坐标方法的简单应用.docx

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坐标方法的简单应用

年级

初一

学科

数学

内容标题

坐标方法的简单应用

编稿老师

巩建兵

一、学习目标：

1.能够用坐标表示地理位置．

2.能在直角坐标系中用坐标的方法研究图形的变换，掌握图形在平移过程中各点坐标的变化规律，理解图形在平面直角坐标系上的平移实质上就是点坐标的对应变换．

二、重点、难点：

重点：

掌握用坐标的变化规律来描述平移的过程．

难点：

根据图形的平移过程，探索、归纳出坐标的变化规律．

三、考点分析：

用几何方法求平面内点的坐标是中考的热点，主要考查用坐标表示地理位置和表示图形的平移，常见题型是选择题、填空题、应用题等，多与其他知识结合在一起，难度居于中、低档．

1.用坐标表示地理位置

利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：

（1）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向．

（2）根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度．

（3）在坐标平面内画出这些点．

（4）写出各点的坐标和各个地点的名称．

2.用坐标表示图形的平移

在平面直角坐标系中，将点（x0，y0）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x0＋a，y0）或（x0－a，y0）；将点（x0，y0）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x0，y0＋b）或（x0，y0－b）．

在平面直角坐标系内，如果把一个图形上各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把一个图形上各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b个单位长度．

知识点一：

用坐标表示地理位置

例1.如图所示，A点表示（0，0），则B点可以表示为（1，2），小明从家中C点出发到超市（D点）购买生活用品，他有几种选择方式？

请举出其中的一种来．

思路分析：

题意分析：

本题要求的是由点C到D沿着小方格的边走有几种不同的路径，并用点的坐标描述出来．

解题思路：

根据A点和B点的坐标，建立以A为原点的平面直角坐标系，可知C点和D点的坐标．

解答过程：

以A为原点建立平面直角坐标系，则C点和D点的坐标分别为（4，1）、（5，4）．他有4种选择方式，如（4，1）→（5，1）→（5，4）．

解题后的思考：

另3种方式为：

（4，1）→（4，4）→（5，4）；（4，1）→（4，2）→（5，2）→（5，4）；（4，1）→（4，3）→（5，3）→（5，4）．

例2.如图是逸飞中学校园平面示意图．利用我们所学知识解决下列各题：

（1）如果教学楼在校门的正北方向90米处，那么升旗台在教学楼的什么位置？

花坛在教学楼的什么位置？

图书馆在教学楼的什么位置？

（2）建立适当的平面坐标来描述各处的地理位置．

（3）拟将花坛迁移到升旗台与校门的正中间，按照问题

（2）中确定的坐标平面，花坛新址的坐标是多少？

思路分析：

题意分析：

本题考查用坐标表示地理位置．

解题思路：

由于图上教学楼与校门的距离是9个单位长度，因此可以断定图上的1个单位长度表示实际距离10米．由题目

（1）知，本题应首选教学楼为坐标原点，在确定花坛新址时首先确定升旗台与校门的距离，取其中点并计算出花坛与教学楼的距离．

解答过程：

（1）升旗台在教学楼的正南方20米处；花坛在教学楼的正南方30米处西侧20米；图书馆在教学楼的正南方30米处西侧50米．

（2）以教学楼所在位置为原点，正东方向为横轴正方向，正北方向为纵轴正方向建立平面坐标．教学楼的位置是（0，0），升旗台的位置是（0，－2），花坛的位置是（－2，－3），图书馆的位置是（－5，－3），卫生间的位置是（4，－3），校门的位置是（0，－9）．

（3）花坛新址的位置是（0，－5.5）．

解题后的思考：

解题的关键是坐标原点和单位长度的确定．

例3.如图所示，是传说中的一张藏宝图，藏宝人生前用直角坐标系的方法画了这幅图．现今的寻宝人没有原来的地图，但知道在该图上有两块大石头A（1，－2）、B（2，－8），而藏宝地的坐标是（6，－6）．试设法在地图上找到藏宝地点．

