服务网点选址问题.docx
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服务网点选址问题
C034
青岛科技大学第八届“校长杯”数学知识竞赛暨2013年全国研究生、大学生数学建模竞赛选拔赛
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青岛科技大学第八届“校长杯”数学知识竞赛暨2013年全国研究生、大学生数学建模竞赛选拔赛
题目C题服务网点选址问题
摘要
本文的目标是从由多个自然村组成乡镇区域内，选定合适的位置以设置一定数目的服务网点,建立服务网络，实现每个居民与最近的服务网点之间平均距离最小，并确定遍历路线。
对问题一我们建立了最优服务网点搜索模型。
为使服务网点的建立更利于自然村居民到服务网点寻求服务，故对建立服务网点的位置考虑两个限制因素：
距离和人口。
对此我们给出无约束极小值方程，
并用matlab编程、C语言编程求得最优的服务网点的位置。
对问题二我们建立0-1规划的智能分区模型和最优服务网点搜索模型。
由于各村人口增长了一倍，所以需要建立2个服务网点，应建立合理的区域划分模型和最优服务网点搜索模型。
根据区域内的道路信息、居民人数、服务网点数等已知条件，利用0-1规划的智能分区模型划分服务区域，通过floyd的最短路径算法结合矩阵相关知识、启发式搜索算法结合图论相关知识以及matlab编程、C++语言编程求解区域划分问题，使得每个服务网点覆盖各自服务区域内的每个自然村；利用最优服务网点搜索模型确定服务网点位置，由无约束极小值方程保证居民与最近的服务网点之间的平均距离最小，搜索服务网点的位置，直到求得最优解。
对于问题三，从一个服务网点出发到每个村庄推销广告最后回到另一个服务网点，已知各村庄之间的路程。
要选定一条从服务网点出发，经过每个村庄一次，最后回到另一个服务网点的路线，使总的路程最小。
此问题是典型的“旅行售货郎问题”，我们建立了无约束非线性规划模型，沿用问题二中的0-1规划的智能分区模型划分的服务区域，采用穷举法并且结合Dijkstra算法在分区上遍历，获取最短路径的全局最优解。
关键词：
无约束极小值方程floyd-warshall算法矩阵启发式搜索算法图论Dijkstra算法遍历
1.问题重述………………………………………………………………………………3
2.问题一的方案设计………………………………………………………4
2.1问题分析……………………………………………………………………………4
2.2模型假设……………………………………………………………………………4
2.3符号说明……………………………………………………………………………4
2.4模型建立——最优服务网点搜索模型……………………………………………4
2.5模型求解……………………………………………………………………………5
2.5.1用MATLAB求解………………………………………………………………5
2.5.2用C++求解……………………………………………………………………5
2.6结果分析与模型评价………………………………………………………………5
2.7模型的优化与改进…………………………………………………………………6
3.问题二的方案设计………………………………………………………6
3.1问题分析……………………………………………………………………………6
3.2模型假设……………………………………………………………………………7
3.3符号说明……………………………………………………………………………7
3.4模型建立……………………………………………………………………………8
3.4.1根据智能分区模型划分服务区域…………………………………………8
3.4.1.1floyd-warshall的最短路径算法结合定义法……………………8
3.4.1.2启发式搜索算法……………………………………………………………10
3.4.2根据最优服务网点搜索模型确定服务网点位置…………………………11
3.5模型求解……………………………………………………………………………11
3.5.1根据智能分区模型划分服务区域…………………………………………11
3.5.1.1floyd-warshall的最短路径算法结合定义法……………………11
3.5.1.2启发式搜索算法……………………………………………………12
3.5.2根据最优服务网点搜索模型确定服务网点位置…………………………14
3.6结果分析与模型评价………………………………………………………………15
3.6.1模型检验………………………………………………………………………15
3.6.2模型评价………………………………………………………………………15
3.7模型的优化与改进…………………………………………………………………15
4.问题三的方案设计………………………………………………………16
4.1问题分析……………………………………………………………………………16
4.2模型假设……………………………………………………………………………16
4.3符号说明……………………………………………………………………………16
4.4模型建立——无约束非线性规划模型……………………………………………16
4.5模型求解……………………………………………………………………………17
4.5.1以服务网点B为起点A为终点用C++编程求解………………………………17
4.5.2以服务网点A为起点B为终点用C++编程求解………………………………18
