山西省长治二中晋城一中康杰中学临汾一中忻州一中五校高三第四次联考试题理解析版.docx

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山西省长治二中晋城一中康杰中学临汾一中忻州一中五校高三第四次联考试题理解析版

山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校2017届高三第四次联考试题（理）

一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）

1．已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（　　）

A．a2＋b2＞2abB．a＋b≥2

C.＋＞D.＋≥2

3．设0＜a＜1，m＝loga（a2＋1），n＝loga（a＋1），p＝loga（2a），则m，n，p的大小关系是（　　）

A．n＞m＞pB．m＞p＞n

C．m＞n＞pD．p＞m＞n

4．已知等差数列{an}与等比数列{bn}，满足a3＝b3,2b3－b2b4＝0，则{an}前5项的和S5为（　　）

A．5B．20

C．10D．40

5．己知数列{an}的通项公式为an＝log2（n∈N*），设{an}的前n项和为Sn，则使Sn＜－4成立的自然数n（　　）

A．有最大值15

B．有最小值15

C．有最大值31

D．有最小值31

6．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3，S3n＝39，则S4n等于（　　）

A．80B．90

C．120D．130

7．若变量x，y满足约束条件且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是（　　）

A．48B．30

C．24D．16

8．在△ABC中，已知a2－b2－c2＝bc，则B＋C等于（　　）

A.B.

C.D.或

9．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是（　　）

A．4031B．4033

C．4034D．4032

10．已知a，b，m，n，x，y都是正实数，且a＜b，又知a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，则有（　　）

A．m＞n，x＞yB．m＞n，x＜y

C．m＜n，x＞yD．m＜n，x＜y

11．已知二次函数f（x）＝cx2－4x＋a＋1的值域是[1，＋∞），则＋的最小值是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

12．若a＞1，设函数f（x）＝ax＋x－4的零点为m，函数g（x）＝logax＋x－4的零点为n，则＋的最小值为（　　）

A．1B．2

C．4D．8

二、填空题（包括4小题，每小题4分，共16分）

13．不等式－x2＋|x|＋2＜0的解集是______________．

14．已知由正数组成等差数列{an}的前20项和为100，那么a7·a14的最大值为________．

15．若等差数列{an}各项均为正数，且a3a5＋a3a8＋a5a10＋a8a10＝64，则S12＝________.

16．已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1（n∈N*）．若不等式≤对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为________．

三、解答题（包括6个题，17、18题各10分，19、20、21题12分，22题为附加题20分，共76分，请写必要的解答过程）

17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a＝，b＝，1＋2cos（B＋C）＝0，求：

（1）∠A的大小；

（2）边BC上的高．

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

（1）证明：

sinAsinB＝sinC；

（2）若b2＋c2－a2＝bc，求tanB.

19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC＋（cosA－sinA）cosB＝0.

（1）求∠B的大小；

（2）若a＋c＝1，求b的取值范围．

20．（12分）已知在等差数列{an}中，公差d＞0，其前n项和为Sn，且满足：

a2·a3＝45，a1＋a4＝14.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝，f（n）＝（n∈N*），求f（n）的最大值．

21．（12分）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3，Sn和Sn＋1满足等式Sn＋1＝Sn＋n＋1，

（1）求S2的值；

（2）求证：

数列是等差数列；

（3）若数列{bn}满足bn＝an·2an，求数列{bn}的前n项和Tn；

（4）设Cn＝，求证：

C1＋C2＋…＋Cn＞.

[附加题]（共1小题，满分20分）

22．（20分）已知数列{an}和{bn}满足：

a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝（－1）n（an－3n＋21），其中λ为实数，n为正整数．

（1）证明：

当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列；

（2）设Sn为数列{bn}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞－12？

若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

参考答案

1．A　[由a2＞2a得a＞2或a＜0，

则“a＞2”是“a2＞2a”成立充分不必要条件．]

2．D　[对于A，a2＋b2≥2ab所以A错；

对于B，C，ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0，则B，C都不成立

∵ab＞0，

∴＋≥2.]

3．D　[取a＝0.5，则a2＋1，a＋1,2a的大小分别为1.25,1.5,1，又因为0＜a＜1时，y＝logax为减函数，所以p＞m＞n.]

