①若∠DCE＝40°，求∠ACB的度数；
②若∠ACB＝150°，直接写出∠DCE的度数是 度．
（2）由
（1）猜想∠ACB与∠DCE满足的数量关系是 ．
（3）若固定△ACD，将△BCE绕点C旋转，
①当旋转至BE∥AC（如图2）时，直接写出∠ACE的度数是 度．
②继续旋转至BC∥DA（如图3）时，求∠ACE的度数．
3．如图，已知AB∥DE．∠ABC＝70°，∠CDE＝140°，求∠C的度数．
4．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
5．已知：
如图EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）试说明GD∥CA；
（2）若CD平分∠ACB，DG平分∠CDB，且∠A＝40°，求∠ACB的度数．
6．如图，已知AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°，求∠BCP的度数．
7．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝30°时，且∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝100°，∠BAE：
∠CAE＝5：
1，求a的值；
（3）若∠BAE：
∠CAE＝n（n＞1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）．
8．已知：
直线GH分别与直线AB，CD交于点E，F．EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，并且EM∥FN．
（1）如图1，求证：
AB∥CD；
（2）如图2，∠AEF＝2∠CFN，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个角，使写出的每个角的度数都为135°．
9．如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．
（1）求证：
BE∥CF；
（2）若∠C＝35°，求∠BED的度数．
10．如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，DF∥AC，交AB点F．
（1）直接写出图中与∠BAC构成的同旁内角．
（2）请说明∠A与∠EDF相等的理由．
（3）若∠BDE+∠CDF＝234°，求∠BAC的度数．
11．如图，AB∥DG，AD∥EF．
（1）试说明：
∠1+∠2＝180°；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝138°，求∠B的度数．
12．探究：
如图①，AB∥CD∥EF，试说明∠BCF＝∠B+∠F．下面给出了这道题的解题过程，请在下列解答中，填上适当的理由．
解：
∵AB∥CD，（已知）
∴∠B＝∠1．（ ）
同理可证，∠F＝∠2．
∵∠BCF＝∠1+∠2，
∴∠BCF＝∠B+∠F．（ ）
应用：
如图②，AB∥CD，点F在AB、CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，则∠DNG的大小为 度．
拓展：
如图③，直线CD在直线AB、EF之间，且AB∥CD∥EF，点G、H分别在直线AB、EF上，点Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连结QG、QH．若∠GQH＝70°，则∠AGQ+∠EHQ＝ 度．
13．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）试判断DE与BC的位置关系，并说明理由．
（2）若DE平分∠ADC，∠2＝3∠B，求∠1的度数．
14．如图1，AB∥CD，E是AB、CD之间的一点．
（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F．直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
（3）将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
15．已知：
点A在射线CE上，∠C＝∠D．
（1）如图1，若AC∥BD，求证：
AD∥BC；
（2）如图2，若∠BAC＝∠BAD，BD⊥BC，请探究∠DAE与∠C的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明；
（3）如图3，在
（2）的条件下，过点D作DF∥BC交射线于点F，当∠DFE＝8∠DAE时，求∠BAD的度数．
16．已知：
MN∥PQ，点A，B分别在MN，PQ上，点C为MN，PQ之间的一点，连接CA，CB．
（1）如图1，求证：
∠C＝∠MAC+∠PBC；
（2）如图2，AD，BD，AE，BE分别为∠MAC，∠PBC，∠CAN，∠CBQ的角平分线，求证∠D与∠E互补；
（3）在
（2）的条件下，如图3，过点D作DA的垂线交PQ于点G，点F在PQ上，∠FDA＝2∠FDB，FD的延长线交EA的延长线于点H，若3∠C＝4∠E，猜想∠H与∠GDB的倍数关系并证明．
17．综合与探究
如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
（1）求∠ABN、∠CBD的度数；根据下列求解过程填空．
解：
∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝ ，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝ ，（ ）
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝ ．
（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？
若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
（3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
18．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．
求证：
∠1+∠4＝180°．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）
∴∠1＝
∠ABC，∠2＝
∠ADC．（ ）．
∵∠ABC＝∠ADC，（ ）
∴∠1＝∠2（ ）．
∵∠1＝∠3（已知）
∴∠2＝∠ ．（等量代换）
∴AB∥CD，（ ）．
∴∠1+∠4＝180°．（ ）
19．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE＝∠E．求证：
AD平分∠BAC．
参考答案
1．解：
因为BC⊥AE，
所以∠BCE＝∠BCD+∠ECD＝90°，
因为∠BCD+∠A＝90°，
所以∠DCE＝∠A，
