（5）（X11）（X2+1）=X1X2+（X1+X2）+1
（6）X1_X2|=寸（Xr_X2）2=J（x^x2）^4x1x2
练3）2015?
合肥校级自主招生）已知：
关于x的方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根.
）1）求k的取值范围；
）2）若a,3是这个方程的两个实数根，求'「丁的值•夯实基础
一、选择题
1.）2011江苏南通，7,3分）已知3是关于x的方程x2—5x+c=0的一个根，则这个方程的另一个根是
—2B.2C.5D.6
2.）2011湖北荆州，9,3分）关于x的方程ax2-（3a■1）x2（a■1）=0有两个不相等
的实根x1、x2，且有x^x1x2x2=1-a，则a的值是
A.1B.—1
C.1或—1
D.2
3.）2013四川泸州）
设^,X2是方程
X2•3x-3=0的两个实数根，则
X2X1
—+—的值为）
X,x2
）
A.5B
.—5C
.1D.—1
二、填空题
4.（2015?
泸州）设X1、X2是一元二次方程X2-5x-仁0的两实数根，则X12+X22的值为.
的值是.
6.（2015?
日照）如果mn是两个不相等的实数，且满足vm-m=3n2-n=3,那么代数式2n2
-mn+2m+2015=
三、解答题
7.（2015?
梅州）已知关于x的方程x2+2x+a-2=0.
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根.
8.已知，关于x的方程x2_2mx=_m2+2x的两个实数根为、他满足&=X?
，求实数m的值.
9.（2015?
南充）已知关于x的一元二次方程（x-1）（x-4）=p2,p为实数.
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）p为何值时，方程有整数解.（直接写出三个，不需说明理由）
10.（2015?
华师一附中自主招生）已知mn是方程x2+3x+仁0的两根
/八卡/c16、2ki-102如古
（1）求（m+5）-的值
5-it3-hin
（2）求的值.
VnVm
11.（2015?
孝感校级模拟）已知X1,X2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根，是否存在实数a，使-X1+X1X2=4+X2成立？
若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由.
12.（2014?
广东模拟）已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根X1、X2.
（1）求k的取值范围；
（3）求（X1-1）?
（X2
（2）求证：
X1+X2=2（k-1）,：
，.「.:
.；-1）的最小值.
13.（2010?
黄州区校级自主招生）已知方程x2-2x+m+2=0的两实根x1,x2满足|x1|+|x2|
w3，试求m的取值范围.
14.（2015?
黄冈中学自主招生）已知关于x的方程（m-1）x2-3（3mr1）x+18=0有两个
正整数根（m是正整数）.△ABC的三边a、b、c满足•.匸八」.：
，nf+a2m-8a=0,m+b2m-8b=0.
求：
（
:
1）m的值；
（2）^ABC的面积.
典例探究答案：
28
【例1】分析：
先考虑判别式>0,根据题意得.：
-k—：
•0，这说明k取任意实数，方程
3
都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得X1+X2=3k,X1X2=-6,代入
2（为■冷）以律2即可求得k的取值范围.
18
解：
根据题意，得厶二k2-4（-2）=k2•0,
33
所以k为任意实数，方程都有两个不相等的实数根
•••X1+X2=3k,X1X2=-6，且2（x1x2）x1x2,
•••23k-6，解得k>-1.
综上，k的取值范围是k>-1.
点评：
本题考查了一元二次方程根与系数的关系.注意：
对于含参数的一元二次方程，已知
两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式
练1.【解析】根据根与系数的关系得出x计X2=2k+1,X1?
X2=k2+2k，变形后代入即可得出关
于k的不等式，求出不等式的解集即可.
解：
•••关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根X1,X2,
2
•X1+X2=2k+1,X1?
X2=k+2k,
TX1?
X2-X12-X22>0成立，
•X1?
X2-（X12+X22）>0,即卩X1?
X2-[（X1+X2）2-2X1?
