高中数学人教A课件必修一第三章函数的应用第2节322.docx
《高中数学人教A课件必修一第三章函数的应用第2节322.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A课件必修一第三章函数的应用第2节322.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高中数学人教A课件必修一第三章函数的应用第2节322
3.2.2函数模型的应用实例
1学习目标导航I
1.会利用给定的函数模型解决实际问题.（重点）
2.能够建立确定性函数模型解决问题及建立拟合函数模型解决实际问
题.（重点、难点）
丿
［基础•初探］
教材整理函数模型的应用
阅读教材P101〜P106,完成下列问题.
1.常见的函数模型
函数模型
函数解析式
（1）正比例函数模型
f（x）二kx（k为常数，^0）
（2）反比例函数模型
幷）二*为常数，席0）
（3）—次函数模型
fix）二kx+b（k,b为常数，席0）
（4）二次函数模型
f（x）=a^-\-bx-\~c（a,b,c为常数，”工0）
（5）指数函数模型
f（x）—abx-\-c（a,b,c为常数,"HO,b>0,bHl）
（6）对数函数模型
/（x）—mlog^+/i（/7bn,a为常数，加HO,〃>0,占1）
（7帰函数模型
f（x）—（a,b,n为常数，占
（8）分段函数模型
/i（.t）,tEQ
/2（t）,tED
Dh
2•建立函数模型解决问题的框图表示
图3-2-9
0微体验0
判断（正确的打，错误的打“X”）
（1）实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式唯一确定.（）
（2）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（）
（3）利用函数模型求实际应用问题得最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.（）
【解析】
（1）X.实际应用问题中自变量的取值范围由实际问题及函数解析式共同确定.
（2）X.在选择实际问题的函数模型时，只要使所有的数据大致符合该函数模型即可.
（3）7.由函数实际应用问题的求法可知（3）正确.
【答案】
（1）X⑵X⑶J
预习完成后’请将你
疑问1:
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
［质疑手记］
的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:
L合作探究通关馬药寸论疑难细究］
（2016•蚌埠高一检测）商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛
［小组合作型］
衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元.现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）岀售•问：
（1）商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？
（2）通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最
大利润的75%,那么羊毛衫的标价为每件多少元?
【精彩点拨】
（1）先设购买人数为〃人，羊毛衫的标价为每件X元，利润为y元，列出函数y的解析式，最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元即可；
（2）由题意得出关于兀的方程式，解得；t值，从而即可解决商场要获取最大利润的75%,每件标价为多少元.
【自主解答】⑴设购买人数为”人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，
则xE（100,300],n=h+/?
（K0）,TO二300k+b,即b二—300k,n—k（x—300）,y=（x—100）^（x—300）
二檢—200）」10ooo檢G（ioo,3oo]）,
VKO,/.x=200时，ymax=-10000t
即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元.
（2）由题意得,k（x~100）（^-300）=-10000^-75%,
即x-400x+37500=0,解得x=250或x=150,
所以，商场要获取最大利润的75%,每件标价为250元或150元.
名师區
在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函
数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.
［再练一题］
1.某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100&f（0W/W24）,求供水开始几小时后，蓄水池中的存水量最少.
【导学号：
97030141］
【解】设f小时后，畜水池中的存水量为y吨，则）=400+60l100俪
（0W/W24）,设u=\[t,则圧[0,2^6],尸60,-100愉+400=602
6
+150,
・:
当尸竿即尸普时，蓄水池中的存水量最少.
类型2
卜指数函数、对数函数模型的应用
声强级y（单位：
分贝）由公式y=ioig缶给出，其中/为声强（单位：
W/m2）.
（1）平时常人交谈时的声强约为10_6W/m2,求其声强级；
（2）—般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？
（3）比较理想的睡眠环境要求声强级y<50分贝，已知熄灯后两个学生在宿舍说话的声强为5X10-7W/m2，问这两位同学是否会影响其他同学休息？
【精彩点拨】由公式r=ioig—12可以由/求丫，也可以由丫求/,计算/=5X10_7W/m2时的声强级并与50作比较就可以判断两位同学是否会影响其他同学休息.
10-6
【自主解劄（l）3/=io_6w/m20t代入得片101g—n2=101gl06=60,即声强级为60分贝.
⑵当y二o时，即为ioig^12=0,
所以僞=1，/=w12w/m2,则能听到的最低声强为W12W/m2.
5X1（）t〈
]0-12=101g（5X10）=50
（3）当声强/=5XlO_7W/m20t,声强级y=101g
+101g5>50,所以这两位同学会影响其他同学休息.
名师區
1.有关对数函数的应用题一般是先给出对数函数模型，利用对数运算性质求解.
2.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y=N（Hp）x,（其中N为基数，卩为增长率，x为时间）的形式.
［再练一题］
2.目前某县有100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%,请回答下列问题：
（1）写出y关于尤的函数解析式；
（2）计算10年后该县的人口总数（精确到0.1万人）；
（3）计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（精确到1年）.
