21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习 101 分类加法计数原理与分步乘法计数原理.docx
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21版高考数学人教A版浙江专用大一轮复习101分类加法计数原理与分步乘法计数原理
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核心考点·精准研析
考点一 分类加法计数原理及其应用
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有（ ）
A.30B.20C.10D.6
2.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有（ ）
A.4种B.6种C.10种D.16种
3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数（如1458）,若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是________.
【解析】1.选D.可分两类:
一类两个数都为奇数:
13,15,35,共3种方法;另一类两个数都为偶数:
02,04,24,共3种方法,所以共有3+3=6种取法.
2.选B.分两类:
甲第一次踢给乙时,
满足条件有3种方法（如图）,
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理知,共有3+3=6（种）传递方法.
3.渐升数由小到大排列,形如
的渐升数共6+5+4+3+2+1=21（个）.
形如
的渐升数共有5个.形如
的渐升数共有4个.
故此时共有21+5+4=30（个）.
因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1359.
答案:
1359
应用分类加法计数原理的四个步骤
（1）完成的一件事是什么.
（2）确定分类时,n类办法的每一种方法都可以独立完成这件事.
（3）确定恰当的分类标准,对完成这件事的办法分类时要:
“不重不漏”,即每一种的方法必属于某一类,不同类中的方法都是不相同的.
（4）把所有类中的方法数相加,即得完成这件事的方法数.
考点二 分步乘法计数原理及其应用
【典例】
1.一个小朋友从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中选取3个不同的数字组成三位数,则他写出的三位数有______个.（ ）
A.1000B.900C.720D.648
2.已知集合A中有4个元素,B中有3个元素,C中有9个元素,则集合
中的元素个数为________.
3.有4个同学各自在2020年元旦的三天假期中任选一天去敬老院参加活动,则有多少种选法?
世纪金榜导学号
【解题导思】
序号
联想解题
1
由组成三位数想到先确定百位数字,再确定十位数字,最后确定个位数字
2
由x∈A,y∈B,z∈C想到先确定x,再确定y,最后确定z
3
由4个同学在三天中任选一天,联想到每个人有3种选择.
【解析】1.选D.分三个步骤:
第一步确定百位数字,有9种方法,第二步确定十位数字,有9种方法,第三步确定个位数字,有8种方法,所以由分步乘法计数原理得他写出的三位数有9×9×8=648（个）.
2.分三个步骤,第一步确定x,有4种方法,第二步确定y,有3种方法,第三步确定z,有9种方法,由分步乘法计数原理得集合中元素个数为4×3×9=108.
答案:
108
3.每个同学都有3种选择,所以4个同学的选法共有3×3×3×3=81（种）.
应用分步乘法计数原理的三个步骤
（1）完成的一件事是什么.
（2）需要分几个步骤.每一步各有多少种方法.
每一步中的每一种方法都能独立完成这个步骤,但是不能完成这件事.
（3）把每一步中的方法数相乘即得完成这件事的方法数.
1.某校2019年数理化三科奥赛进入冬令营的选手共15人,其中数学科有7人,物理科有5人,化学科有3人,从三个学科中各选一人作护旗手,则选出这3个人的方法有______种（ ）
A.15B.35C.56D.105
【解析】选D.因为从三个学科中各选一人作护旗手,所以应该分成三步:
第一步,从数学科7人中选出1人,有7种方法,
第二步,从物理科5人中选出1人,有5种方法,
第三步,从化学科3人中选出1人,有3种方法,
所以由分步乘法计数原理得选出这3个人的方法有7×5×3=105（种）.
2.（2020·浙江三校联考）某超市内一排共有6个收费通道,每个通道处有1号,2号两个收费点,根据每天的人流量,超市准备周一选择其中的3处通道,要求3处通道互不相邻,且每个通道至少开通一个收费点,则周一这天超市选择收费的安排方式共有________种.
【解析】设6个收费通道依次编号为1,2,3,4,5,6,从中选择3个互不相邻的通道,有135,136,146,246共4种不同的选法.对于每个通道,至少开通一个收费点,即可以单独开通1号收费点,单独开通2号收费点,同时开通两个收费点,共3种不同的安排方式.由分步乘法计数原理,可得超市选择收费的安排方式共有4×33=108种.