所以CD∥AB，
所以∠BCD＝∠B，
因为∠B＝55°，
所以∠BCD＝55°，
所以∠ECD＝90°﹣55°＝35°．
2．解：
（1）
①∵∠DCE＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝50°，
∴∠ACB＝∠ACE+∠ECB＝50°+90°＝140°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝90°，
∴∠ACE＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：
30；
（2）∵∠ACB＝∠ACD+∠BCE﹣∠DCE＝90°+90°﹣∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，
故答案为：
∠ACB+∠DCE＝180°；
（3）①∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°，
故答案为：
45°；
②∵BC∥DA，
∴∠A+∠ACB＝180°，
又∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ECB＝120°﹣90°＝30°．
3．解：
如图，延长ED到M，交BC于F，
∵AB∥DE，∠ABC＝70°，
∴∠MFC＝∠B＝70°，
∵∠CDE＝140°，
∴∠FDC＝180°﹣140°＝40°，
∴∠C＝∠MFC﹣∠MDC＝70°﹣40°＝30°．
4．解：
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB+∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
5．解：
（1）∵EF∥CD
∴∠1+∠ECD＝180°
又∵∠1+∠2＝180°
∴∠2＝∠ECD
∴GD∥CA
（2）由
（1）得：
GD∥CA，
∴∠BDG＝∠A＝40°，∠ACD＝∠2，
∵DG平分∠CDB，
∴∠2＝∠BDG＝40°，
∴∠ACD＝∠2＝40°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD＝80°．
6．解：
∵AB∥CD∥PN，
∴∠BCD＝∠ABC＝50°，∠DCP＝180°﹣∠CPN＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCP＝∠BCD﹣∠DCP＝50°﹣30°＝20°．
7．解：
（1）∵α＝30°，AC∥BD，
∴∠CBD＝30°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABE﹣α＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
又∵∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝
∠BAC＝
＝60°；
（2）根据题意画图，如图1所示，
∵∠BAE＝100°，∠BAE：
∠CAE＝5：
1，
∴∠CAE＝20°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝100°﹣20°＝80°，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAC＝100°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD＝
∠ABD＝
×100°＝50°，
∴α＝∠CBD＝50°；
（3）①如图2所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：
∠CAE＝n，
∴（∠BAC+∠CAE）：
∠CAE＝n
，
（180°﹣2α+∠CAE）：
∠CAE＝n，
解得∠CAE＝
；
②如图3所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：
∠CAE＝n，
∴（∠BAC﹣∠CAE）：
∠CAE＝n，
（180°﹣2α﹣∠CAE）：
∠CAE＝n，
解得∠CAE＝
．
综上∠CAE的度数为
或
．
8．
（1）证明：
∵EM∥FN，
∴∠EFN＝∠FEM．
∵EM平分∠BEF，FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠EFN，∠BEF＝2∠FEM．
∴∠CFE＝∠BEF．
∴AB∥CD．
（2）∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∵FN平分∠CFE，
∴∠CFE＝2∠CFN，
∵∠AEF＝2∠CFN，
∴∠AEF＝∠CFE＝90°，
∴∠CFN＝∠EFN＝45°，
∴∠DFN＝∠HFN＝180°﹣45°＝135°，
同理：
∠AEM＝∠GEM＝135°．
∴∠AEM，∠GEM，∠DFN，∠HFN度数都为135°．
9．
（1）证明：
方法一：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠BFG，
∴∠1＝∠BFG，
∴AC∥DG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C，
∴∠EBF＝
∠ABF，
BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
方法二：
∵∠1＝∠2，∠1＝∠ABF，∠2＝∠BFG，
∴∠ABF＝∠BFG，
∵∠ABF的平分线是BE，∠BFG的平分线是FC，
∴∠EBF＝
∠ABF，
BFG，
∴∠EBF＝∠CFB，
∴BE∥CF；
（2）解：
∵AC∥DG，BE∥CF，∠C＝35°，
∴∠C＝∠CFG＝35°，
∴∠CFG＝∠BEG＝35°，
∴∠BED＝180°﹣∠BEG＝145°．
10．解：
（1）∠BAC的同旁内角有：
∠AFD，∠AED，∠C，∠B；
（2）∵DE∥AB，
∴∠BAC＝∠DEC，
∵DF∥AC，
∴∠EDF＝∠DEC，
∴∠BAC＝∠EDF；
（3）∵∠BDE+∠CDF＝234°，
∴∠BDE+∠EDC+∠EDF＝234°，
即180°+∠EDF＝234°，
∴∠EDF＝54°，
∴∠BAC＝54°．
11．解：
（1）∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∴∠1+∠2＝180°．
（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝138°，
∴∠1＝42°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠CDG＝∠1＝42°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠CDG＝42°．
12．解：
探究：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1．（两直线平行内错角相等）