思路分析：

题意分析：

据题意可知本题实际上是要求确定点（6，－6）的位置．

解题思路：

要解决这个问题，还得从点的坐标的意义入手确定平面直角坐标系，再描出点（6，－6）即可．

解答过程：

如图所示．

解题后的思考：

解答本题的关键是如何根据实际情况建立平面直角坐标系．一般情况下，在平面直角坐标系中，水平的数轴是x轴且向右为正，竖直的数轴是y轴且向上为正．

小结：

用坐标表示地理位置时，选择一个适当的参照点为原点尤为重要．原点的选择、x轴、y轴的确定，直接影响着计算的繁简程度，所以建立直角坐标系时，千万不要盲目行事，要以能简捷地确定平面内点的坐标为原则．

知识点二：

用坐标表示图形的平移

例4.如图所示，小丽想把直角坐标系中的房子图案向左平移10个单位长度，已知房子图案的几个顶点坐标为（2，0）、（8，0）、（8，3）、（9，3）、（5，5）、（1，3）、（2，3），请你帮她作出相应的图案，并写出平移后上述7个点的坐标．

思路分析：

题意分析：

向左平移纵坐标不变，横坐标减去平移的长度．

解题思路：

将房子图案各顶点坐标的横坐标都减去10，纵坐标不变，可得平移后房子各顶点对应点的坐标．

解答过程：

如图所示，平移后7个点的坐标是（－8，0）、（－2，0）、（－2，3）、（－1，3）、（－5，5）、（－9，3）、（－8，3）．

解题后的思考：

左、右平移只是横坐标发生变化，纵坐标不变．

例5.

（1）将点A（3，2）向右平移2个单位长度，得到A’，则A’的坐标为__________；

（2）点B’（6，3）是由点B（－2，3）经过__________得到的；

（3）点C（4，3）__________得到C’（6，－4）．

思路分析：

题意分析：

本题考查点的平移与坐标的变化．

解题思路：

（1）向右平移2个单位长度，即横坐标增加2；

（2）横坐标增加了8个单位长度，对应的点向右平移8个单位长度；（3）横坐标和纵坐标都发生了改变，需经过两次平移才能完成．

解答过程：

（1）（5，2）；

（2）向右平移8个单位长度；（3）先向右平移2个单位长度，再向下平移7个单位长度．

解题后的思考：

解题的关键是掌握平移的方向和坐标变化之间的联系，简单地说，就是：

横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．

例6.如图所示，把图中的三角形ABC经过一定的变换得到三角形A′B′C′，如果图中三角形ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点的对应点P’的坐标为（）

A.（a－2，b－3）B.（a－3，b－2）

C.（a＋3，b＋2）D.（a＋2，b＋2）

思路分析：

题意分析：

本题重点考查在平面直角坐标系内点的平移和坐标的变化规律．

解题思路：

由图可知，三角形ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到三角形A′B′C′．则点P（a，b）对应点P′的坐标为（a＋3，b＋2），故选C．

解答过程：

C

解题后的思考：

将点（x，y）向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点（x＋a，y）或（x－a，y）；将点（x，y）向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点（x，y＋b）或（x，y－b）．

例7.如图所示，四边形是将坐标（0，0）、（1，2）、（－1，3）、（－2，1）、（0，0）的点用线段依次连接而成的，将这四个点的坐标作如下变化：

横坐标分别加3，纵坐标分别减2，再将所得的点用线段依次连接起来，所得图案与原来的图案相比，有什么变化？

思路分析：

题意分析：

本题考查坐标变化与图形变化的规律．

解题思路：

先根据题目要求描出坐标变化后的各点，将各点用线段依次连接起来，再与原图比较．

解答过程：

横坐标分别加3，纵坐标分别减2，所得各点的坐标依次为（3，－2）、（4，0）、（2，1）、（1，－1）、（3，－2）．将各点用线段依次连接起来，所得图案如图所示，与原图案相比，这个图案的大小和形状都与原图案一样，只是向右平移了3个单位长度，再向下平移了2个单位长度．

解题后的思考：

图形的平移具有两大要素：

①平移的方向；②平移的距离．本讲中用坐标表示图形的平移，其平移方向为沿x轴左、右移动，沿y轴上、下移动，一般情况下，图形上的点的坐标都增加或减小时，必须要经过两次平移．