答案:
108
考点三 两个计数原理的综合应用
命
题
精
解
读
考什么:
（1）考查“分类”与“分步”的关系
（2）考查两个计数原理的综合应用
怎么考:
以实际问题（数字组数、小球入盒、方块染色、人员安排等）为背景,考查两个计数原理,多数是以选择题或填空题,或者解答题的一个小题的形式考查
新趋势:
结合新背景,考查两个计数原理的综合应用
学
霸
好
方
法
利用两个计数原理解题的关键
（1）认真阅读审题,选择适合的分类标准进行合理分类,简化问题
（2）根据题意,弄清楚完成一件事的要求,正确区分先分类再分步还是先分步再分类
数字问题
【典例】由0,1,3,5,7这五个数组成无重复数字的三位数,其中是5的倍数的共有多少个（ ）
A.9B.21C.24D.42
【解析】选B.若个位数字为0,可以组成4×3=12个;若个位数字为5,百位数字不能为0,可以组成3×3=9个,由0,1,3,5,7这五个数组成无重复数字的三位数,其中是5的倍数的共有12+9=21个.
如何求与数字有关的计数问题?
提示:
（1）先确定是分类还是分步,分类时确定好统一标准,不重复,也不遗漏,分步时,确定好步骤.
（2）先根据题意确定特殊数位的数字（如首位不能为0,奇数的个位为奇数等）,再确定其他位置上的数字.
染色问题
【典例】如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.世纪金榜导学号
【解析】可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60（种）染色方法.
当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420（种）.
【一题多解1】以S,A,B,C,D顺序分步染色.
第一步,S点染色,有5种方法;
第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法;
第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法;
第四步,C点染色,考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×（1×3+2×2）=420（种）.
【一题多解2】按所用颜色种数分类.
第一类,5种颜色全用,
共有5×4×3×2×1=120（种）不同的方法;
第二类,只用4种颜色,
则必有某两个顶点同色（A与C,或B与D）,共有2×5×4×3×2=240（种）不同的方法;
第三类,只用3种颜色,则A与C,B与D必定同色,共有5×4×3=60（种）不同的方法.由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为
120+240+60=420（种）.
如何求解染色问题的计数?
提示:
（1）分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的染色顺序.
（2）选择好分类标准,分清楚哪些可以同色,分类与分步交叉时不要计数重复,也不要遗漏.
几何中的计数问题
【典例】设α,β是两个平行平面,若α内有3个不共线的点,β内有4个点（任意3点不共线）,从这些点中任取4个点最多可以构成______个四面体.世纪金榜导学号（ ）
A.34B.18C.12D.7
【解析】选A.完成的一件事是“任取4个点构成四面体”,所以分成三类:
第一类,从α上取1个点,β上取3个不同的点,可以构成四面体的个数为3×4=12,第二类,从α上取2个点,β上取2个不同的点,可以构成四面体的个数为3×6=18,第三类,从α上取3个点,β上取1个不同的点,可以构成四面体的个数为1×4=4,所以共有四面体的个数为12+18+4=34.
如何解决几何中的计数问题?
提示:
（1）准确读取题目中的有用信息,明确已知与未知;
（2）正确进行分类与分步,会在实际问题中应用它.
1.小明有一盒10种颜色的画笔,给如图所示图形涂上颜色,相邻的两块颜色不能相同,则他可以有______种涂色方法（ ）
A.810B.1000C.27D.4320
【解析】选A.分三个步骤:
第一步涂A,有10种方法,第二步涂B,有9种方法,第三步涂C,有9种方法,所以由分步乘法计数原理得共有10×9×9=810（种）涂色方法.
2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有（ ）
A.144个B.120个C.96个D.72个
【解析】选B.由题意可得,比40000大的五位数万位只能是4或5,
当万位是4时,由于该五位数是偶数,个位只能从0或2中任选一个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有2×4×3×2=48（种）情况;
当万位是5时,由于该五位数是偶数,个位只能从0,2或4中任选一个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有3×4×3×2=72（种）情况;
由分类加法计数原理可得,满足题意的数共有48+72=120（个）.
3.某班要从5名男生和3名女生中选出2人作为社区服务志愿者,若用变量x表示选出的志愿者中女生的人数,y表示对应的方法数,用列表法表示这个函数为________.
【解析】x的取值为0,1,2
（1）x=0,即选出的2人都是男生,把5名男生编号为1,2,3,4,5,则选出的两人有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10种方法,此时y=10.
（2）x=1,即选出的2人中1个男生,1个女生,
分两个步骤,第一步选出男生,有5种方法,第二步选出女生,有3种方法,所以共有5×3=15种方法,此时y=15.
（3）x=2,即选出的2人都是女生,有3种方法,此时y=3.
列表如下:
x
0
1
2
y
10
15
3
答案:
x
0
1
2
y
10
15
3
1.一个小朋友用1,2,3,4,5,6,7,8,9写出的两位数中偶数的个数为________.
【解析】分两个步骤:
第一步,写个位数字,从2,4,6,8中选一个,有4种方法,第二步,写十位数字,有9种方法,所以写出的两位数中偶数的个数为4×9=36.
答案:
36
2.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.
【解析】分两种情况讨论:
（1）对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24（个）.
（2）对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.
所以正方体中“正交线面对”共有36个.
答案:
36
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