随机振动人门.docx

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随机振动人门

随机振动入门

庄表中

科学出版社

1981

内容简介

随机振动是一门新兴学科，并受到工程界的极大重视.本书用通俗的语言和浅显易懂的实例，深入浅出地介绍了随机振动的基本知识和研究方法，并概括地讲述了随机振动的研究动}a和应用情况.该书是人门性的通俗科技读物。

本书可供汽车、农机、机械。

坦克、自动化、仪表、地质、建筑机械，桥梁、船舶、航天等专业的科技人员和有关院校师生参考阅读。

前言3

1振动的分类4

1.1随机是什么意思?

5

1.2什么叫随机振动呢?

6

2产生随机振动的原因10

4随机过程的描述和采样14

5怎样描述随机振动的幅值18

5.1幅值概率密度函数19

5.2幅值的其它表示法22

6相关与相关函数30

6.1波形相似性的定性直观比较法30

6.2波形相似性的定量比较法31

6.3什么叫相关和相关函数呢?

32

6.4相关函数特性39

7随机振动的功率谱分析法46

8单输入、单输出线性系统的随机振动问题52

9多输入、多输出线性系统的随机振动问题54

10随机振动的危害与研究近况55

前言

振动是常见的物理现象，但在实际振动中有很多是不规则的振动，要用概率和统计的方法才能描述其规律，这种带有不确定性数据的振动称为随机振动。

例如车辆因路面的高低不平、飞行器因大气湍流、地面上的结构物因地震、切削刀具和刀架因工件软硬不均等等都会产生随机振动。

严格说来，所有振动都是随机的，只有在略去非确定性的参数之后才把它看作是有规则的振动，这时它可以用简单函数或这些函数的组合来描述。

对这类振动的研究已有二百多年的历史，并建立了一套完整的振动理论和测试分析方法。

然而，对随机振动的研究却只有一三十多年的历史，且在近期才取得了丰硕成果，并将其用于许多重要的工程设计和诊断分析中。

例如，利用随机振动理论指导设计，可使因火箭发动机所造成的强烈振动的环境下座舱内工作人员和仪表正常工作;可使高速行驶的车辆中的乘客，仍然安全舒适;可使遭受咫风和地震的建筑物减少损坏等等。

还有不少随机振动问题有待于深入研究和解决，因而这门学科具有宽广的前途和丰富的内容。

为了普及随机振动的基本知识，推广其在各个领域中的应用，本书力求通俗易懂地介绍随机振动的基本概念和方法.但由于仓卒成书、限于水平，内容叙述中必有不少缺点和疏忽之处，恳请读者指正.

本书由申仲翰同志审阅，对此表示感谢.

1振动的分类

振动现象可区分为两大类：

一类为规则振动，也就是可以用时间的确定函数来描述它的振动.例如，一个用弹簧悬挂在固定顶板上的刚体（见图1）.设m为刚体的质量（假定刚体是非弹性的），k为弹簧刚度系数（假设此弹簧质量可以忽略不计）.当外力给此弹簧—质量系统一个初位移或初速度时，整个系统则由于存在着惯性和恢复力而产生自由振动（假设没有阻尼），它可以用正弦函数或余弦函数来表示:

1.1

式中

是圆频率，A振幅，是初相位.只要知道这三个要素，

对应于任一瞬时t的x值都是确定的。

由上式导出的速度、加速度、应变、应力等参数也是确定的.

对于比这个例子稍复杂一些的周期动，可以由一系列简谐振动的线性组合来表示.更复杂的振动（两个或几个任意频率正弦波的合成）称为非周期的.上述这些都属于规则振动，人类最早探讨的振动也就是这一类振动（如自由振动，受迫振动，自激振动与参变振动等），从十八世纪末确立微振动理论算起，到现在已有近二百年的历史了.另一类振动称为随机振动.这正是本书所要介绍的.

1.1随机是什么意思?

