圆的一般方程教案初中.docx
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圆的一般方程教案初中
圆的一般方程教案初中
【篇一：
圆的一般方程教学设计】
数学基础模块下册
8.3.2圆的一般方程
【教学目标】
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．
2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程．3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力．【教学重点】圆的一般方程．【教学难点】
二元二次方程与圆的一般方程的关系．【教学方法】
这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．
【教学过程】
1
第八章直线和圆的方程
2
数学基础模块下册
3
第八章直线和圆的方程
4
【篇二：
人教版圆的一般方程教案】
圆的一般方程
一、教学目标
1．讨论并掌握圆的一般方程的特点，并能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心的坐标和半径．
2．能分析题目的条件选择圆的一般方程或标准方程解题，解题过程中能分析和运用圆的几何性质．
二、教学重点与难点
圆的一般方程的探求过程及其特点是教学重点；根据具体条件选用圆的方程为教学难点．
三、教学过程
（一）复习并引入新课
师：
请大家说出圆心在点（a，b），且半径是r的圆的方程．生：
（x－a）2+（y－b）2=r2．
师：
以前学习过直线，直线方程有哪几种？
生：
直线方程有点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式．师：
直线方程的一般式是ax+by+c=0吗？
生a：
是的．
生b：
缺少条件a2+b2≠0．
师：
好！
那么圆的方程有没有类似“直线方程的一般式”那样的“一般方程”呢？
（书写课题：
“圆的一般方程”的探求）
（二）探索新知
师：
圆是否有一般方程？
这是个未解决的问题，我们来探求一下．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式（点斜式，两点式……）展开整理而得到的．想求圆的一般方程，怎么办？
生：
可仿照直线方程试一试！
把标准形式展开，整理得
x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令d=－2a，e=－2b，f=a2+b2－r2，有：
x2+y2+dx+ey+f=0（*）
师：
从（*）式的得来过程可知，只要是圆的方程就可以写成（*）的形式．那么能否下结论：
x2+y2+dx+ey+f=0就是圆的方程？
生a：
不一定．还得考虑：
x2+y2+dx+ey+f=0能否写成标准形式．
生b：
也可以像直线方程一样，要有一定条件．
师：
那么考虑考虑怎样去寻找条件？
生：
配方．
师；请大家动手做，看看能否配成标准形式？
（放手让同学讨论，教师适当指导，然后由同学说，教师板书．）
22
将（*）式配方得:
?
d?
?
e?
d2+e2-4f
?
x+2?
?
+?
y+2?
?
=4.（?
）
1．当d2+e2－4f＞0时，比较（△）式和圆的标准方程知：
（*）式表示以
?
de1
?
-2,-?
2?
?
2d2+e2-4f为半径的圆；
2.当d2+e2-4f=0时，（*）式只有实数解x=-d
2,y=-e
2,
即（*）式表示一个点?
d
?
-2，-e?
2?
?
（有时也叫点圆）
3.当d2+e2－4f＜0时，（*）式没有实数解，因而它不表示任何图形．
教师总结：
当d2+e2－4f＞0时，方程x2+y2+dx+ey+f=0叫圆的一般方程．
师：
圆的一般方程有什么特点？
生a：
是关于x、y的二元二次方程．
师：
刚才生a的说法对吗？
生b：
不全对．它是关于x、y的特殊的二元二次方程．师：
特殊在什么地方？
（通过争论与举反例后，由教师总结）
师：
1．x2，y2系数相同，且不等于零．
2．没有xy这样的二次项．
（追问）：
这两个条件是“方程ax2+by2+dx+ey+f=0表示圆”的什么条件？
生：
必要条件．
师：
还缺什么？
生：
d2+e2－4f＞0．
练习：
判断以下方程是否是圆的方程：
①x2+y2－2x+4y－4=0
②2x2+2y2－12x+4y=0
③x2+2y2－6x+4y－1=0
④x2+y2－12x+6y+50=0
三、应用举例
师：
先请大家比较一下圆的标准方程（x－a）2+（y－b）2=r2与一般方程x2+y2+dx+ey+f=0在应用上各有什么优点？
生：
标准方程的几何特征明显——能看出圆心、半径；一般方程的优点是能从一般的二元二次方程中找出圆的方程．
师：
怎样判断用“一般方程”表示的圆的圆心、半径．de?
