数学教案和圆有关的比例线段九年级数学教案模板.docx

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数学教案和圆有关的比例线段九年级数学教案模板

数学教案－和圆有关的比例线段_九年级数学教案_模板

教学建议　　1、教材分析

（1）知识结构

（2）重点、难点分析

　　重点：

相交弦定理及其推论，切割线定理和割线定理．这些定理和推论不但是本节的重点、本章的重点，而且还是中考试题的热点；这些定理和推论是重要的工具性知识，主要应用与圆有关的计算和证明．

　　难点：

正确地写出定理中的等积式．因为图形中的线段较多，学生容易混淆．

　　2、教学建议

　　本节内容需要三个课时．第1课时介绍相交弦定理及其推论，做例1和例2．第2课时介绍切割线定理及其推论，做例3．第3课时是习题课，讲例4并做有关的练3．

（1）教师通过教学，组织学生自主观察、发现问题、分析解决问题，逐步培养学生研究性学习意识，激发学生的学习热情；

（2）在教学中，引导学生“观察——猜想——证明——应用”等学习，教师组织下，以学生为主体开展教学活动．

第1课时：

相交弦定理

　　教学目标：

　　1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

　　2．学会作两条已知线段的比例中项；

　　3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

　　4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．

　　教学重点：

　　正确理解相交弦定理及其推论．

　　教学难点：

　　在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．

　　教学活动设计

（一）设置学习情境

　　1、图形变换：

（利用电脑使AB与CD弦变动）

　　①引导学生观察图形，发现规律：

∠A＝∠D，∠C＝∠B．

　　②进一步得出：

△APC∽△DPB．

　　．

　　③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?

为什么?

　　组织学生观察，并回答．

　　2、证明：

　　已知：

弦AB和CD交于⊙O内一点P．

　　求证：

PA·PB＝PC·PD．

　　（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）

　　（证明略）

（二）定理及推论

　　1、相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

　　结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：

在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD．

　　2、从一般到特殊，发现结论．

　　对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．

　　提问：

根据相交弦定理，能得到什么结论?

　　指出：

PC2＝PA·PB．

　　请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．

　　推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

　　3、深刻理解推论：

由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：

半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC2＝PA·PB． 

　　若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

　　PC2＝PA·PB；AC2＝AP·AB；CB2＝BP·AB

　　（三）应用、反思

　　例1已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．

　　引导学生根据题意列出方程并求出相应的解．

　　例2 已知：

线段a，b．

　　求作：

线段c，使c2＝ab．

　　分析：

这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．

　　作法：

口述作法．

　　反思：

这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图．

　　练习1如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．

　　变式练习：

若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是多少?

　　将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣

　　练习2如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．

　　练习3 如图：

在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC交⊙O于C． 求证：

PC2＝PA·PB 

　　引导学生分析：

由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根据条件OP⊥PC．易证得PC＝PD问题得证．

　　（四）小结

　　知识：

相交弦定理及其推论；

　　能力：

作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

　　思想方法：

学习了由一般到特殊（由定理直接得到推论的过程）的思想方法．

　　（五）作业

　　教材P132中9，10；P134中B组4

（1）．

第2课时切割线定理

　　教学目标：

　　1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

　　2．掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

　　3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．

　　教学重点：

　　理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．

　　教学难点：

　　定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点．

　　教学活动设计

（一）提出问题

　　1、引出问题：

相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？

（如图1）

　　当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点（如图2）时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？

　　2、猜想：

引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT2=PA·PB．

　　3、证明：

　　让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想．

　　分析：

要证PT2=PA·PB， 可以证明，为此可证以PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．（图3）．容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．

　　 4、引导学生用语言表达上述结论．

　　切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

（二）切割线定理的推论

　　1、再提出问题：

当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?