同理可证，∠F＝∠2．
∵∠BCF＝∠1+∠2，
∴∠BCF＝∠B+∠F．（等量代换）
故答案为：
两直线平行，内错角相等，等量代换．
应用：
由探究可知：
∠MFN＝∠AMF+∠CNF，
∴∠CNF＝∠DNG＝115°﹣55°＝60°．
故答案为60．
拓展：
如图③中，当的Q在直线GH的右侧时，∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣70°＝290°，
当点Q′在直线GH的左侧时，∠AGQ′+∠EHQ′＝∠GQ′H＝70°．
故答案为70或290．
13．解：
（1）DE∥BC，理由如下：
∵∠1+∠4＝180°，∠1+∠2＝180°，
∴∠2＝∠4，
∴AB∥EF，
∴∠3＝∠5，
∵∠3＝∠B，
∴∠5＝∠B，
∴DE∥BC，
（2）∵DE平分∠ADC，
∴∠5＝∠6，
∵DE∥BC，
∴∠5＝∠B，
∵∠2＝3∠B，
∴∠2+∠5+∠6＝3∠B+∠B+∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠2＝108°，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠1＝72°．
14．解：
（1）∠BAE+∠CDE＝∠AED．
理由如下：
作EF∥AB，如图1，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠CDE，
∴∠BAE+∠CDE＝∠AED；
（2）如图2，由
（1）的结论得∠AFD＝∠BAF+∠CDF，
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F，
∴∠BAF＝
∠BAE，∠CDF＝
∠CDE，
∴∠AFD＝
（∠BAE+∠CDE），
∵∠BAE+∠CDE＝∠AED，
∴∠AFD＝
∠AED；
（3）由
（1）的结论得∠AGD＝∠BAF+∠CDG，
而射线DC沿DE翻折交AF于点G，
∴∠CDG＝4∠CDF，
∴∠AGD＝∠BAF+4∠CDF＝
∠BAE+2∠CDE＝
∠BAE+2（∠AED﹣∠BAE）＝2∠AED﹣
∠BAE，
∵90°﹣∠AGD＝180°﹣2∠AED，
∴90°﹣2∠AED+
∠BAE＝180°﹣2∠AED，
∴∠BAE＝60°．
15．解：
（1）如图1，∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠C，
又∵∠C＝∠D，
∴∠DAE＝∠D，
∴AD∥BC；
（2）∠EAD+2∠C＝90°．
证明：
如图2，设CE与BD交点为G，
∵∠CGB是△ADG是外角，
∴∠CGB＝∠D+∠DAE，
∵BD⊥BC，
∴∠CBD＝90°，
∴△BCG中，∠CGB+∠C＝90°，
∴∠D+∠DAE+∠C＝90°，
又∵∠D＝∠C，
∴2∠C+∠DAE＝90°；
（3）如图3，设∠DAE＝α，则∠DFE＝8α，
∵∠DFE+∠AFD＝180°，
∴∠AFD＝180°﹣8α，
∵DF∥BC，
∴∠C＝∠AFD＝180°﹣8α，
又∵2∠C+∠DAE＝90°，
∴2（180°﹣8α）+α＝90°，
∴α＝18°，
∴∠C＝180°﹣8α＝36°＝∠ADB，
又∵∠C＝∠BDA，∠BAC＝∠BAD，
∴∠ABC＝∠ABD＝
∠CBD＝45°，
∴△ABD中，∠BAD＝180°﹣45°﹣36°＝99°．
16．证明：
（1）如图1，过C作EF∥MN，
∵MN∥PQ，
∴MN∥EF∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACF，∠BCF＝∠PBC，
∴∠ACF+∠BCF＝∠MAC+∠PBC，即∠ACB＝∠MAC+∠PBC；
（2）如图2，∵AD，AE分别为∠MAC，∠CAN的角平分线，
∴∠DAC＝
，∠EAC＝
∠NAC，
∴∠DAE＝
＝
＝90°，
同理可得：
∠DBE＝90°，
∵∠D+∠E+∠DAE+∠DBE＝360°，
∴∠D+∠E＝180°，即∠D与∠E互补；
（3）猜想：
∠H＝3∠GDB，
理由：
由
（1）可知：
∠C＝2∠ADB，
∵3∠C＝4∠E，
∴6∠ADB＝4∠E，
∴3∠ADB＝2∠E，
∵∠ADB+∠E＝180°，
∴∠ADB＝72°，∠E＝108°，
∵DG⊥DA，
∴∠GDB＝18°，
∵∠FDA＝2∠FDB，
∴∠ADF＝144°，
∴∠HDA＝36°，
∵DA⊥AE，
∴∠H＝54°，
∴∠H＝3∠GDB．
17．解：
（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠ABN＝120°
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP、∠PBN＝2∠PBD，（角平分线的定义），
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°．
故答案为120°，2∠PBD，角平分线的定义，60°．
（2）∠APB与∠ADB之间数量关系是：
∠APB＝2∠ADB．不随点P运动变化．
理由是：
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN（两直线平行内错角相等），
∵BD平分∠PBN（已知），
∴∠PBN＝2∠DBN（角平分线的定义），
∴∠APB＝∠PBN═2∠DBN＝2∠ADB（等量代换），
即∠APB＝2∠ADB．
（3）结论：
∠ABC＝30°．
理由：
∵AM∥BN，∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，
∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由
（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°
18．证明：
∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1＝
∠ABC，∠2＝
∠ADC（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换），
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3，（等量代换），
∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行），
∴∠1+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：
角平分线的定义，已知，等量代换，3，内错角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补．
19．证明：
∵AD⊥BC于点D，EC⊥BC于点C，
∴AD∥EC，
∴∠BAD＝∠E，∠DAC＝∠ACE，
∵∠ACE＝∠E，
∴∠BAD＝∠DAC，
即AD平分∠BAC．
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