4．C　[2b3－b2b4＝2b3－b＝0，求得b3＝2，

∴a3＝b3＝2，

∴S5＝＝a3·5＝10.]

5．D　[由题意可知an＝log2（n∈N*），

设{an}的前n项和为Sn＝log2＋log2＋…＋

log2＋log2，

＝[log22－log23]＋[log23－log24]＋…＋[log2n－log2（n＋1）]＋[log2（n＋1）－log2（n＋2）]

＝[log22－log2（n＋2）]＝log2＜－4，

即＜2－4，

解得n＞30，

∴使Sn＜－4成立的自然数n有最小值为31.]

6．C　[由已知可得，公比q≠1，q＞0.

∵Sn＝3，S3n＝39，

∴＝3，＝39，

化为q2n＋qn－12＝0，

解得qn＝3.

∴＝－.

则S4n＝＝－×（1－34）＝120.]

7．C

　[满足约束条件

的可行域如图所示：

平移直线5y－x＝0，经过点B（8,0）时，5y－x最小，最小值为－8，

则目标函数z＝5y－x的最小值为－8.

经过点A（4,4）时，5y－x最大，最大值为16，

则目标函数z＝5y－x的最大值为16.

z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是24.]

8．A　[在△ABC中，由a2－b2－c2＝bc，利用余弦定理可得cosA＝＝－，

∴A＝，∴B＋C＝π－A＝.]

9．D　[∵{an}是等差数列，首项a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，

∴a2016＞0，a2017＜0，公差d＜0，

∴S4032＝＝2016（a2016＋a2017）＞0，

S4033＝＝4033a2017＜0.

所以使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4032.]

10．B　[因为a，m，b，x成等差数列，a，n，b，y成等比数列，所以m＝，n＝，

由基本不等式得m≥n，又因为a＜b，

所以a，b，m，n，x，y互不相等，

所以m＞n，

b＝，由均值不等式得＜，

即b＞，

b＝＞，

因为m＞n，所以x＜y，

综上，得m＞n，x＜y.]

11．C　[∵二次函数f（x）＝cx2－4x＋a＋1的值域是[1，＋∞），

∴c＞0且＝1，即ac＝4，

∴a＞0，

∴＋≥2＝3，当且仅当＝时取等号，

又∵ac＝4，∴c＝6，a＝，

∴＋的最小值为3.]

12．A　[由题意，构建函数F（x）＝ax，G（x）＝logax，h（x）＝4－x，

则h（x）与F（x），G（x）的交点A，B的横坐标分别为m，n，

注意到F（x）＝ax，G（x）＝logax，关于直线y＝x对称，可以知道A，B关于y＝x对称，

由于y＝x与y＝4－x交点的横坐标为2，

∴m＋n＝4，

∴＋＝（＋）（m＋n）＝（2＋＋）≥（2＋2）＝1，当且仅当m＝n时取等号，

∴＋的最小值为1.]

13．{x|x＜－2或x＞2}

解析　x≥0时，－x2＋x＋2＜0，

解得x＞2或x＜－1（舍）；

x＜0时，－x2－x＋2＜0，解得x＞1（舍）或x＜－2，

故答案为{x|x＜－2或x＞2}．

14．25

解析　∵由正数组成等差数列{an}的前20项和为100，

∴a1＋a20＝＝10，

∴a7＋a14＝10，

∴a7·a14≤2≤25，∴a7·a14≤25.

15．48

解析　a3a5＋a3a8＋a5a10＋a8a10＝（a3a5＋a3a8）＋（a5a10＋a8a10）

＝a3（a5＋a8）＋a10（a5＋a8）＝（a5＋a8）（a3＋a10）＝64，

∵{an}为等差数列，故a3＋a10＝a5＋a8，

故（a5＋a8）2＝64，又∵an＞0，

故a5＋a8＝8，

∴S12＝（a1＋a12）＋（a2＋a11）＋…＋（a6＋a7）＝6（a5＋a8）＝48.

16．－15

解析　∵数列{an}是各项均不为0的等差数列，

∴a＝S2n－1＝（2n－1）an，

∴an＝2n－1，

∵≤，

∴λ≤[1＋]（2n＋1）恒成立，

易知n取2,4,6时，[1＋]（2n＋1）＜0，

当n＝2时，[1＋]（2n＋1）＝－15，

当n＝4时，[1＋]（2n＋1）＝－9，

当n＝6时，[1＋]（2n＋1）＝－，

故λ≤－15.