中国有句成语“随机应变，前两个字的意思是随着时机或情况的变化,后两个字的意思是灵活应付，所以随机就指时机和情况是多变的或者事先不能肯定的。

也就是说，它可能是这样，也可能是那样等等.例如育人走路，他对旅途的情况是未知的，所以要用手杖借助于触觉和听觉来探索前进道路上的各种情，用科学的语言便是用随机方法进行系统识别.如果用手杖探索到前面的道路的信息是台阶或高坡，盲人前进时就会往上提脚;如果探索到的道路信息是低坑，盲人

就要进一步探明坑的深度、宽度以及是否有水等，以便决定慢步低行，还是绕道而走，等等.每个应变措施都是为了避免与障碍物碰撞和跌跤.这个例子说明，对盲人来说，前进道路是随机的，只有利用手杖对不可捉摸的道路（它的各种凹凸不平的情况）不断进行测试，才能及时准确地获得输入信，然后由大脑发出行动指令，比如调节行走的速度，改变跨步的姿态，调整行走的轨迹等等，以保证输出响应是安全的和最优的.也就是说，使盲人平安而又最快地完成旅行任务.

1.2什么叫随机振动呢?

不言而喻，对于一个振动系统，它的输人又称振源或激励系统所产生的振动也称为对这个输入的响应（或叫输出），当响应是随机的，这种振动称为随机振动。

随机振动在实际中是经常碰到的。

例如:

当一个飞行员驾驶一架飞机，飞行在某一条航线上时，可测得并绘出使飞机发生振动的各物理参数与时间之间的关系图，如图2（a）、（b）、（c）所示.但该飞行员驾驶同一架飞机，在同样的气候、温度下在同一条航线上做第二次飞行，并进行同样的测绘所得到的图线定与图2有所不同.又如，同一地基上的地震仪，即使遭受相同震级的地震，屡次测得的振动图线也是不相同的.就是说，在相同条件下，不可能有完全相同的振动.再如兵舰或船舶承受着复杂的载荷（如主机干扰力、螺旋桨脉动压力、波浪及爆炸冲击波等等），如果对各振动物理量进行测定（无论是对整体还是对局部零件），它们都是不规则的，且每次测定结果皆不是前一次结果的重复.上述这些问题中各振动物理量都是随机的。

所以是随机振动。

随机振动与规则振动的本质区别就在于，随机振动一般指的不是单个的振动现象，而是着眼于大量的振动现象.在这大量的振动现象的集合中，就单个现象来看似乎是杂乱的、无规则的，但从总体来看，它们之间却存在着一定的统计规律性.因此，它的规律虽然不能用时间的确定函数来描述，但却能几概率论和统计动力学的方法来描述。

但必需注意，切不可把复杂波形误认为一定是随机振动;反过来，受概率支配而产生的振动波形，即使是简单波形，它也是随机振动.例如图3的钢结构桥，它上面驶过一辆汽车.这时，有一个以频率

为1的干扰力作用在桥上.如果在桥的某一点上用电阻应变片及应变仪测量应力的波形可表示为图3（a）。

若换一辆压路机行驶在同一个桥上，则桥受到一个以频率为2的干扰力作用.这时，从钢桥的同样的测点上所获得的应力波形可表示为图3（b）.当然，钢桥还可以受到其它各种不同频率的干扰力.因此，从测点上得到的应力变化的图线将是一个组合波形.由此可见，桥梁振动的振动波动并不复杂，但它的物理参数是时间的随机函数.所以，桥梁振动也属于随机振动.

有时，也可把一个正弦波看成是随机过程（下一节叙述的母集合体{xf（t）}的样本函数，其中每个样本函数心xf（t）的初相角f是一个随机变量，或时间tf是随机变量。

对于波形不变的振动，无论波形怎样复杂，只要每次所得到的特性都是一样的，它就不能称为随机振动.因为随机是概率的意思，而不是复杂的意思，所以，不能以波形的复杂还是简单来区别它是随机振动还是非随机振动.

总之，随机振动不同于一般的自由振动和受迫振动，其特点可以归纳如下:

（l）随机振动没有固定的周期，即不能用简单函数的线性组合来表述其运动规律.

（2）对于确定的时间t，振动的三要素（振幅、频率、相位角）不可能事先知道，且它们本身也是随机的.

（3）在相同条件下，进行一系列的测试，各次记录结果不可能一样.

