计算机科学中的重要数学思想迭代数学与应用数学毕业论文设计1 精品.docx

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本科毕业论文（设计）

题　　目：

计算机科学中的重要数学思想—迭代法

计算机科学中的重要数学思想—迭代法

摘要

本文将探讨数学中重要的思想方法—迭代的实际应用。

主要介绍几种常见问题的迭代方法如：

求解非线性方程f（x）=0的不动点迭代、二分法、牛顿迭代法，还有求解线性方程组及非线性方程组的各种迭代法。

并对各种迭代法的收敛性进行讨论和比较，讨论各种迭代法的优缺点。

在分析结果的基础上我们可以看出迭代法的实际应用性很强，对于计算机上的应用尤为突出。

研究结果告诉我们：

在具体的应用中要根据实际情况来选择不一样的迭代法，也可以将几种方法结合来运用。

关键词

迭代；收敛性；牛顿法；雅克比迭代；塞德尔迭代；非线性方程；（非）线性方程组。

AnimportantMathematicsthoughtfromthecomputerscience----IterationMethod

Abstract

Inthispaper,wewilldiscussanimportantmathematicsthoughtofiterationmethodanddiscussitsrealisticapplicationFirst,Iwillintroducealotofiterationmethodfromsomenaturalquestion，forexample：

theFixed-pointiteration，theBisectionMethod，Newtonmethod，andsomeiterationmethodofsolvinglinearequationsetornotlinearequationset。

Second，wewilldiscussandcomparetheastringencyofthosemethods。

Wewillfindouttheadvantagesanddisadvantagesofseveralmethodsforiteration。

Fromanalysistheresultofiterationmethod，wecanfindithaslotsofactioninreality，particularlyincomputerscience。

Accordingtotheanalysisresult，wegetthatweuseiterationmethodmustbaseonreality，andalsowecancombinedifferentmethodtodealwithsomeproblemaroundus。

Keywords：

astringency；NewtonMethod；Jacobiiteration；Gauss-Seideliteration；nonlinearequation；linearornonlinearequationset。