17．解　

（1）因为1＋2cos（B＋C）＝0，A＋B＋C＝π，

所以cosA＝，sinA＝，A＝.

（2）由正弦定理得

sinB＝＝，

由b＜a知B＜A，所以B不是最大角，B＜.从而cosB＝＝，

由上述结果知B＝，C＝，

sinC＝sin（A＋B）＝sin（＋），

设边BC上的高为h，则有

h＝bsinC＝sin（＋）＝（×＋×）＝.

18．

（1）证明　根据正弦定理，可设

＝＝＝k（k>0），

则a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC.

代入＋＝中，有

＋＝，变形可得

sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin（A＋B）．

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC．所以sinAsinB＝sinC.

（2）解　由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有

cosA＝＝.

所以sinA＝＝.

由

（1），sinAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，

所以sinB＝cosB＋sinB.

故tanB＝＝4.

19．解　

（1）由已知得－cos（A＋B）＋cosAcosB－sinAcosB＝0，

即sinAsinB－sinAcosB＝0，

∵sinA≠0，∴sinB－cosB＝0，即tanB＝，

又∵B为三角形的内角，

则B＝.

（2）∵a＋c＝1，即c＝1－a，cosB＝，

∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB，即b2＝a2＋c2－ac＝（a＋c）2－3ac＝1－3a（1－a）

＝3（a－）2＋，

∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，

则≤b＜1.

20．解　

（1）∵数列{an}是等差数列，

∴a1＋a4＝a2＋a3＝14.又a2·a3＝45，

∴或

∵公差d＞0，

∴解得d＝4，a1＝1.

∴an＝1＋4（n－1）＝4n－3.

（2）∵Sn＝na1＋＝2n2－n，

∴bn＝＝2n，

∴f（n）＝＝

＝＝≤

＝＝，当且仅当n＝，即n＝5时，f（n）取得最大值.

21．

（1）解　∵Sn＋1＝Sn＋n＋1，

当n＝1时，S2＝2S1＋2＝2a1＋2＝8，

故S2＝8.

（2）证明　∵Sn＋1＝Sn＋n＋1，

∴＝＋1，即－＝1.

又∵＝a1＝3，

故是以3为首项，以1为公差的等差数列．

（3）解　由

（2）可知，＝n＋2，

∴Sn＝n2＋2n（n∈N*），

∴当n＝1时，a1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，

经检验，当n＝1时也成立，

∴an＝2n＋1（n∈N*）．

又∵bn＝an·2an，

∴bn＝（2n＋1）·22n＋1，

Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn，

∴Tn＝3·23＋5·25＋…＋（2n－1）·22n－1＋（2n＋1）·22n＋1，

∴4Tn＝3·25＋…＋（2n－3）·22n－1＋（2n－1）·22n＋1＋（2n＋1）·22n＋3，

解得Tn＝·22n＋3－.

（4）解　∵Cn＝＝＋－·（）n

∴C1＋C2＋…＋Cn＝·＋·n－·＝－＋·（）n＞－≥－＝.

22．

（1）证明　∵bn＋1＝（－1）n＋1[an＋1－3（n＋1）＋21]

＝（－1）n＋1（an－2n＋14）＝－（－1）n（an－3n＋21）

＝－bn.

λ≠－18，∴b1＝－（λ＋18）≠0.

由上式知bn≠0，∴＝－（n∈N*），

故当λ≠－18时，数列{bn}是以－（λ＋18）为首项，－为公比的等比数列．

（2）解　当λ≠－18时，由

（1）得bn＝－（λ＋18）·（－）n－1，

于是Sn＝－（λ＋18）·[1－（－）n]，

当λ＝－18时，bn＝0，从而Sn＝0，上式仍成立．

要使对任意正整数n，都有Sn＞－12，

即－（λ＋18）·[1－（－）n]＞－12

⇔λ＜－18.

令f（n）＝1－（－）n，

当n为正奇数时，1＜f（n）≤；当n为正偶数时，≤f（n）＜1，∴f（n）的最大值为f

（1）＝.

于是可得λ＜20×－18＝－6.

综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有Sn＞－12，λ的取值范围为（－∞，－6）．