例8.在平面直角坐标系中描出下列各点：

坐标依次为A（3，2）、B（3，－2）、C（－3，－1）、D（－3，1）．并将A、B、C、D、A依次连接起来．

（1）你得到了一个什么图形？

（2）四边形ABCD的面积是多少？

思路分析：

题意分析：

先根据题意画出图形，再根据图形特点求面积．

解题思路：

四边形ABCD是一个梯形，可根据梯形面积公式求解，或把这个梯形剪拼成长方形再求面积．

解答过程：

（1）如图所示，得到的图形是梯形；

（2）这个梯形的面积是

（2＋4）×6＝18．

解题后的思考：

在平面直角坐标系中求图形面积时，可根据图形顶点坐标求出某些线段的长度，再求面积．遇到不规则图形，可先将其进行剪拼再求面积．

小结：

由平移的概念知，“平移”是把一个图形整体沿着某一个方向移动，平移讲求方向性．大家知道，图形平移的方向不一定是水平的，这里所讲的用坐标表示图形的平移，其方向是沿x轴和y轴（即左右、上下），其他方向的平移中学阶段不作要求和考虑．

1.用坐标表示地理位置时，应先在分析清楚题意的基础上选择适当的点为坐标原点，而通常情况下画坐标轴只有一种情况——水平方向画横轴、竖直方向画纵轴．一般都是选取题目中涉及周边地点最多的地点为原点．而比例尺的选取要与坐标的单位长度相匹配，否则会导致绘制的坐标平面过大，各地点过于分散，或是绘制的坐标平面过小，各地点过于拥挤．

2.本讲的主要内容是平移的变化规律“左减右加”、“上加下减”，应在理解的基础上加以消化掌握，不能死记硬背，只要正确作出图形即可知道变化情况．

（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.从车站向东走400m，再向北走500m到小红家；从车站向北走500m，再向西走200m到小强家，则（）

A.小强家在小红家的正东方B.小强家在小红家的正西方

C.小强家在小红家的正南方D.小强家在小红家的正北方

2.如图，将点A向下平移5个单位长度后，将重合于图中的（）

A.点CB.点FC.点DD.点E

3.将某图形的横坐标都减去2，纵坐标不变，则该图形（）

A.向右平移2个单位B.向左平移2个单位

C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位

*4.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（－1，4）的对应点为C（4，7），则点B（－4，－1）的对应点D的坐标为（）

A.（2，9）B.（5，3）C.（1，2）D.（－9，－4）

*5.如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1，－2）上，“相”位于点（3，－2）上，则“炮”位于点（）上

A.（－1，1）B.（－1，2）C.（－2，1）D.（－2，2）

6.将点P（－4，3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得点P’，则点P’的坐标为（）

A.（－2，5）B.（－6，1）C.（－6，5）D.（－2，1）

*7.小虫在小方格上沿着小方格的边爬行，它的起始位置是A（2，2），先爬到B（2，4），再爬到C（5，4），最后爬到D（5，6），则小虫共爬了（）

A.7个单位长度B.5个单位长度C.4个单位长度D.3个单位长度

**8.已知三角形ABC平移后得到三角形A1B1C1，且A（－2，3），B（－4，－1），C1（m，n），C（m＋5，n＋3），则A1，B1两点的坐标为（）

A.（3，6），（1，2）B.（－7，0），（－9，－4）

C.（1，8），（－1，4）D.（－7，－2），（0，－9）

二、填空题

9.在绘制某区域内的一些地点分布情况时，比例尺为1∶10000，若图上距离AB为5cm，则实际距离AB为__________m．

10.把面积为10cm2的三角形向右平移5cm后其面积为__________．

11.三角形ABC的三个顶点A（1，2），B（－1，－2），C（－2，3），将其平移到点A′（－1，－2）处，使A与A′重合，则B、C两点的坐标分别为__________，__________．

12.点A在x轴上，位于原点的右侧，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为__________；点B在y轴上，位于原点的下方，距离坐标原点5个单位长度，则此点的坐标为__________；点C在y轴左侧，在x轴下方，距离每个坐标轴都是5个单位长度，则此点的坐标为__________．