随着电子计算机的应用及数学计算技术的发展，为随机振动的数据处理提供了方便，因而有关随机数据的分析方法得到越来越广泛的应用（如已在海洋学、气象学、地震学、无线电通讯、生物医学、核变过程等领域中得到应用）.掌握随机振动的理论和分析方法就可以对这类问题进行深人地探讨和灵活对待，以保证设计既安全可靠又最经济合理。

2产生随机振动的原因

产生振动的原因有内因和外因:

内因是系统本身的结构（包括质量、弹性、阻尼等），在受到外界的激励后会发生振动;外因是系统以外的物体对系统有激励作用（如初位移、初速度、冲击、周期性干扰力或随机干扰力等）.该系统可以是规则的，也可以是随机的，如果结构（如图4表示随机阻尼力的情形）和干扰（如图5表示随机干扰力的情形）中只要有一个是随机的，该系统的振动必定是随机振动.如果二者都是随机的，则它将是更复杂的随机振动。

常见的随机干扰，其产生原因有下列四种：

（1）固体的接触表面凸凹不平:

例如路面（公路、水泥路、柏油路、田地、海底、河床…）高低不平，其标高就是随机变化的.车辆在这种路面上行驶时，就会受到随机激励而产生随机振动.由于齿轮加工时不可能完全精确，所以齿轮表面不可避免会有凹凸不平的疵点，而且各齿数的轮廓面形状以及齿厚、间隙等等都不可能是理想的，因此齿轮在互相接触时的作用力是随机的，所产生的振动也必然是随机的。

又如滚动轴承在制造过程中也不可能达到理想要求（滚珠或滚子不可能保证绝对圆，大小不可能绝对一样，槽边的形状和大小也不可能绝对均匀一致等等），这些随机因素会使滚动轴承在工作时产生随机振动.金属工件的切削加工也是如此，由于工件表面高低不平或材料软硬不均，都会使刀具或刀架产生随机振动，总之，机械方面的随机振动大多是由上述这样的随机千扰因素所引起的，

（2）流体对固体表面的作用:

不少结构物是处于某种流体之内的，如舰船、飞行器、堤坝、码头、超高建筑物等，也有不少结构物（或机器）里面有流体，如鼓风机、压缩机、燃气轮机，机器的某些润滑装置，以及管道、喷管等等.当流体与所接触的固体表面间有相对运动，而且其相对速度的平均值与流休粘度之比较大时，则固体表面附近的流体将处于湍流〔亦称紊乱）状态，这时，流体中各处的局部速度和压强都作紊乱的随机变化，因而使固休表面受到随机干扰，此外，当结构物受到水浪或阵风的冲击、推压时，也会形成低频的随机干扰。

此外，流动的流体会对固体接触面产生有规律的周期干扰（如卡门旋涡的作用等），但这己不属随机振动的间题了.

（3）由燃烧放热不均匀引起压力变化:

在发动机燃烧室内，由于燃料与氧混合得不均匀使各处燃烧放热的快慢迟早不同，从而引起局部压力在空间和时间上作随机变化，产生噪声和机件的随机振动.喷气发动机在火箭发射时产生的噪声和随机振动，主要就是由这种原因引起的.在化工、石油、冶金企业中所使用的贮液容器多为金属壳休结构。

容器内装有液体，或汽液混合物，或固休金属粉末，由于热交换或搅拌使贮液容器的压力在空间和时间上作随机变化，因而也会产生

随机振动。

（3）由撞击及地层的突骤运动:

不规则的撞击会使机件产生随机振动.地层的突骤运动是产生地震的主要原因，而且地震是一种复杂的随机振动‘波浪和阵风对结构物也是一种来源于大自然的随机干扰，它们使结构物产生相应的随机振动.

上面是讨论系统以外物体对系统的四类激励，下面所讨论的系统本身的特性参数随机地变动也能使系统发生振动，这种振动也属于随机振动，例如，在弦的振动问题中，如果张力随机地变动，则系统的恢复系数就可以看作是一个随机变量。

又如结构物的材料不匀，某种材料的机械性能是随着振动参数而变化的（如有机玻璃的弹性模量是随着振动频率而显著变化的，构件接触面的凹凸不平和联结面间的松

动间隙（如汽轮机叶片根部固接情况）所引起的阻尼是随机的、系统质量的变化也是随机的盖筹.这些都会使系统的特性发生随机变化，而且在外来干扰不是随机作用的情况下，也会使系统发生随机振动。

