根与系数的关系.docx

1、根与系数的关系2124 元二次方程根与系数的关系(第二课时)导学探究1. 一元二次方程的一般形式是 .2.一元二次方程的求根公式是 .3.判别式与一元二次方程根的情况：b2 -4ac是一元二次方程 ax2 bx c = 0(a = 0)的根的判别式，设 二二b2-4ac，贝U(1 )当0时， ；(2 )当=0 时， (3)当： 0，求k的取值范围.【例2】(2015?丹江口市一模)已知关于 x的方程x2- 2 (m+1) x+吊-3=0(1 )当m取何值时，方程有两个实数根？(2)设X1、X2是方程的两根，且(X1 - X2)2 - 乂论=26，求m的值.总结：1. 一元二次方程ax2+bx+

2、c=0 (0)根的情况与判别式的关系如下：(1 ) 0?方程有两个不相等的实数根；(2) =0?方程有两个相等的实数根；(3) Xi2+X22，且m为负整数，求出 m的值，并解出方程的根.3根据一元二次方程求含两根的代数式的值2 b目【例3】(2015?大庆)已知实数 a, b是方程x2- x -仁0的两根，求+的值.a b总结：在应用一元二次方程的根与系数的关系解题时， 先要把一元二次方程化为它的一般形式， 以便确定各项的系数和常数的值 .b c be注意x1 x2 , x1 x2 中两根之和、两根之积的符号，即和是- ，积是，不要记a a a 3混如果待求式中没有出现两根之和或两根之积的形

3、式，注意适当变形 常见变形如下：2 2 2(1) x-i x2 (x1 x2) -2x22 2(2) (X - x?) (x 1 x 2) 4 x -X 2(3)11/ X2x1 x2 x1x22 2 2x1 x2 (x0,根据题意得.：-k ： 0，这说明k取任意实数，方程3都有两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系得X1+X2=3k , X1X2=-6 ,代入2(为冷)以律2即可求得k的取值范围.1 8解：根据题意，得厶二k2 -4 (-2) = k2 0 ,3 3所以k为任意实数，方程都有两个不相等的实数根 X1+X2=3k, X1X2=-6，且 2(x1 x2) x1x2, 2 3k

4、 -6，解得 k-1.综上，k的取值范围是k-1.点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系 .注意：对于含参数的一元二次方程，已知两根关系求参数的范围时，除了用到韦达定理之外，还要考虑根的判别式练1.【解析】根据根与系数的关系得出 x计X2=2k+1, X1?X2=k2+2k，变形后代入即可得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可.解：关于x的一元二次方程 x2-( 2k+1) x+k2+2k=0有两个实数根X1, X2,2X1+X2=2k+1 , X1?X2=k +2k,T X1?X2 - X12- X22 0 成立，X1?X2 -( X12+X22) 0, 即卩 X1?X2 - ( X1

5、+X2)2- 2X1?X2 0,k2+2k - (2k+1) 2 - 2 ( 2k+1) 0,点评：本题考查了根与系数的关系的.kw 2或k 1.应用，解此题的关键是能得出关于 k的不等式.【例2】【解析】(1)根据一元二次方程根的判别式的意义得到 4 (m+1) 2- 4 ( m - 3) 0,然后解不等式即可；(2)根据根与系数的关系得 Xi+X2=2 ( m+1 , XiX2=m-3,代入(Xi - X2)- X1X2=26,计算即可求解.解：(1)根据题意，得 =4 ( m+1) 2 - 4 ( m - 3) 0,解得m- 2;2(2)当 m- 2 时，Xi+X2=2 (m+1 , x

6、iX2=m 3.则(Xi - X2)2 - XiX2= ( X1+X2) 2 - 5XiX2=2 ( m+1 2 - 5 ( ni - 3) =26,2即 m - 8m+7=Q解得 m=i- 2, m=7- 2,所以 m=i, m=7.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式.练2.【解析】(i)根据判别式的意义得到厶 =(-2) 2-4X 2X( m- i ) 0，然后解不等式；(2)先根据根与系数的关系得 Xi+X2=i, Xi?X2=，把7+4XiX2 Xi2+X22变形得7+6Xi?X2 (Xi+X2) 2,所以7+6 X i,解得m- 3，于是得到 m的