*13.已知点P在第二象限，且横坐标与纵坐标的和为1，试写出一个符合条件的点P__________；点K在第三象限，且横坐标与纵坐标的积为8，写出符合条件的点__________．

**14.如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北方向走6m到达A2点，再向正西方向走9m到达A3点，再向正南方向走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是__________．

三、解答题

15.如图所示，A的位置为（2，6），小明从A出发，经（2，5）→（3，5）→（4，5）→（4，4）→（5，4）→（6，4），小刚也从A出发，经（3，6）→（4，6）→（4，7）→（5，7）→（6，7），则此时两人相距几个格？

16.如图，三角形ABC中任意一点P（x0，y0），经平移后对称点为P1（x0＋3，y0－5），将三角形ABC作同样平移得到三角形A1B1C1，求点A1、B1、C1的坐标，并在图中画出三角形A1B1C1的位置．

*17.如图所示，

（1）如果图中四个点的横坐标不变，纵坐标都加上－2，在直角坐标系中画出新图形并比较新图形与原图形有何关系．

（2）如果此图形中四个点的纵坐标不变，横坐标都乘－1，在直角坐标系中画出新图形，并比较新图形与原图形有何关系．

*18.物体的移动方向如图所示，在N处的导航卫星观测到位于M处的民航客机正沿x轴正方向飞行，15秒后，位于N点正下方，求此客机的速度（精确到米/秒）？

若于M处客机改沿y轴正方向飞行，12秒后到达哪里，在坐标系中标出这个位置．

四、拓广探索

**19.如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（－2，8），（－11，6），（－14，0），（0，0）．

（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？

（2）如果四边形ABCD各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的新四边形的面积是多少？

一、选择题

1.B2.D3.B

4.C解析：

由题意可知点A与点C对应，点B与点D对应．由点A平移得到点C，横坐标增加5，纵坐标增加3．所以点B的横坐标增加5，纵坐标增加3后得点D的坐标（1，2）．

5.C解析：

先根据“帅”和“相”的坐标确定原点，再确定“炮”的坐标．

6.B

7.A解析：

画出坐标系，用数形结合的思想解答本题．或根据平移后点的坐标变化规律解题，由A（2，2）向上平移2个单位得B（2，4），向右平移3个单位得C（5，4），再向上平移2个单位得D（5，6）．共移动了7个单位长度．

8.B解析：

由题意可知点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应．分析点C1（m，n）和点C（m＋5，n＋3）的坐标可得点C向左平移5个单位，向下平移3个单位，得点C1，所以A1（－7，0）、B1（－9，－4）．本题易错选A．

二、填空题

9.500

10.10cm2

11.（－3，－6），（－4，－1）

12.（5，0）；（0，－5）；（－5，－5）

13.答案不唯一，如：

（－1，2）；（－2，－4）解析：

注意第一空不要选择坐标轴上的点．

14.（9，12）解析：

观察分析点的坐标的变化规律：

O（0，0）→A1（3，0）→A2（3，6）→A3（－6，6）→A4（－6，－6）→A5（9，－6）→A6（9，12）．

三、解答题

15.解：

小明和小刚的行动路线如图所示，最终两人相距3个格．

16.解：

点P移动到点P1，坐标变化规律是：

横坐标加3，纵坐标减5．三角形ABC的三个顶点作同样的变化，如图所示：

17.解：

（1）新图形的形状和大小都不变，只是向下平移了2个单位长度，如图中红色图形所示．

（2）新图形的形状和大小都不变，只是将原图形沿y轴水平向左翻折，如图中粉色图形所示．

18.解：

客机由点M（－2，－1）沿x轴方向平移到点N（3，1）的正下方，共飞行了5千米，其速度是5÷15＝

（千米/秒）≈333（米/秒）．改变航向飞行12秒后，飞行距离是12×

＝4（千米），即将点（3，－1）向上平移4个单位长度，所以12秒后客机的坐标是（3，3）．图略

四、拓广探索

19.解：

（1）可将这个四边形切割成三个三角形和一个长方形，S＝

×3×6＋

×9×2＋

×2×8＋9×6＝9＋9＋8＋54＝80．

（2）横坐标增加2，纵坐标不变，则四边形向右平移2个单位长度，形状和大小都不变，其面积仍是80．