1生：
圆心?
-?
，r=d2+e2-4f.-，?
22?
2
生b：
不用死记，配方即可．
师：
两种形式的方程各有特点，我们应对具体情况作具体分析、选择．
四．例题讲解
例1．求过三点o（0,0）,m1（1,1）,m2（4,2）的圆的方程；
分析：
由于o（0,0）,m1（1,1）,m2（4,2）不在同一条直线上，因此经过o,m1,m2三点有唯一的圆．
解：
法一：
设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，
∵o,m1,m2三点都在圆上，
∴o,m1,m2三点坐标都满足所设方程，把o（0,0）,m1（1,1）,m2（4,2）代入所设方程，
?
f=0?
得：
?
d+e+f+2=0?
4d+2e+f+20=0?
?
d=-8?
解之得：
?
e=6?
f=0?
所以，所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0．
法二：
也可以求om1和om2中垂线的交点即为圆心，圆心到o的距离就是半径也可以求的圆的方程：
x2+y2-8x+6y=0．
法三：
也可以设圆的标准方程：
（x-a）2+（y-b）2=r2将点的坐标代入后解方程组也可以解得（x-4）2+（y+3）2=25
五、小结
六、作业：
1.求下列各圆的圆心坐标和半径：
①x2+y2－2x－5=0
②x2+y2+2x－4y－4=0
③x2+y2+2ax＝0
④x2+y2－2by－2b2＝0
七、教学反思
【篇三：
优秀教案30-圆的一般方程】
4.1.2圆的一般方程
教材分析
本节内容是必修第二册第四章第一节圆的方程的第二课时内容.圆的一般方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是思想方法上都起着承前启后的作用.
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要研究圆的一般方程的特征和待定系数法求法，以及对．教学目标
重点:
圆的一般方程及待定系数法求圆的方程.
难点：
待定系数法求圆的方程及对坐标法思想的理解.
知识点：
圆的一般方程及一般方程的特点，待定系数法.
能力点：
用代数方法研究几何问题的能力、数形结合思想的理解和待定系数法的运用.
教育点：
培养学生勇于思考、主动探究知识、合作交流意识、在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.拓展点：
利用坐标法思想求解动点的轨迹方程.
教具准备多媒体课件、三角板、圆规
课堂模式学案导学、自主探究
一、复习引入
【师生活动】教师提问，学生回答.
问题1：
怎么求过点o（0,0）,m（1,1）n（4,2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标？
生：
待定系数法设圆的标准方程或求圆的圆心坐标和半径.圆的方程是（x-4）+（y+3）=25，圆心坐标是（4,-3），半径是5.
【设计意图】复习巩固加强记忆.
问题2：
将上面求得的方程展开，我们得到的是一个什么样的方程？
圆的方程都是这样的吗？
22
x+y-2ax-2by+a+b-r=0，生：
展开得到的是x+y-8x+6y=0.圆的标准方程展开式是：
是二元二次方程.
【设计意图】由具体到一般，引导学生找到分析问题的方法和结论.
师：
圆的方程总能表示成x+y+dx+ey+f=0这样的方程，那么方程x+y+dx+ey+f=0表示的是圆吗？
我们这节课就来探究这个问题.
【设计意图】使新知识建立在学生已有的知识之上，是旧知识的应用与延伸.22222222222
二、探究新知
【师生活动】教师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.
问题1：
方程x+y-2x+4y+1=0，x+y-2x-4y+6=0，x+y-2x+4y+5=0分别表示什么图形？
【设计意图】利用具体问题讨论，降低探究问题的难度，循序渐进地引导学生完成探究，形成分类讨论、等价转化等数学思想.
【师生活动】教师提示配方法，配方和展开由学生完成，教师最后展示结果，再讨论得到的方程.