7、取值范围-3v mW-，由于 m为负整数，所以 m=- 2或m=- i，然后把m的值分别代入原方程，再解方程.解：(i)根据题意得 = (- 2) 2- 4X 2X( m- i) 0,解得mW nr+1(2)根据题意得 x计X2=i, Xi?X2= ,/ 7+4xiX2 Xi2+X22,7+6Xi?X2( Xi+X2)7+6 X i,解得 m- 3,.- 3v mW-T m为负整数，/ m=- 2 或 m=- 1,当m=- 1时，方程变形为 x2- x=0,解得xi=1, X2=0.关系：当厶0时，方程有两个不相等的两个实数根；当厶 =0时，方程有两个相等的两个实数根；当 0，由此可求出k的取

8、值范围；(2)欲求一的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.解：() =4+4k,方程有两个不等实根， 0,即 4+4k0(2)由根与系数关系可知 a +3 =- 2,a 3 =- k,.a (1+a) _ a + p+2a p =-2-2k_n _1点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.夯实基础答案：一、选择题1.B2.B3.【解析】由已知得 Xi+X2= 3, Xi x X2= 3，则代数式变形、求值的方法.二、填空题4.【解析】首先根据根与系数的关系求出 Xi +X2=5, XiX2= - 1,然后把Xi(Xi+X2) - 2X

9、iX2，最后整体代值计算.解：T Xi、X2是一元二次方程 X2- 5x -仁0的两实数根, Xi+X2 = 5, XiX2=- i,2 2 2 Xi +X2 = (Xi+X2) - 2xiX2=25+2=27 , 故答案为：27.点评：本题主要考查了根与系数的关系的知识， 解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系，此题难度不大.5.【解析】将x=1代入到x2+ax+b=0中求得a+b的值，然后求代数式的值即可.2解：T x=1是一元二次方程 x +ax+b=0的一个根，待定系数的方程即可求得代数式的值.6.【解析】由于 m n是两个不相等的实数，且满足 vm- m=3

10、n2- n=3,可知m n是x2- x-3=0的两个不相等的实数根.则根据根与系数的关系可知： m+n=2 mn=- 3，又n2=n+3,利用它们可以化简 2n2- mn+2m+2015=2( n+3) - mn+2m+2015=2n+& mn+2m+2015=2(m+ - mn+2021,然后就可以求出所求的代数式的值.解：由题意可知： m n是两个不相等的实数，且满足 nf- m=3 n2- n=3 ,所以m n是x2 - x - 3=0的两个不相等的实数根，则根据根与系数的关系可知： m+n=1, mn=- 3 ,又 n2=n+3 ,则 2n2- mn+2m+2015=2 (n+3)-

11、mn+2m+2015=2n+6 - mn+2m+2015=2 ( m+r) - mn+2021=2X 1 -( - 3) +2021=2+3+2021=2026.故答案为：2026.点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系， 解题关键是把所求代数式化成两根之和、 两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值.三、解答题7. 【解析】(1)关于x的方程X2- 2x+a - 2=0有两个不相等的实数根， 即判别式厶=b2 - 4ac 0 .即可得到关于a的不等式，从而求得 a的范围.(2)设方程的另一根为 X1,根据根与系数的关系列出方程组， 求出a的值和方程的另一根.解：(1)v b2- 4ac

12、= (- 2) 2-4 X 1 x( a - 2) =12- 4a 0,解得：av 3. a的取值范围是 av 3;(2)设方程的另一根为 X1，由根与系数的关系得：则a的值是-1，该方程的1+x广iQ (玄二1 另根为-3.- ，解得：* _ ,点评：本题考查了一元二次 方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式厶 的关系：(1 ) 0?方程有两个不相等的实数根；(2) =0?方程有两个相等的实数根；(3) 0,即：4( m +1) 2-4m2 0, / 8m+4 0, m 2又 X1、X2 满足 |X1|=X2,.X1 =X2 或 X1 =- X2 , 即厶=0 或 X1 +X2=0,1

13、由厶=0,即 8m+4=0，得 m=_ 2由X1 + X2=0,即:2(m+1)=0,得m=-1,(不合题意，舍去)1所以，当X1 =X2时，m的值为一一.2点评：本题是考查一元二次方程有根的情况求字母的值 .首先在保证方程有实数的前提下，再利用两根之间的关系找到含有字母的方程，从而得到字母的值9. 【解析】(1)要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明厶 0即可；2(2)要是方程有整数解，那么 X1?X2=4 - p为整数即可，于是求得当 p=0, 1时，方程有整数解.解；(1)原方程可化为 X2 - 5X+4 - p2=0,/ = (- 5) 2- 4X( 4 - p2) =4p2+