例如地震在震源处向四面八方传播弹性波，由于地层、土壤的性质各处不同，传播介质的惯性和刚度参数将是随机变化的，其各处的局部数值使观察研究者无从预知，因而在地面上感受的地震成为复杂的随机振动，一般机器的振动除明显的确定性振动之外，常常还伴有微弱的

随机振动，这都是由于机件材料不匀，接触表面有随机分布的

凸凹不平以及各处的松动间隙不一致等因素所引起的。

4随机过程的描述和采样

我们在同一条公路上，对行驶的汽车进行若干次实验，若全部实验条件保持不变，则每次试验所获得振动量（如位移、速度、加速度、应力、载荷、舒适度…）绝不可能一模一样.也就是说，任何一次观察只代表许多可能产生的结果之一，这样的过程为随机过程，对于这类间题，单次实验记录就不如所有可能发生的一组记录的统计值来得有意义。

如果用表

示某侧点，在同一试验

条件下，在可能的时间间隔内物理量随时间变化的函数的各次记录。

我们称这一组记录为母集合体，记以

其中

分别为某一时间内所获得的函数，称为采样函数。

图8画出了每个采样函数的振动图线。

对每个采样函数的时间间隔都是相同的，它可以是有限的，如导弹飞行的某20秒钟，也可以是无限的，如海洋波浪压力对舰船的作用

.当然，无止境地采徉下去，就会有无穷多个采样函数，但这是不必要的和不可能办到的.故我们只是取有限个比较典型的采样函数，如图8。

这些采徉函数表示实验者认为在同样条件下完成实验时可能有的结果.这里所谓同样条件是相对的，因为实际上有一些量是试验者无法控制的和不断变化的.所以，实际采样结果必然是各式各样的，因此描述随机过程就必须用概率和统计的方法。

例如，我们对装导弹部件的汽车按实际部件进行类似的模拟装货行驶，由于公路路面对汽车不断的激励，可测得加速度对时间的变化过程.将每次测试结果作为采样函数像图8那样排列起来.只要有足够多的采样，就能对它们所构成的整个集合作出可信的统计分析.

上面这个例子说明了每种实验都要在相同情况下进行多次.而“相同情况”只不过是理想的概念，要在实际上保证前后两次情况完全相同是不可能的.

上面的试验，我们可以让同一个司机驾驶同一辆卡车，并在十分经心的控制下（如细心调节速度）取得全部采样函数;也可以让许多

位司机鸳驶不同的卡车并对司机不做任何限制的情况下获取全部采样函数.显然，前一种情况下得到的采样函数要比后一种情况“更为相似”些。

在上述这两种情况下所产生的集合都是实际上可以获得的，且方法上也都是允许的.通常我们感兴趣的是希望采样函数必须是真正实践中获得的或模拟实验中得到的.重要的是，同一集合中各采样之间的统计变化，也应该是真正实践中可能出现的“采样函数”之间的典型变化.例如:

上例中，当导弹部件大量生产后，需要司机A和B把部件从制造厂运送到总装厂，假定司机A和B运送的件数之比为a/b，那么在构成集合时也应采用同样的比例.

如果研究的随机过程是航行于两城市之间某飞机主骨架上临界点的应力随时间的变化规律。

若两城市间的一次航行只得到一个采样函数，那么在天气好的日子里和天气坏的日子里所得到的采样函数的数目之比应与实际出现好和坏天气的天数之比应一样.

总之，对于随机振动过程要获取振动量变化的母集合体，虽然采样只能是有限的，但要求是典型的，否则分析结果对实际就没有意义了.

随机过程又可以分为平稳与非平稳两种，如果振动过程的统计特性不随自变量的变化而改变.例如，被测的时间变化以后，我们发现，在时间t1到t2这一段随机振动的统计信息与t1+到t2+这一段的统计信息差别不大（图9）.即可以把随机振动的一些值在时间上往后推移，它们的统计信息并不改变.换句话说，就是适用于某一时间间隔

的统计特性在10分钟之后或一星期之后的同一段时闻间隔内仍然适用，这种随机振动称为平稳随机振动.