X2]>0,
•k2+2k-[（2k+1）2-2（2k+1）]>0,
点评：
本题考查了根与系数的关系的...kw—2或k>1.应用，解此题的关键是能得出关于k
的不等式.
【例2】【解析】
（1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到4（m+1）2-4（m-3）>0,
然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得Xi+X2=2（m+1,XiX2=m-3,代入（Xi-X2））-X1X2=26,计算
即可求解.
解：
（1）根据题意，得△=4（m+1）2-4（m-3）>0,
解得m>-2;
2
（2）当m>-2时，Xi+X2=2（m+1,xiX2=m—3.
则（Xi-X2）2-XiX2=（X1+X2）2-5XiX2=[2（m+1]2-5（ni-3）=26,
2
即m-8m+7=Q
解得m=i>-2,m>=7>-2,
所以m=i,m=7.
点评：
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式.
练2.【解析】（i）根据判别式的意义得到厶=（-2）2-4X2X（m-i）>0，然后解不等
式；
（2）先根据根与系数的关系得Xi+X2=i,Xi?
X2=，「，把7+4XiX2>Xi2+X22变形得7+6Xi?
X2>
£
（Xi+X2）2,所以7+6X「」>i,解得m>-3，于是得到m的取值范围-3vmW-[，由于m为负整数，所以m=-2或m=-i，然后把m的值分别代入原方程，再解方程.
解：
（i）根据题意得△=（-2）2-4X2X（m-i）>0,
解得mW
nr+1
（2）根据题意得x计X2=i,Xi?
X2=,
■/7+4xiX2>Xi2+X22,
7+6Xi?
X2>（Xi+X2）
7+6X
>i,解得m>-3,
.•.-3vmW-
Tm为负整数，
/•m=-2或m=-1,
当m=-1时，方程变形为x2-x=0,解得xi=1,X2=0.
关系：
当厶>0时，方程有两个不相等的两个实数根；当厶=0时，方程有两个相等的两个实
数根；当△<0时，方程无实数根.也考查了根与系数的关系.
【例3】【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1,ab=-1，再利用完全平方公式变形得到
+.^':
，=’一-二，然后利用整体代入的方法进行计算.
ababab
解：
•••实数a,b是方程x2-x-仁0的两根，
•••a+b=1,ab=-1,
+卫=/+孑=Q+b）2-诚=_3
3babab
点评：
本题考查了根与系数的关系：
若X1,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根时,
bC
X1+X2=,X1X2=.
aa
练3.【解析】
（1）由方程x2+2x-k=0有两个不相等的实数根，可以求出△>0，由此可求
出k的取值范围；
（2）欲求一的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值
计算即可.
解：
（〔）△=4+4k,
•••方程有两个不等实根，
•△>0,即4+4k>0
（2）由根与系数关系可知a+3=-2,
a3=-k,
.a（1+a）_a+p+2ap=-2-2k_n
…^_1…]
点评：
将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
夯实基础答案：
一、选择题
1.B
2.
B
3.【解析】由已知得Xi+X2=—3,XixX2=—3，则
代数式变形、求值的方法.
二、填空题
4.【解析】首先根据根与系数的关系求出Xi+X2=5,XiX2=-1,然后把Xi
（Xi+X2）-2XiX2，最后整体代值计算.
解：
TXi、X2是一元二次方程X2-5x-仁0的两实数根,
•••Xi+X2=5,XiX2=-i,
222
•Xi+X2=（Xi+X2）-2xiX2=25+2=27,故答案为：
27.
点评：
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之
和与两根之积与系数的关系，此题难度不大.
5.【解析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可.
2
解：
Tx=1是一元二次方程x+ax+b=0的一个根，
待定系数的方程即可求得代数式的值.