目　　录

第一章迭代法·····································4

1.1迭代法简介··································4

1.2运用迭代法的前提准备························4

第二章不动点迭代法·······························5

2.1不动点的寻找································5

2.2绝对误差与相对误差··························6

第三章二分法·····································8

3.1波尔查诺二分法······························8

3.2试值法的收敛性······························9

第四章牛顿-拉夫森法与割线法······················11

4.1求根的斜率法································11

4.2收敛速度与缺陷······························13

4.3割线法与加速收敛····························16

第五章求线性方程组的迭代法·······················19

5.1雅克比迭代··································19

5.2高斯-塞德尔迭代与收敛性·····················20

第六章非线性方程组的迭代法·······················24

6.1理论与广义微分······························24

6.2接近不动点处的收敛性························25

6.3赛德尔迭代法与牛顿法························26

结束语·············································29

主要参考文献·······································30

致谢···············································31

计算机科学中的重要数学思想—迭代法

第一章迭代法

1.1迭代法简介

迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。

迭代法又分为精确迭代和近似迭代。

“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。

迭代法常用于求方程或方程组的近似根。

1.2运用迭代法的前提准备

一、确定迭代变量。

在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。

　　二、建立迭代关系式。

所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。

迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。

　　三、迭代过程进行控制。

在什么时候结束迭代过程？

这是编写迭代程序必须考虑的问题。

不能让迭代过程无休止地重复执行下去。

迭代过程的控制通常可分为两种情况：

一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。

对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件

第二章不动点迭代法

2.1不动点的寻找

我们先探讨不动点的存在性和介绍不动点迭代的方法。

定义2.1函数g（x）的一个不动点是指一个实数P，满足P=g（P）。

定义2.2迭代Pn+1=g（Pn）,其中n=0，1，…称为不动点迭代

定理2.1g（x）为连续函数且

[a,b]我们有

①g（x）

[a,b]任意x

[a,b]则g（x）一定有不动点

②

则g（x）不动点唯一

证明：

①如果g（a）=a或g（b）=b，则为真；否则g（a）必须满足g（a）

g（b）的值必须满足g（b）

。

f（x）

有如下特性：

对

应用中值定理，而且由于常量L=0，可推断出存在数P

。

因此，P=g（P），且P为不动点。

②我们可以采用反证法。

设存在两个不动点P1与P2.根据均值定理，可推断出存在数d

根据假设，有

，对前式子简化得

。

但这与题意矛盾，故得证P点唯一。

下面我们给定一个定理来判断，迭代所产生的序列是收敛的还是发散的。

定理2.2设有

如果对于所有

将收敛到唯一的不动点P

.在这种情况下，P称为吸引不动点。

如果对于所有

，有

>1,则迭代将不会收敛到P，此时P点称为排斥不动点。

我们可以证明定理中的吸引不动点。

证：

首先要证明Pn都位于（a，b）内。

从P0开始，可推导出存在一个值C满足

满足

因此，P1比P0更接近于P。

同上可以归纳出Pn比Pn-1更接近于P点。

所以所有的点都在

中。

接下来证明。

首先用数学归纳法证明可建立下面的不等式

。

因此

，

的极限压缩在左右2边的0之间，故

=0，这样就有

=p,，所以得证迭代Pn=g（Pn-1）收敛到不动点P

例题：

设

=

，且P0=4，找去函数的不动点。

解：

设迭代

，由P0=4得P1=3.5P2=3.25P3=3.125…………

由此序列，不难得出P=3

2.2绝对误差与相对误差

在迭代运算中，迭代结果与真实值间总存在误差，我们算误差方法分为：

绝对误差和相对误差

绝对误差：

相对误差：

（其中

为真实的结果，

为迭代计算的结果）

第三章二分法

3.1波尔查诺二分法

先介绍连续函数的零点

定义3.1设

是连续函数。

满足

的任意r成为方程

的一个根。

也称r为函数

的零点

二分法是将连续函数的区间进行对分取舍，从而逐步逼近到零点，直到一个任意小的包含零点的间隔

定理3.1设

，且存在实数

满足

。

如果

与

的符号相反，且

表示二分法生成的中点序列，则

其中n=0，1…

这样，序列

收敛到零点

即可表示为

证明：

由于零点r和中点

都位于区间

内，

与r之间的距离不会比这个区间的一半宽度范围大。

这样，对于所有的n，

，观察连续的区间宽度范围，可得到

b1-a1=（b0-a0）/2b2-a2=（b0-a0）/4,使用数学归纳法很容易得证

，结合上面的式子，我们有

综上可得证

收敛到r，定理得证。

例题：

利用二分法寻找函数

的零点，区间为[0,2].

解：

起始值

=0，

=2.计算f（0）=-1f

（2）=0.818595

所以f（x）的一个根位于[0,2]内在中点C0=1，可发现f

（1）=-0.158529，因此区间改变为[C0,b0]=[1,2],接下来从左边压缩，使得a1=c0b1=b0.中点为c1=1.5………………

按照这种方法，可得到序列

，他收敛于

1.11415714

3.2试值法的收敛性

下面探讨试值法又叫试位法。

试值法是对二分法的改造，使收敛速度变快。

与上述条件一样，假设

和

符号相反，如果找到经过点

和

的割线L与x轴的交点（c，0），则可得到一个更好的近似值。

为了寻找值x，定义了线L的斜率m的的两种表示方法，一种为：

另一种方法为：

于是我们有

=

所以

，这样

如果f（a）和f（c）符号相反，则在[a，c]内有一个零点

如果f（b）和f（c）符号相反，则在[c，b]内有一个零点

如果f（c）=0，则c是零点

结合上述过程可构造｛[

]｝区间序列，其中每个序列包涵零点。

在每一步中，零点r的近似值为

，

而且可以证明序列

将收敛到r

下面我们来用试值法求解

，在区间[0，2]中，并观察它是否比二分法收敛得快

解：

根据初始值

，可得到f（0）=-1f

（2）=0.81859485，因此在区间中有一个根。

利用试值法，可得到：

。

函数在区间

内改变符号，因此从左边压缩，设

，根据上面结论可得到下一个近似值

=1.12124074和

，

下一个判