例谈变形技巧在数学解题中的应用毕业设计.docx
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例谈变形技巧在数学解题中的应用毕业设计
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本科生毕业论文
题目:
例谈变形技巧在数学解题中的应用
数学与信息技术学院
数学与应用数学
陈海霞
朱秀娟
论文完成日期:
2013年5月2日
目录
摘要……………………………………………………………………1
一、变形的相关理论…………………………………………………2
二、变形技巧在一元二次方程中的应用……………………………3
三、变形技巧在因式分解中的应用…………………………………5
四、变形技巧在不等式中的应用……………………………………7
五、变形技巧在三角函数中的应用…………………………………9
参考文献………………………………………………………………11
摘要:
变形是数学解题的一种基本方法,变形能力的强弱制约着解题能力的高低.本文主要探讨变形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式和三角函数解题中的应用.掌握并灵活运用好变形技巧,可以将复杂问题简单化,减少麻木性,提高解题效率.
关键词:
数学解题；变形技巧；一元二次方程；因式分解；基本不等式；三角函数
中图分类号:
O119文献标识码:
A
例谈变形技巧在数学解题中的应用
数学是个有机的整体,各部分之间相互联系,相互渗透,从而构成相互交错的立体空间,对各部分知识间的灵活掌握,更需要融会贯通.[1]近些年,数学题目越来越新颖,技巧性强,对有些题目进行适当变形,把复杂的数学问题简单化,从而顺利求得问题的答案.掌握并灵活运用好各类问题的变形技巧,有助于培养学生的逻辑推理能力,运算能力和空间想象能力,同时,用变形的方法,有助于把握数学问题的本质,它既是教师常用的一种重要数学方法,也是学生解题时一种非常有效的思想方法.此外,数学的学习内容是有意义的,富有挑战性的,要重视学生的学习能力和学习方法,充分利用数学变形技巧进行解题,不断提升学生的数学素质.[2]
一、变形的相关理论
变形是数学解题的一种常用方法,变形能力的强弱制约着解题能力的高低.[1]变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段,是化归、转化和联想的准备阶段,它属于技能性的知识,既灵活又多变,一个公式,一个法则,它的表达形式多种多样,也存在技巧与方法,在实践中反复操作才能把握,能够让学生更好的理解变形技巧,乃至灵活运用.变形的一般形式主要有以下三种:
1.等价变形
等价变形就是利用等价关系进行的变形,在等价关系的条件下,通过等价变换的方式使数学问题得到解决,等价变形的本质就是在保持原来各种量之间的关系不变的情况下,只是改变它们的表达形式.常见的等价变形依据有:
根据特定概念的定义,对数式,指数式的相互转化,如对数函数,可以等价变形为;根据等式与不等式的基本性质,比如移项,系数化为;根据计算的结果,将具体方程或不等式的形式转化为其具体的解或解集等.
2.恒等变形
恒等变形是在等价变形的思想指导下进行的,它的变形形式有代数式恒等变形、多项式恒等变形、分式恒等变形、三角函数恒等变形、对数式恒等变形等.若将两个代数式子中的字母换成任意相同的数值,这两个代数式的值都相等,我们就称这两个代数式恒等,表示两个代数式恒等的式子叫做恒等式.如是一个恒等式,把式子变为的这步变形,使变形的式子恒等,我们把这样的变形叫做恒等变形.
3.同解变形
同解变形是在等价转化思想的指导下,通过等价的变换,使得原来的等式与变形的等式有相同的解.方程的同解变形的一般形式有:
交换其中任意两个方程的位置,其余不变;将任一个方程乘以一个非零的常数,其余不变;将任一个方程的常数倍加到另一个方程上,其余不变.需要注意的是:
①方程两边同时加上或减去同一个分式不是同解变形,如方程的两边都加上,得,原方程的解为,而变形后的方程无解.
②方程两边同时乘以不是同解变形,如方程的两边都乘以,得,即,此方程的解为任何实数,而原方程的解为.
③方程两边同时乘以或除以同一个整式不是同解变形,如方程的两边都乘以,得,原方程的解为,而变形后的方程解为,.
④方程两边平方不是同解变形,如方程,两边平方,得,原方程的解为,而变形后的方程解为,.
二、变形技巧在一元二次方程中的应用
学生在平时学习中不善于积累变形经验,在稍复杂的问题面前常因变形方向不清,导致问题难以解决,有些含有或可转化为一元二次方程的代数问题,能对方程进行适当变形并施以代换,常常可使问题化繁为简.[3]下面列举说明.
例1已知,是方程的两根,求的值.
分析:
作为方程两根,,地位是平等的,而所求式子中,的次数相差悬殊,应设法将的次数降下来,由,得,从左向右次数降低了,对可进行连续降次,最终降为一次,即
于是
所以只要求出即可.
解:
因为是方程的根,所以,即,则
所以
又因为,是方程的两根,由韦达定理得
于是
.
本题若按步就搬地求出,的值,则计算较复杂,而且容易出错,而通过变形的技巧先从结论出发,转换思维,则可以提高解题的效率,节省时间,把握好问题之间的潜在问题.
例2已知,是一元二次方程的两个根,
求
的值.[3]
分析:
观察所要求的表达式,表达式较复杂,即使求出,的值代入,计算也较难进行,所以应考虑将表达式变形成与有关的式子,巧妙运用韦达定理,不必分别求出和的值.
解:
由,是一元二次方程的两个根,可得
,及,,则
.