4.6结果分析与模型评价………………………………………………………………18
4.7模型的优化与改进…………………………………………………………………18
5.参考文献…………………………………………………………………19
1.问题重述
某自然村由12个主要的自然村组成，每个自然村的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：
km）和自然村的人口数（R）如下表所示。
表1-1
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
8.20
0.50
5.70
0.77
2.87
4.43
2.58
0.72
9.76
3.19
5.55
0
0.50
4.90
5.00
6.49
8.76
3.26
9.32
9.96
3.16
7.20
7.88
600
1000
800
1400
1200
700
600
800
1000
1200
1000
1100
试根据需要解决如下问题：
（1）目前准备在该自然村建一个服务网点为各村提供各种服务，那么服务网点应该建在何处？
（2）假设各村人口增长了一倍，需要建两个服务网点，试确定其位置。
（3）从一个服务网点出发，到每个村发放销售广告，最后回到另一个服务网点，试确定最佳行走路线。
2.问题一的方案设计
2.1问题分析
本问题的目标是从一个由多个自然村组成乡镇区域内，选定合适的位置以设置一个服务网点,建立服务网点网络，实现居民与最近的服务网点之间平均距离最小。
对于建立服务网点的位置只考虑两个限制因素：
距离和人口。
所以可以通过自然村的位置信息以及居民人数，采用合适的方法搜索服务网点,确定服务网点的位置，求得最优解。
本问题重点要解决如何选择服务网点，即建立合理的最优服务网点搜索模型。
乡镇内自然村总数
；计划设置的服务网点数目N=1。
2.2模型假设
为了便于建立模型，并考虑实际情况，假设系统满足如下条件：
（1）各自然村人口基本保持不变。
（2）服务网点与各自然村间均至少有一条路径实现互连。
（3）所有的的道路近似认为是直线。
2．3符号说明
表2-3-1
序号
符号
符号说明
1
z
所有居民到服务网点的距离之和
2
服务中心的坐标
3
第i个自然村的坐标
4
第i个自然村的居民人数
2.4模型建立——最优服务网点搜索模型
设服务中心的坐标为
，所有居民到服务网点的距离之和为z，则有：
本题是求
，是无约束极小值问题。
2.5模型求解
2.5.1用MATLAB求解
用matlab软件所编程序见附录一。
输出结果为：
p=3.60106.5142
fv=4.4236e+004
norm=1
matlab程序求解结果:
服务中心的坐标应为（3.6010,6.5142），此时，所有居民到服务中心的距离之和最小，最小值为4.4236*10^4km。
2.5.2用C++求解
用C++软件所编程序见附录二。
运行结果为：
C++程序求解结果:
服务网点的坐标应为（3.601,6.514），此时，所有居民到服务网点的距离之和最小，最小值为44236.036km。
故，服务中心的坐标应为（3.6010,6.5142），此时，所有居民到服务中心的距离之和最小，最小值为4.4236*10^4km。
2.6结果分析与模型评价
通过优化计算，确定了一个服务网点的位置，坐标为（3.6010,6.5142），此时，所有居民到服务网点的距离之和最小，为44236km。
由2.5中两种求解方法所得结果的一致性可知，本模型对本问题的拟合效果较好，具有较高的可靠性。
由于居民的数量较多，以及到服务网点途中的各种随机因素，我们不能保证我们给出的建设服务网点的方案在任何时间都不会发生让居民等待的现象，不能保证该服务网点的服务效率总是最高的，结果中的服务网点位置和最小距离和等都可能会发生偏差。
我们不能确定它是否就是我们所求的服务中心的位置，因为它有可能为一个局部的坐标，而此时得到的最小函数值也就理所当然会成为一个局部的最小的函数值，我们想要的坐标是对全局都通用的坐标。
因此用min函数求出当目标函数最小时，此时所对应的坐标（a,b）。
再将坐标
（a,b）与坐标（3.6010，6.5142）进行比较，从而得出当目标函数最小时，所得的真正的坐标（3.6010，6.5142）经验证，服务网点的坐标（3.6010，6.5142）与预想的一致。
但通过随机模拟的验证我们认为这种随机偏差不是很大，在合理的范围内。
2.7模型的优化与改进
本模型可用于城市中医院、学校、政府办公大楼、邮局、银行、派出所等建筑地的选取，运用较为广泛。
但该模型没有考虑到居民点的人数的变化对模型的影响；没有讨论当居民点的个数发生变化时对模型的影响；也没有讨论居民点的位置及居民点的大小对模型的影响；特别是，在现实生活中“最佳”位置或者在湖泊中心、或者被河流分割、或者位于山之颠。
对于出现上面的任何一种情况我们都需要另外建立更加复杂的模型。
这些都是需要大力改进的地方。
如果考虑到上述问题，所求得的结果更具有普遍性和说服力。
3.问题二的方案设计
3.1问题分析
假设自然村A、B为服务网点，自然村C、D中的居民分别属于B、A服务网点服务范围，即
。
假设D中居民通过C到达A，则表示C到A的距离小于C到B的距离，这与实际情况相反。
所以各服务网点服务的区域相互独立，即D中居民到A的最短路径线路上，绝对不会包含B（
）服务网点服务的自然村（如C）。
如下图，红色粗线条表示D到A的最短路径：
图3-1-1各服务网点服务的区域相互独立举例
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