6.【解析】由于mn是两个不相等的实数，且满足vm-m=3n2-n=3,可知mn是x2-x
-3=0的两个不相等的实数根.则根据根与系数的关系可知：
m+n=2mn=-3，又n2=n+3,
利用它们可以化简2n2-mn+2m+2015=2（n+3）-mn+2m+2015=2n+&mn+2m+2015=2（m+®-mn+2021,然后就可以求出所求的代数式的值.
解：
由题意可知：
mn是两个不相等的实数，且满足nf-m=3n2-n=3,
所以mn是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：
m+n=1,mn=-3,
又n2=n+3,
则2n2-mn+2m+2015
=2（n+3）-mn+2m+2015
=2n+6-mn+2m+2015
=2（m+r）-mn+2021
=2X1-（-3）+2021
=2+3+2021
=2026.
故答案为：
2026.
点评：
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、两
根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值.
三、解答题
7.【解析】
（1）关于x的方程X2-2x+a-2=0有两个不相等的实数根，即判别式厶=b2-4ac
>0.即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围.
（2）设方程的另一根为X1,根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根.
解：
（1）vb2-4ac=（-2）2-4X1x（a-2）=12-4a>0,
解得：
av3.
•••a的取值范围是av3;
（2）设方程的另一根为X1，由根与系数的关系得：
则a的值是-1，该方程的［1+x广iQ（玄二―1另—根为-3.
-，解得：
*_,
点评：
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次
方程根的情况与判别式厶的关系：
（1）△>0?
方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?
方程有两个相等的实数根；
（3）△<0?
方程没有实数根.
8.【解析】：
先把原方程变形，得到一个一元二次方程的形式，利用已知条件，两根或是相
等，或是互为相反的数，从而找到关于m的方程，从而得到m的值，但前提条件是方程得有
实数根•
解：
原方程可变形为：
x2-2（m-1）x•m2=0.
TXi、X2是方程的两个根，
1
/•△>0,即：
4（m+1）2-4m2>0,/•8m+4>0,m>
2
又X1、X2满足|X1|=X2,.・.X1=X2或X1=-X2,即厶=0或X1+X2=0,
1
由厶=0,即8m+4=0，得m=_—
2
由X1+X2=0,即:
2（m+1）=0,得m=-1,（不合题意，舍去）
1
所以，当X1=X2时，m的值为一一.
2
点评：
本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值.首先在保证方程有实数的前提下，
再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值
9.【解析】
（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明厶>0即可；
2
（2）要是方程有整数解，那么X1?
X2=4-p为整数即可，于是求得当p=0,±1时，方程有
整数解.
解；
（1）原方程可化为X2-5X+4-p2=0,
■/△=（-5）2-4X（4-p2）=4p2+9>0,
•••不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）•••方程有整数解，
•••Xi?
X2=4-p2为整数即可，
•••当p=0，土1时，方程有整数解.
点评：
本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式△的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键.
10.【解析】
（1）首先求出m和n的值，进而判断出m和n均小于0,然后进行分式的化简，最后整体代入求值；
（2）根据m和n小于0化简’丄+亠为「I（），然后根据m+n=-3,
Vn'Iitimn
mn=1整体代值计算.
解：
（1）vm,n是方程x2+3x+1=0的两根，
•m2~~'
原式［”二厂-■-_:
5-m3-t
=：
_:
3_mE
2
=—6-2m—_
rr
=_2（用+3时1）
ID
■/m,n是方程x2+3x+仁0的两根，
•ni+3m+仁0,
•原式=0；
（2）•••m<0,n<0,
--n王咅:
咅二（匕二），
■/m+n=_3,mn=1,
•原式=9-2=7.
点评：
本题主要考查了根与系数的关系、分式的化简求值以及代数求值等知识，解答本题的
关键是能求出m和n的判断出m和n均小于0，此题难度一般.
11.【解析】由Xi,X2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根，可得Xi+X2=-—
a-6a2
xi?
X2=,△=（2a）-4a（a-6）=24a>0,又由-xi+xiX2=4+X2,即可求得a的值.
a-6
解：
存在.