14、9 0,不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2 )方程有整数解， Xi?X2=4 - p2为整数即可，当p=0，土 1时，方程有整数解.点评：本题考查了一元二次方程的根的情况， 判别式的符号，把求未知系数的范围的问题 转化为解不等式的问题是解题的关键.10.【解析】（1 ）首先求出m和n的值，进而判断出 m和n均小于0,然后进行分式的化 简，最后整体代入求值；（2）根据 m和n小于0化简丄+ 亠为I （ ），然后根据 m+n=- 3,V n I iti mnmn=1整体代值计算.解：（1）v m, n是方程x2+3x+1=0的两根，m n v 0, . m= ，n= 2 原式 ”

15、二厂- - _ :5-m 3-t=： _ :3 _ m E2=6 - 2m _rr=_ 2 （用+3时1）ID/ m, n是方程x2+3x+仁0的两根，ni+3m+仁0,原式=0 ；(2) m0, n0,又由-xi+xiX2=4+X2,即可求得 a 的值.a- 6解：存在./xi, X2是一元二次方程(a- 6) x2+2ax+a=0的两个实数根，2a a 2x 计 X2=- , xi?X2= 一， = (2a) - 4a (a - 6) =24a 0,a-5 a-6 a 0,/- Xi+XiX2=4+X2, XiX2=4+X2+Xi,解得：a=24. 即 _4 _ ,a- 6 盯 6点评：此

16、题考查了根与系数的关系以及根的判别式. 此题难度适中，注意掌握若二次项系数一 2 b c不为 i, xi, X2 是一兀二次方程 ax +bx+c_0 ( 0)的两根时，xi+X2_ = , xiX2_ .a a12. 【解析】(i)根据判别式的意义得到厶 _ - 2 (k - i) 2-4X i X k2 0,然后解不等式即可；(2)利用求根公式得到 xi_k - i+ . , X2_k - i- - 然后分别计算 Xi+X2, xiX2的值即可;(3)利用(2)中的结论得到(xi - i) ? ( X2- i) _xi?X2 -( Xi+X2)+仁k2- 2 (k- i) +i ,然后利用

17、配方法确定代数式的最小值.(i)解：依题意得 _ - 2 (k - i) 2 - 4X i X k2 0,(2)证明:_4- 8k,解得kw ,；2 (k-1) 士奸瓦2 xi_k - i+ . . , X2_k - i-屮 . Xi+X2_k - i+ . . +k - i - . . _2 (k - i);xi?X2_ (k - i+ . ) ( k- i -,.丨一=)_ (k - i) 2( . ) 2_k2 ；(3)解：(Xi 1) ? ( X2- 1) =Xi?X2( X1+X2) +仁k2 2 ( k - 1) +1= (k - 1) 2+2,2( k- 1) 0,( k- 1)

18、 2+2 2,( X1- 1) ? ( X2- 1)的最小值为 2.点评：本题考查了根与系数的关系： 若X1, X2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的两根时,X1+X2= ， X1X2=.也考查了根的判别式.a a13.【解析】由于方程X2-2X+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到 m的一个取值范围， 然后利用根与系数的关系讨论 |X1|+|X 2| 0,解得m- 1,而 X1+X2=2, X1X2=m+21当m ，而 mW - 2,4- w m- 2;42当-2v mW - 1 时，X1、X2 同号，而 X1+X2=2,. X1、X2都为正，那么 |x 1|+|x 2|=x 1+X2=2 3,符合题意，m的取值范围为-2 0,设X1 , X2是此方程的两个根，c 18 X1?X2=； ,a -118 2也是正整数，即 m- 1=1或2或3或6或9或18,异-1又m为正整数，m=2;(2)把m=2代入两等式，化简得 a2 - 4a+2=0, b2 - 4b+2=0当b时，a、b是方程x2- 4x+2=0当a=b时，-一；.的两根，而 0,由韦达定理得 a+b=40, ab=2 0,贝U a0、b0.1a 丰 b，:二：厂时，由于 a2+b