生：
方程x+y-2x+4y+1=0可化为：
（x-1）+（y+2）=4，表示以（1,-2）为圆心，2为半径长
的圆；
方程x+y-2x-4y+6=0可化为：
（x-1）+（y-2）=-1，不表示圆；
方程x+y-2x+4y+5=0●可化为：
（x-1）+（y+2）=0，不表示圆.
师：
满足方程、●的点的坐标是什么？
生：
没有满足方程的点，满足方程●的点的坐标是（1,-2）.
师：
那么方程、●表示什么图形？
生：
方程不能表示任何图形，方程●表示点（1,-2）.
【设计说明】认识到方程x+y+dx+ey+f=0可能表示圆，但不一定，促使学生进一步探究在什么条件下，一定表示圆；采用从特殊到一般，由具体到抽象的认知方式.
问题2：
方程x+y+dx+ey+f=0在什么条件下表示圆？
【设计意图】突破教学难点.
【设计说明】在问题1的讨论基础上，这个问题由学生分组讨论，独立完成，教师给予适当的指导.2222222222222222222222
d2e2d2+e2-4f生：
把x+y+dx+ey+f=0配方得：
（x+）+（y+）=22422
师：
方程是否表示圆与什么有关？
【设计意图】使问题化难为易，突破难点，也让学生充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察、思考能力，之后得到圆的一般方程的完整表述.
生：
与d+e-4f的取值正负有关.22
de，）
为半径的圆.22
dede22⑵当d+e-4f=0时，方程只有实数解x=-,y=-，即只表示一个点（-,-）.2222⑴当d+e-4f﹥0时，方程表示以（-22
⑶当d+e-4f﹤0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.
22师：
当d+e-4f﹥0时，方程x+y+dx+ey+f=0叫做圆的一般方程.2222
三、理解新知
思考1：
圆的一般方程与一般的二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0有什么关系？
【设计意图】采用类比法加深在研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想的认识.加深对圆的二次方程的结构认识.
生：
二元二次方程ax+bxy+cy+dx+ey+f=0中a,c相等，b=0时就是圆的一般方程.师：
圆的一般方程的特点是：
（1）x和y的系数相等，且等于1；
（2）没有xy项.
【设计意图】归纳知识，.强调的概念的本质，深化学生对圆的一般方程的理解.有利于学生理清知识脉络，让学生理解记忆圆的一般方程的代数特征.
思考2：
圆的一般方程与圆的标准方程各有什么特点？
【设计意图】通过让学生比较体会，，强化学生的观察、思考能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.生：
圆的标准方程中能体现圆的圆心坐标和半径长，圆的一般方程表明圆的方程是个特殊的二元二次方程.师：
圆的标准方程的几何特征明显，圆的一般方程的代数特征明显.
【设计意图】可以进一步加深学生用代数方法研究几何问题的认识222222
四、运用新知
例1判断下列二元一次方程是否表示圆的方程？
如果是，请求出圆的圆心及半径。
（1）x+y-6x=0
（2）x+y-2ax-2ay+3a=0
（3）x+y+2ax-b=0（4）4x+4y-4x+12y+11=0
【设计意图】进一步熟悉圆的一般方程的特征和配方法转化为标准方程和标准方程的几何特征.加深对所学知识的理解应用，使学生掌握基础知识.
【设计说明】本题由学生自己完成.2222222222
（x-3）+y=9，表示圆心坐标是（3,0），半径长是3的圆.解：
（1）方程可以变为：
（x-a）+（y-3a）=a.a=0时，方程表示点（0,0）；a≠0时，方程表示圆心
（2）方程可以变为：
坐标是（a,a），半径长是|a|的圆.22222
（x+a）+y=a+b.a+b=0时，方程表示点（0,0）；a+b≠0时，方程表（3）方程可以变为：
示圆心坐标是（-a,0），半径长是a+b的圆.
（4）方程可以变为：
x+y-x+3y+
巩固练习：
课本p1241
例2求过点o（0,0）,m（1,1）n（4,2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.
【设计意图】进一步熟悉圆的一般方程，通过本题的练习，使学生掌握待定系数法求解圆的一般方程的步骤.