　　观察图4，提出猜想：

PA·PB=PC·PD．

　　2、组织学生用多种方法证明：

　　方法一：

要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB． （如图4）

　　方法二：

要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P． 因此△PAD∽△PCB．（如图5）

　　方法三：

引导学生再次观察图2，立即会发现．PT2=PA·PB，同时PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD

　　推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）

　　（三）初步应用

　　例1 已知：

如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米，PO=10.9厘米，求⊙O的半径．

　　分析：

由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．

　　（解略）教师示范解题．

　　 例2 已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，

　　求证：

AE＝BF．

　　分析：

要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC． 因此它们的积相等，问题得证．

　　学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE2＝AC·CD和BF2＝BD·DC等．

　　巩固练习：

P128练习1、2题 

　　（四）小结

　　知识：

切割线定理及推论；

　　能力：

结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

　　方法：

在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握．

　　（五）作业教材P132中，11、12题．

探究活动

最佳射门位置

　　国际足联规定法国世界杯决赛阶段，比赛场地长105米，宽68米，足蛎趴?

.32米，高2.44米，试确定边锋最佳射门位置（精确到l米）．

　　分析与解如图1所示．AB是足球门，点P是边锋所在的位置．最佳射门位置应是使球员对足球门视角最大的位置，即向P上方或下方移动，视角都变小，因此点P实际上是过A、B且与边线相切的圆的切点，如图1所示．即OP是圆的切线，而OB是圆的割线．

　　故，又，

　　OB=30.34+7.32＝37.66．

　　OP=（米）．

　　注：

上述解法适用于更一般情形．如图2所示．△BOP可为任意角．

教学建议　　1．知识结构：

本小节主要学习正弦、余弦的概念，30°、45°、60°角的正弦、余弦值，一个锐角的正弦（余弦）值与它的余角的余弦（正弦）值之间的关系，以及应用上述知识解决一些简单问题（包括引言中的问题）等.

　　2．重点、难点分析

（1）正弦、余弦函数的定义是本节的重点，因为它是全章乃至整个三角学的预备知识.有了正弦、余弦函数的定义，再学习正切和余切、解直角三角形、引入任意角三角函数便都有了基础.

（2）正弦、余弦的概念隐含着角度与数值之间有一一对应关系的函数思想，并且用含有几个字母的符号组sinA，cosA来表示，学生过去未接触过，所以正弦、余弦的概念是难点.

　　3．理解一个锐角的正弦、余弦值的唯一性，是理解三角函数的核心.

　　锐角的正弦、余弦值是这样规定的：

当一个锐角确定了，那么这个锐角所在的直角三角形虽然有无穷多个，但它们都是彼此相似的.如上图，当确定时，包含的直角三角形有无穷多个，但它们彼此相似：

　　∽∽∽……因此，由于相似三角形的对应边成比例，所以这些三角形的对应边的比都是相等的.

　　这就是说，每当一个锐角确定了，包含这个角的直角三角形的上述2种比值也就唯一确定了，它们有确定不变的对应关系.为了简单地表达这些对应关系，我们引入了正（余）弦的说法，创造了sin和cos这样的符号.

　　应当注意：

单独写出三角函数的符号或cos等是没有意义的.因为它们离开了确定的锐角是无法显示出它的含义；另一方面，这些符号和角写在一起时（如），它表示的就不再是角，而是一个特定的三角形的两条边的比值了（如）.真正理解并掌握这些，才真正掌握了这些符号的含义，才能正确地运用它们.

　　4．我们应当学会认识任何位置的直角三角形中的一个锐角的正弦、余弦的表达式.

　　我们不仅应当熟练掌握如图那样的标准位置的直角三角形的正弦、余弦的表达式，而且能熟练地写出无论怎样放置的直角三角形的正弦、余弦的表达式.如，如图所示，若，则有

　　有的直角三角形隐藏在更复杂的图形中，我们也应能正确地写出所需要的三角函数表达式，如图中，ABCD是梯形，，作，我们应