对平稳随机振动，如果通过振动时间历程的每个记录所求得的统

计特性，与单个样本所求得的统计特性相等的话，则可以用单个样本

函数来描述随机过程的所有特性。

因此平稳随机过程又可称为各态历

经的〔或称遍历的）.因为事实上不可能得到大量的外场记录，所以最简单的简化模型是，假设随机过程是各态历经的（或平稳的），除非有足够的证据来否定这个假定。

一般地说，对于一个要研究的随机过程，如果前后环境与条件保持不变，则可以认为它是平稳的。

但是判断一个过程是否平稳是不容易的，必须对统计数据进行分析.平稳检验的数学条件是:

（l）随机变量的平均值与自变量t无关，并为一常数;

（2）随机过程的相关函数（看第六节）仅是一个自变量的函数。

要完整地描述平稳随机振动，从理论上讲需要有无限长时间的记录，实际上这是不可能的.我们应用统计方法正是为了克服这个困难，即用统计参数（平均值、均方差、相关函数等等）来确定平稳随机振动的物理特征，即下面将叙述的，用概率密度函数等来表示幅值的概率分布;用相关函数来表示时差特性等;用功率谱密度函数表示振动的频率成分等.所以，对一个随机振动的过程，需要从以下三个方面进行数学描述:

（l）幅值域描述:

包括概率密度、概率分布、平均值、均方值、均方差值等等;

（2）时差域描述:

包括自相关函数、互相关函数等等;

（3）频率域描述:

包括自功率谱密度函数、互谱密度函数、谱相关函数等等.

关于随机振动的分类，大致可分成以下几种

5怎样描述随机振动的幅值

幅值是指振动量（位移、速度、加速度、应力等）偏离其基准位置的量值.

对于周期振动和瞬态冲击振动的物体来说，它们的振动数据是正弦数据（或可展开成正弦函数之和的周期数据）.幅值的变化是有规则的，即对给定的每个时刻，其幅值是确定的，用振幅值〔或称峰值）来描述振动的特性之一是很合适的，因为无论是理论计算还是实验测试，其结果都十分一致.对于随机振动，由于运动规律是无法事先确定的，且烽值只能描述某一瞬时的振动量的大小，体现不出幅值对时间的变化规律，所以必须寻求概率统计的方法来描述，常用的方法有下面几种.

5.1幅值概率密度函数

一般地说，对于一个随机振动问题，如果条件保持不变，可以粗略地认为幅值的时间历程是平稳的，振动图线如图10所示，对任一个确定的幅值x，出现在x（t）

而出现在x（t）

又幅值出现在比x大而比x+△x小的概率：

7

那么，称幅值概率的改变量与幅值改变量之比为

并叫做平均概率密度函数，当x充分小时，上式趋近于极限，记为

它表示对于确定值x的概率密度，对随机振动的每一个幅值均有表达此幅值出现机会多少的概率密度，也就是说概率密度随着幅值的不同而不同.

对应于每一个幅值的微小改变量x,利用上述方法可求得一个p（x），若以x和p（x）作矩形（图11。

连结各矩形顶线中点就是概率密度曲线p（x），只要试验时间T记录得充分的长，幅值的间隔x取得足够小，那么，得到的概率密度曲线是非常精确的.

概率密度曲线p（x）以下竖线x1与x2之间的面积，就是x1与x2之间幅值出现的概率P（x）,其值为:

利用概率密度曲线表示实验数据的概率具有明显的优点，因为它直接比较了许多实验数据之间的概率的大小，而与试验中所用振幅区间的宽度x无关.另外从概率密度曲线上可以看出两个性质:

第一式表示概率密度的数值恒为正值;第二式表示各种可能出现的幅值的概率之和等于1。

为了帮助理解概率密度函数的意义和从图形上识别系统振动的类别，现将实际中可能存在的四种样本的时间历程记录于图12中，为方便起见，对所有记录，均假定平均值为零。

随机振动之所以必需用幅值概率密度函数来描述，是因为在振动的时间历程中不同幅值出现的机会有的多，有的少，所以，只有画出概率密度曲线才能显示出幅值的概率分布，幅值本身也才能被完整地描述出来。

实际中，对有些问题的研究，如研究系统零部件之强度和疲劳间题时，人们最感兴趣的是以幅值出现较大和较多的数据作为倾向性的设计的依据。

例如有几台设备安装在一结构上，其相互间只能有较小的间隔，假设结构发生随机振动，若不允许这些设备因振动而发生互相接触的振幅.需要作出在任何瞬时引起足够大的振幅导致设备接触的概率的估计值.为此，需进行结构试验，取得振幅概率密度函数的试验佑计值，若c为不得超过的幅值，则我们希望概率

的值很小，即任何瞬时设备接触的概率都是很小时，就可以不必在设备之间采取任何措施。

如果此概率大到超出所能允许的程度，则就要采取防碰措施了.