【设计说明】让学生画出图象，结合引例的方法，讨论确定用待定系数法求圆的一般方程.学生板书，教222222222222111231=0，即：
（x-）+（y+）2=-，方程不表示任何图形.4224
师订正.
解：
设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0
∵a（0,0），b（1,1），c（4,2）在圆上，所以它们的坐标是方程的解，代入方程得到：
?
f=0?
?
d+e+f+2=0即d=-8e=6f=o
?
4d+2e+f+20=0?
∴所求圆的方程为x+y-8x+6y=0
∴圆心坐标为（4,-3）
，r=
2222de、-=4、-=-32222师：
还可以将x+y+dx+ey+f=0化为圆的标准方程：
（x-4）+（y+3）=25，求圆的圆心坐
标和半径长.
师：
待定系数法求圆的方程一定设圆的一般方程吗？
待定系数法求圆的方程的大致步骤是什么？
【设计意图】强调方法的本质，加深学生对方法的理解应用.
生：
⑴根据条件，选择是标准方程还是一般方程；⑵根据条件列出关于a,b,r或d,e,f的方程组；⑶解
出a,b,r或d,e,f并将其代入其相关方程。
巩固练习：
课本p1233
例3已知线段ab的端点b的坐标是（4,3），端点a在圆上（x+1）+y=4运动，求线段ab的中点m的
轨迹方程
.22
【设计意图】掌握运用代入法求解曲线的轨迹方程的步骤，培养学生运用知识的能力.
【设计说明】教师引导学生分析条件中的关系，教师板书，学生总结解题步骤.
师：
求线段ab的中点m的轨迹方程是指点m的坐标（x,y）满足的关系式.已知条件中知道哪个点的坐
标？
生：
点a的坐标满足方程（x+1）+y=4.
师：
点a和点m有什么关系？
生：
点m是线段ab的中点.
师：
可以利用中点坐标公式表示m,a,b坐标之间的关系，利用点a的坐标满足的方程表示点m的坐标的关系.
解：
设点m的坐标是（x,y），点a的坐标是（x0,y0），由于点b的坐标是（4,3），且m是线段ab的中点，22
所以有：
x=x0+4y+4，y=0，即：
x0=2x-4，y0=2y-3①22
2222因为点a在圆（x+1）+y=4上运动，所以点a的坐标满足方程（x+1）+y=4
即：
（x0+1）+y0=4②
把①代入②，得:
（2x-4+1）+（2y-3）=4整理，得:
（x-）2+（y-）2=1
所以，点m的轨迹是以（2222323233，）为圆心，半径长是1的圆.22
师：
这个求点的轨迹的方法叫代入法，利用与所求点有关系的点的坐标所满足的方程求解轨迹方程.求点的轨迹的一般步骤是：
⑴建立适当的坐标系，用有序数对（x,y）表示曲线上任意一点m的坐标；⑵写出适合条件的点m的集合；⑶列出方程f（x,y）=0；⑷化方程f（x,y）=0为最简形式.
【设计意图】总结归纳，把方法系统化，形成能力.
巩固练习：
课本p1243
五、课堂小结
师：
本节课学习了圆的一般方程,讨论了的哪些问题，用到哪些思想方法？
生：
学习了圆的一般方程x+y+dx+ey+f=0的代数特征.讨论了圆的一般方程和标准方程的互化，待定系数法求解圆的一般方程和代入法求解曲线的轨迹方程.
【设计意图】启发引导学生进行归纳整理，培养学生宏观掌握知识的能力，有利于学生理清本节课的重难点，深化对圆的一般方程的理解，帮助学生从感性认识上升为理性认识，把知识转化为能力，形成数学方法和数学思维.22
六、布置作业
1,5，81．必做作业：
课本p144a
，3选作作业：
课本p124b1
【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.
2.课后练习自主学习丛书4.1.2
七、教后反思
本节课通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对圆的一般方程认识的再次深化，归纳总结用待定系数法解题的基本步骤，提炼分类讨论，化归转化，数形结合等数学思想.但是，对于点的轨迹方程的求解未能讲解透彻，使得学生有些一知半解，应该在直线的方程和圆的方程的教学中加强学生对坐标法的认识.
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