计算机科学中的重要数学思想迭代数学与应用数学毕业论文设计1 精品.docx

1、计算机科学中的重要数学思想迭代数学与应用数学毕业论文设计1 精品本科毕业论文（设计）题目： 计算机科学中的重要数学思想迭代法 计算机科学中的重要数学思想迭代法摘要 本文将探讨数学中重要的思想方法迭代的实际应用。主要介绍几种常见问题的迭代方法如：求解非线性方程f(x)=0的不动点迭代、二分法、牛顿迭代法，还有求解线性方程组及非线性方程组的各种迭代法。并对各种迭代法的收敛性进行讨论和比较，讨论各种迭代法的优缺点。在分析结果的基础上我们可以看出迭代法的实际应用性很强，对于计算机上的应用尤为突出。研究结果告诉我们：在具体的应用中要根据实际情况来选择不一样的迭代法，也可以将几种方法结合来运用。关键词迭代

2、；收敛性；牛顿法；雅克比迭代；塞德尔迭代；非线性方程；（非）线性方程组。An important Mathematics thought from the computer science- Iteration Method Abstract In this paper, we will discuss an important mathematics thought of iteration method and discuss its realistic application First, I will introduce a lot of iteration method from s

3、ome natural question ，for example ：the Fixed-point iteration ，the Bisection Method ，Newton method ，and some iteration method of solving linear equation set or not linear equation set。Second ， we will discuss and compare the astringency of those methods 。We will find out the advantages and disadvanta

4、ges of several methods for iteration。From analysis the result of iteration method ，we can find it has lots of action in reality，particularly in computer science。According to the analysis result，we get that we use iteration method must base on reality，and also we can combine different method to deal

5、with some problem around us。Keywords：astringency；Newton Method；Jacobi iteration；Gauss-Seidel iteration；nonlinear equation；linear or nonlinear equation set。目录第一章 迭代法4 1.1 迭代法简介4 1.2 运用迭代法的前提准备4第二章 不动点迭代法5 2.1 不动点的寻找5 2.2 绝对误差与相对误差6第三章 二分法8 3.1 波尔查诺二分法8 3.2 试值法的收敛性9第四章 牛顿-拉夫森法与割线法11 4.1 求根的斜率法11 4.2 收

6、敛速度与缺陷13 4.3 割线法与加速收敛16第五章 求线性方程组的迭代法19 5.1 雅克比迭代19 5.2 高斯-塞德尔迭代与收敛性20第六章 非线性方程组的迭代法24 6.1 理论与广义微分24 6.2 接近不动点处的收敛性25 6.3 赛德尔迭代法与牛顿法26结束语29主要参考文献30致谢31 计算机科学中的重要数学思想迭代法第一章 迭代法1.1 迭代法简介迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。迭代法常用于求方程或方程组的近似根。1

7、.2 运用迭代法的前提准备一、确定迭代变量。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过

8、程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件第二章 不动点迭代法2.1 不动点的寻找 我们先探讨不动点的存在性和介绍不动点迭代的方法。定义2.1 函数g（x）的一个不动点是指一个实数P，满足P=g（P）。定义2.2 迭代Pn+1=g(Pn),其中n=0，1，称为不动点迭代定理 2.1 g（x）为连续函数且a,b 我们有 g（x）a,b 任意x a,b 则g(x)一定有不动点 则g（x）不动点唯一证明：如果g（a）=a或g（b）=b，则为真；否则g（a）必须满足g（a）,g(b)的值必须满足g（b）。f（x）有如下特性： 对应用中值定理，而且由于常量L=0，可推断出存在数P。

9、因此，P=g（P），且P为不动点。 我们可以采用反证法。设存在两个不动点P1与P2.根据均值定理，可推断出存在数d 根据假设，有，对前式子简化得。但这与题意矛盾，故得证P点唯一。下面我们给定一个定理来判断，迭代所产生的序列是收敛的还是发散的。定理 2.2 设有如果对于所有将收敛到唯一的不动点P.在这种情况下，P称为吸引不动点。如果对于所有，有1,则迭代将不会收敛到P，此时P点称为排斥不动点。我们可以证明定理中的吸引不动点。证：首先要证明Pn都位于（a，b）内。从P0开始，可推导出存在一个值C满足满足因此，P1比P0更接近于P。同上可以归纳出Pn比Pn-1更接近于P点。所以所有的点都在中。接下来

10、证明。首先用数学归纳法证明可建立下面的不等式。因此，的极限压缩在左右2边的0之间，故=0，这样就有=p,，所以得证迭代Pn=g（Pn-1）收敛到不动点P例题：设=，且P0=4，找去函数的不动点。解：设迭代，由P0=4得 P1=3.5 P2=3.25 P3=3.125 由此序列，不难得出P=32.2 绝对误差与相对误差 在迭代运算中，迭代结果与真实值间总存在误差，我们算误差方法分为：绝对误差和相对误差 绝对误差： 相对误差： （其中为真实的结果，为迭代计算的结果） 第三章 二分法3.1 波尔查诺二分法 先介绍连续函数的零点 定义3.1 设是连续函数。满足的任意r成为方程的一个根。也称r为函数的零

11、点 二分法是将连续函数的区间进行对分取舍，从而逐步逼近到零点，直到一个任意小的包含零点的间隔 定理3.1 设，且存在实数满足。如果与的符号相反，且表示二分法生成的中点序列，则其中n=0，1 这样，序列收敛到零点即可表示为 证明：由于零点r和中点都位于区间内，与r之间的距离不会比这个区间的一半宽度范围大。这样，对于所有的n， ，观察连续的区间宽度范围，可得到 b1-a1=(b0-a0)/2 b2-a2=(b0-a0)/4,使用数学归纳法很容易得证，结合上面的式子，我们有 综上可得证收敛到r，定理得证。 例题：利用二分法寻找函数的零点，区间为0,2. 解：起始值=0， =2.计算f（0）=-1 f

12、（2）=0.818595 所以f（x）的一个根位于0,2内在中点C0=1，可发现f（1）=-0.158529，因此区间改变为C0,b0=1,2, 接下来从左边压缩，使得a1=c0 b1=b0. 中点为c1=1.5按照这种方法，可得到序列，他收敛于1.114157143.2 试值法的收敛性下面探讨试值法又叫试位法。试值法是对二分法的改造，使收敛速度变快。与上述条件一样，假设和符号相反，如果找到经过点和的割线L与x轴的交点（c，0），则可得到一个更好的近似值。为了寻找值x，定义了线L的斜率m的的两种表示方法，一种为： 另一种方法为： 于是我们有= 所以，这样如果f（a）和f（c）符号相反，则在a，c内有一个零点如果f（b）和f（c）符号相反，则在c，b内有一个零点如果f（c）=0 ，则c是零点结合上述过程可构造区间序列，其中每个序列包涵零点。在每一步中，零点r的近似值为 ，而且可以证明序列将收敛到r下面我们来用试值法求解，在区间0，2中，并观察它是否比二分法收敛得快解：根据初始值，可得到f（0）=-1 f（2）=0.81859485，因此在区间中有一个根。利用试值法，可得到： 。函数在区间内改变符号，因此从左边压缩，设，根据上面结论可得到下一个近似值=1.12124074和，下一个判