■/xi,X2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根，
2aa2
x计X2=-,xi?
X2=一，△=（2a）-4a（a-6）=24a>0,
a-5a-6
•••a>0,
'/-Xi+XiX2=4+X2,
•XiX2=4+X2+Xi,
解得：
a=24.即—~—_4_',
a-6盯6’
点评：
此题考查了根与系数的关系以及根的判别式.此题难度适中，注意掌握若二次项系数
一2bc
不为i,xi,X2是一兀二次方程ax+bx+c_0（0）的两根时，xi+X2_=•,xiX2_.
aa
12.【解析】（i）根据判别式的意义得到厶_[-2（k-i）]2-4XiXk2>0,然后解不等式
即可；
（2）利用求根公式得到xi_k-i+.,X2_k-i--然后分别计算Xi+X2,xiX2
的值即可;
（3）利用
（2）中的结论得到（xi-i）?
（X2-i）_xi?
X2-（Xi+X2）+仁k2-2（k-i）+i,
然后利用配方法确定代数式的最小值.
（i）解：
依题意得△_[-2（k-i）]2-4XiXk2>0,
（2）证明:
_4-8k,
解得kw,；
2（k-1）士奸瓦
2
•xi_k-i+..,X2_k-i-屮..
•Xi+X2_k-i+..+k-i-.._2（k-i）;
xi?
X2_（k-i+.）（k-i-,.'丨一=）_（k-i）2—（.）2_k2；
（3）解：
（Xi—1）?
（X2-1）=Xi?
X2—（X1+X2）+仁k2—2（k-1）+1=（k-1）2+2,
2
•••（k-1）>0,
•••（k-1）2+2>2,
•••（X1-1）?
（X2-1）的最小值为2.
点评：
本题考查了根与系数的关系：
若X1,X2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a丰0）的两根时,
X1+X2=•—，X1X2=—.也考查了根的判别式.
aa
13.【解析】由于方程X2-2X+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|X1|+|X2|<3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围.
解：
根据题意可得
2
△=b-4ac=4-4X1X（m+2>0,
解得m<-1,
而X1+X2=2,X1X2=m+2
1当m<-2时，X1、X2异号，
设X1为正，X2为负时，X1X2=m+2^0,
|X1|+|X2|=X1-X2=「一，，=「「|I「w3,
13希c
•m>，而mW-2,
4
•-wm<-2;
4
2当-2vmW-1时，X1、X2同号，而X1+X2=2,
•.X1、X2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+X2=2<3,
符合题意，m的取值范围为-2【点评】此题主要考查了一故m的取值范围为：
——wmW-1元二次方程的判别式及根
4
与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结
合解题是一种经常使用的解题方法.同时也利用分类讨论的思想方法.
14.【解析】
（1）本题可先求出方程（m-1）x2-3（3m-1）x+18=0的两个根，然后根据
这两个根都是正整数求出m的值.
（2）由
（1）得出的m的值，然后将m+a2m-8a=0,mi+b2m-8b=0.进行化简，得出a,b的值•然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a,b的值，进而得出三角形的面积.
解：
（1）：
关于x的方程（m-1）X2-3（3m-1）x+18=0有两个正整数根（m是整数）.
■/a=ni-1,b=-9m+3c=18,
/•b2-4ac=（9m—3）2-72（m-1）=9（m-3）2>0,
设X1,X2是此方程的两个根，
c18
•••X1?
X2=—=~；,
a-1
182
•也是正整数，即m-1=1或2或3或6或9或18,
异-1
又m为正整数，
•m=2;
（2）把m=2代入两等式，化简得a2-4a+2=0,b2-4b+2=0
当b时，a、b是方程x2-4x+2=0当a=b时，-一；.的两根，而△>0,由韦达定理得a+b=4>0,ab=2>0,贝Ua>0、b>0.
1a丰b，:
二：
厂时，由于a2+b
升级会员 