【解】
（1）当尸1时,
y=100+100X1.2%=100（l+l・2%）；
当尸2时，
y=100（H-1.2%）+100（l+1.2%）X1.2%=100（l+1.2%）2；
当x=3时，
y=100（1+1・2%）2+100（1+1.2%）2X1.2%=100（1+1.2%）3；
故y关于兀的函数解析式为100（1+1.2%）%GN）・
（2）当兀=10时，y=lOOX（l+1.2%）lo=lOOXl.O12lo^112.7.
故10年后该县约有112.7万人.
（3）设X年后该县的人口总数为120万,即100X（1+1.2%/=120,解得尸（120z
10自.012而心16・
故大约16年后该县的人口总数将达到120万.
探究点
分段函数模型的应用
III昭
［探究共研型］
彳⑴，xED{
f（X）xWD
探究1分段函数幷）=丿2的定义域和值域分别是什么？
如何
人⑴，xEDn
求分段函数的最大值和最小值?
【提示】分段函数/⑴是各段自变量取值范围的并集，即D1UD2U-UDn,分段函数的值域是各段值域的并集.先求出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值.
探究2解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？
【提示】根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是.’
>例團（2016-南通高一检测）经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近
20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间f（天）的函数，且销售量近似满足g（f）二
15+扌，（0WK10）
80—2f（件），价格近似满足于/（0=<]（元）.
25—（10VW20）
⑴试写岀该种商品的日销售额y与时间f（0WK20）的函数表达式;
（2）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
【精彩点拨】⑴由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间f（0WK20）的函数表达式；
（2）由
（1）分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
⑵由
（1）知①当0WK10时，r+10f+l200=-（/-5）2+1225,函数图象开口向下，对称轴为f=5,该函数在re［0,5）递增，在rE（5,10］递
赢
RmaxT225（当t=5时取得），ymin=l200（当/=0或10时取得）.
②当10VW20时，尸#—90汁2000=（7—45）2—25,
图象开口向上，对称轴为/=45,该函数在/£（10,20］递减,f=10时,y=1200,畑=600（当f=20时取得），
由①②知畑=1225（当t=5时取得），畑=600（当r=20时取得）.
名师：
1.建立分段函数模型的关键是确定分段的各界点，即明确自变量的取值区间.
2.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别求出来，再将其合到一起.
［再练一题］
3.国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：
每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用共计15000元.
【导学号：
97030142］
（1）写出每人需交费用y关于人数兀的函数；
（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【解】
（1）当0GW30时,y=900；当30GW75,y=900-10（兀-30）=1
200—1Ox；
900,0aW30
1200-10%,30（2）设旅行社所获利润为S元，则当0X30时,S=900x—15000；当30X75,S=x（l200T0x）T5000=TO,+1200xT5000；
900x-15000,0—10<+1200兀—15000,30000；
因为当0<穴30时，5=900x-15000为增函数，所以尤=30时,S皿=12
当30GW75时，5=-10?
+1200x-15000=-10（%~60）2+21000,
即r=60时，5max=21000>12000.
所以当旅行社人数为60时，旅行社可获得最大利润.
［构建体系］
函数模型的应用
实际应用问题的解决步骤
一次、二次函数模型
指数、对数函数模型
分段函藤型
阶段3
'体验落实评价（课堂回馈即时达制
1.（2016•广州模拟）在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据,如下表：
X
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对兀，y最适合的拟合函数是（）
A.y=2xB・y=x—\
C.y=2x—2D.）?
=log2x
【解析】根据兀=0.50,）=—0・99,代入计算，可以排除A；根据兀=2.01,y=0.98,代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y=log2^,可知满足题
【答案】D
2.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K（Q）=40Q—命则总利润厶（Q）的最大值是万元.
【解析】L
（2）=402-^2-102-2000=-^22+302-2000=—300）2+2500,
当Q=300时，厶（Q）的最大值为2500万元.
【答案】2500
3.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾，八折优
惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为元.
【解析】设彩电的原价为"，
・：
"（1+0.4）・80%-"二270,
・：
0.12"=270,解得尸2250.
・'・每台彩电的原价为2250元.
【答案】2250
4.2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%,
则年我国人口将超过20亿.（lg2^0.3010,lg3^0.4771,lg7^
0.8451）【解析】由己知条件：
+
10
x~2008>
71-Ig7
X_41g3—3血2—1勺87
80
®h>2036.7,即x=2037.
【答案】2037
5.某公司试销某种“上海世博会”纪念品,每件按30元销售,可获利50%,设每件纪念品的成本为“元.
⑴试求a的值;
（2）公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y（件）与每件销售兀（元）
满足关系y=-10x+800.设每天销售利润为W（元），求每天销售利润W（元）与每件销售H元）之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大?
最大利润是多少?
【解】
（1）：
•按30元销售,可获利50%,A6/（1+50%）=30,解得“=20.
（2）•/销售量y（件）与每件销售M元）满足关系｝=-10x+800,则每天销售利润W（元）与每件销售H元）满足
IV=（-10x+800）（x-20）=-10?
+1000x+16000=-10（x-50）2+9000,故当x=50时，W取最大值9000,
即每件售价为50元时，每天获得的利润最大，最大利润是9000元.
我还有这些不足：
（1）
⑵
我的课下提升方案；
（1）
（2）
学业分层测评（二十
三）
点击图标进入…
升级会员 