5.2幅值的其它表示法

随机振动幅值特性的另一些表示法，如采用峰值，集合平均（又称期望），平均绝对值，均方值和均方根值（又称有效值）等来描述.

（1}峰值x峰它表示振动量的幅值离开基准位置的最大偏离，在自由振动中就表现为振幅;

（2）集合平均值:

振动量的幅值x（t），我们可以期望它在大量实验中所得到数值的平均值，在粗略的计算中，它起到了“代表”整个随机变量的作用，但是平均值有两种:

一种叫算术平均值，表示式为

另一种用随机变量的每一值与这一值的概率相乘，所有这些乘积的和称为随机变量的集合平均值，在统计数学中记作E（x）或m，即

当试验次数足够多时，随机变量的算术平均值

，将在随机变量的集合平均值E[x]附近波动.在粗略的计算中又可以认为上述两种平均值是相等的;

（3）平均绝对值

和

（4）偏差值:

随机变最x（ti）与随机变量的集合平均值E（x）之差（x（ti）-E（X））表示什么意义呢?

它表示随机变量x（ti）在集合平均值E（x）附近分数或偏离的程度，如图1表示飞机飞行速度的时间历程图，可以明显地看出希望飞行速度的平均值等于理想飞行速度（即E（x）=v），实际飞行速度的时间历程在每个指定的时刻，它的值偏离平均值的

程度为[x（ti）-E（X）]，记为:

（5）均方差值:

有时为了更加突出偏离量大的随机变量x（ti）还用另一种量，即随机变量x（ti）与随机变量的集合平均值E（X）之差的平方来表示，称作均方差值（在统计数学中记作2）,记作

或

（6）均方值:

我们知道，简谐振动的功率或能量是与振幅的平方成比例的,例如质点振动的动能的最大值为mA22（m是质量，A是振幅，是圆频率）;弹簧势能的最大值为KA2/2{K是弹簧刚度系数），阻尼在每个周期内消耗的能量为rA2xc（r是阻尼系数），所以可以用幅值的平方度量，与随机振动的能量（或功率）有关的值，称作均方值，常

用记号E（X2）

或

均方值在实际应用上还可以作为判别强度的一个量值，

（7）均方根值:

把均方值的平方根作为另一个描述量称为均方根值（又称有效值），记作：

这个值既能表达与随机振动能量直接有关的量值，又能表达出现次数最多的振动峰值。

当集合平均值E（x）=0时，均方值E（x0）在数值上等于2，在E（x）=0时，均方根值在数值上等于，称为标准差，均方差2与标准离差及概率密度函数p（x）之间的关系为

在平稳随机振动中只要知道振动的时间历程图，由图中一系列的x（ti）值可以求得上述各个统计值.

例1图14为单自由度线性无阻尼系统的基座上受到一个复杂的冲击载荷（时间很短，力很大），求系统的响应.

[解]从测量得到的质量之位移随时间变化的某次规律表示在图14C上，量取各个相等的时间间隔上的振幅分别为6、4、1（单位为厘米），现计算幅值的算术平均值、均方值和均方根值.

（l）算术平均值

（2）算术的均方值

（3）算术的均方根值

此例由于没有采用概率绕计的方法，所以都是算术绕计值，而

不是集合统计值。

例2图巧为简谐振动的时间厉程图，试用上面的统计值表示它们之间的关系。

[解]将图15上周期T内曲线下面面积的绝对值，除以周期，得

用一般形式表示

或

Fj和Fc这两个因数分别称为“波形因数”和“波峰因素”，它们表示所给出振动波形的形状参数

就简谐振动而言

和

现在再讨论平均值E[x]，均方值E[x2]和均方差2之间的关系.它们可以由下面的推导得到，即利用随机变量式x（t）是在E[x]附近的偏离值，在每一时刻其偏离程度常常用均方差2来表示，即

如果x（ti）是离散随机变量，可能取值为0、1、2….N,因此，[x（ti）-E[x]]2可能取值为[x（t0）-E[x]]