在解决一元二次方程的代数问题时,要认真观察已知条件和所要求的式子,考察它们之间有什么关联,再充分利用已知条件来解决所要求的问题.同时是要灵活应用韦达定理:
即如果,为方程的两个根,则,.在解这类问题时,可以从已知条件出发,也可以从结论入手,关键是要善于发现所要求式子的特点.
三、变形技巧在因式分解中的应用
多项式的因式分解,方法多样,技巧性强,有些多项式乔装打扮,貌似不能因式分解,但经过适当变形,创造条件,便可以进行因式分解.[4]因式分解的主要方法有符号变形、加减变形、换元变形、拆项变形、化简变形等,利用这些常见的变形方法解决一些具体的因式分解的问题.掌握了这些变形方法后,这类因式分解问题就可以迎刃而解了.
1.换元变形
例3分解因式.
分析:
直接展开项数较多,也不利于进一步因式分解,可以将考虑将四个因子两两结合,并且使得两两结合之后的表达式尽可能接近,比如将与结合,与结合,得到与,显然它们有相同的项,还可以考虑将作为相同的项,两种情形都应将相同的项作为一个整体,为计算方便,可作适当的换元.
解:
若令,则上式子变形为
最后再将代入可得
.
若将看成一整体,并令其为,则上式变形为,原式解因式为.换元变形常用于较复杂的多项式,并且其中有相同的部分,将相同的项看成整体进行换元,掌握换元法,进行适当变形,能灵活应用于其他复杂的多项式因式分解中.
2.拆项变形
例4分解因式.
分析:
拆项变形是一种常见的分解因式的方法,拆项变形之后通常分组分解,观察表达式,容易想到把前两项组合并提取,得,但这个表达式不能继续分解下去了,需要调整,假如小括号中不是减,而是减就简单了,则可以考虑将与一次项结合,将一次项拆开,拆成;或者考虑将与常数项结合,将常数项拆开,拆成.这样拆项,使复杂问题简单化,更容易使问题得到解决.
解法一:
拆一次项
=
=
=
=
=.
解法二:
拆常数项
=
=
=
=
=.
本题若先提取前两项的公因子,导致无法继续分解下去,善于观察所求分解的表达式的特点,找出此题的关键是拆项,拆项后与结合进行分解.寻求多种方法进行解题,体会解决问题策略的多样性,增强应用数学的意识,提高解决问题的能力.
四、变形技巧在不等式中的应用
不等式就是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子,也就是在一个式子中,数的关系不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式.在利用不等式求解函数最值问题时,有些问题可以直接利用公式求解,有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解;在解不等式问题时,还可以通过画图进行分析求解.下面简单介绍不等式常用的变形技巧.
例5已知,求函数的最大值.[5]
分析:
本题无法直接运用均值不等式求解,考虑用两种方法,求出此题的最大值,由,得,再巧乘常数,或由,得,再巧提常数,最后利用均值不等式得最值.
解法一:
因为,得,
所以
.
当且仅当时,即时取等号.
解法二:
因为,得,
所以
当且仅当时,即时取等号,
所以当时,取得最大值为.
形如或等的表达式主要有两种变形方法,巧乘常数或巧提常数,可以使问题更易解决,掌握所用变形方法,在实践中灵活使用.
例6解不等式.
分析:
可以采用两种方法来解决这道题,代数法和图像法.利用代数法求解时,分和两种情形讨论;利用图像法求解时,设为反比例函数,其图像为双曲线,是一次函数,其图像为直线,求的解集,即求双曲线在直线上方时的范围.
解法一:
用代数法,分下列两种情形:
1当时,不等式两边都乘以,得,即,解得,又,所以不等式的解集为.
②当时,不等式两边都乘以,得,即,解得或,又,所以不等式的解集.
综合①②得,不等式的解集为或.
解法二:
用图像法.
设,,画出这两个函数在同一平面直角坐标系内的图像,联立方程,,求出其交点,分别为和,观察图像可得:
当或时,双曲线在直线上方,即,于是不等式的解集为或.
代数法主要适用于计算题,能够充分的体现数学思维的严谨性；图像法则更适用于选择题、填空题等类型,能很直观的让人理解和接受.无论是用代数法解题，还是用图像法解题,都要对问题进行分析，找出恰当的方法，适当地对题目进行变形，使问题更有效率的得到解决.
例7若,且满足,求的最小值.[6]
分析:
本题要求的值,自然想到将已知条件转化为,但转化后也不能求得的最小值,通过“1”的代换,,得=,再利用均值不等式得到最小值.
解:
由,且,得
==,
当且仅当,即且时,等号成立,
所以的最小值为.
以“”进行变形,是比较常见并且灵活的方法,在数学问题的求解过程中,我们要善于捕捉“”,适时将“”进行变形,获得理想的解题方法,减少了使用基本不等式的次数,有效地避免了等号不能同时取到的麻烦.
五、变形技巧在三角函数中的应用
三角函数变形主要为三角恒等变换,三角恒等变换在数学中涉及广泛,三角公式众多,方法灵活多变,若能熟练掌握三角恒等变换的技巧,不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解,而且还能发展数学逻辑思维能力,提高数学知识的综合运用能力.[7]下面通过例题体会三角函数的变形技巧.
1.变换角的形式
例8求
的值.
分析:
本题涉及到的角有三个,注意到这三个角的关系是两两相差一个特殊角,选择一个适当的角为基本量,将其余的角与这个基本量组成和差关系,改变原来的角的形式,再运用两角和正弦、余弦公式
进行变形.
解:
令,则
原式
.
对含有不同角的三角函数式,通常利
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