人教版八年级数学上册轴对称专题复习讲义.docx

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人教版八年级数学上册轴对称专题复习讲义

轴对称专题复习讲义

一.知识要点

对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两个方面都意义重大，数学则是它的根本.

本次课主要研究以下内容：

（1）轴对称图形与轴对称，它们的联系与区别：

轴对称图形是对某一个图形而言的；成轴对称是对两个图形而言的，它们的辩证关系：

把成轴对称的两个图形看成一个整体，它是轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.

（2）线段的垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

遇到线段的垂直平分线时，常将垂直平分线上的点与线段的两端点连接.

利用轴对称思想添加辅助线段构造全等三角形.证明线段或角相等是我们几何证明的常用方法之一.

二.基本知识点过关测试

1.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做，折叠后重合的点是叫做.

如果一个图形沿一直线折叠，直线能够相互重合，这个图形就叫做这条直线就是它的对称轴，这时，我们也说.

2.判断下列是否为轴对称图形，若是请写出对称轴的条数：

（1）圆；

（2）正方形；（3）等腰三角形

3.平面直角坐标系中，点A（-2,3）关于y轴的对称点A1的坐标是，点B（-4,1）关于x轴的对称点B1的坐标是，点A1关于一、三象限的角平分线的对称点的坐标是.

知识要点2：

线段的垂直平分线的性质：

线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

4.如图，在△ABC中，AB=AC，DE为AB的中垂线.

且△BEC的周长为14，BC=6，则AB的长为.

知识要点3：

等腰三角形的性质与判定

5.如图，在等腰△ABC中,AB=AC，若∠1=∠2，则BDCD，ADBC

6.在等腰三角形中，若一个角为100°，则另两个角为，若一个内角为40°，则另两个角为.

7.

（1）等腰三角形的腰为10，则底边长x的范围是；若底边长为10，则腰长y的范围是.

（2）等腰三角形的顶角为60°，底边长8cm，则腰为.

（3）等腰△ABC，AB=AC，BD为AC边的高，则∠DBC=∠BAC；若∠DBA=45°，则

∠C=.

（4）三角形三内角度数比为1：

2：

3，它的最短边为5cm，则最长边为；等腰三角形底角为15°，腰长为30cm，，则此三角形面积为.

知识要点4：

等边三角形的性质与判定

8.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是.

知识要点5：

含30°的特殊三角形

9.如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交于BC于点D，交AB于点E，BD=10，

则AC=.

知识要点6：

尺规作图问题

10.如图，直线MN表示一条铁路，A、B两点表示铁路旁的两个村庄，要在铁路MN旁修建一个车站C，要使A、B两个村到车站的距离相等，请确定车站C的位置

11.某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M、N表示大学AO、BO表示公路），现计划修一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.

三.综合、提高、创新

方法与技巧1：

利用轴对称解决几何问题

【例1】

（1）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用输气管道最短？

你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？

（2）已知∠MON=30°，P为∠MON内一定点，且OP=10cm，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时，请确定A、B点的位置，并求此时的最小周长.

方法与技巧2：

利用特殊图形的轴对称性（线段的垂直平分线，角平分线）实现边、角的集中

【例2】

（1）如图，AC=BG，AB，CG垂直平分线交于点F,求证：

∠ABF=∠CGF.

（2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE垂直平分斜边AB于D，且点E在AB的下方，DE=

AB.①求证：

∠ACE=45°

②若点E在AB的上方，其他条件不变，则①的结论是否还成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

【例3】如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是角平分线，过BC的中点M作AD的垂线，交AD的延长线于F，交AB的延长线于E，求证：

BE=

BD

【练】如图，在△ABC中，AB>AC，AD是BC上的高线，P是AD上一点，试比较PB—PC与AB—AC的大小.

方法与技巧3：

截长补短在特殊三角形中的应用

【例4】

（1）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠C=2∠B.求证：

AC+CD=BD.

（2）在△ABC，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证：

AM=

（AB+AC）

【练】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠ACD=60°，求证：

AG=AH

方法与技巧4：

特殊要素法在特殊三角形中的应用

【例5】

（1）如图，△ABC中，AB=AC，BG⊥BC于B，CH⊥BC于C，过点A的直线l绕点A旋转，交BG、CH于G、H，求证：

AG=AH

（2）如图，点P为△ABC内一点G，PG垂直平分BC，交点为G，且∠PBC=

∠A，BP、CP的延长线分别交AC、AB于D、E.求证：

BE=CD

【例6】如图，△ABC为等边三角形，D为AC所在直线上一点，AE∥BC，且满足∠BDE=60°，当D点分别运动到如图所示情形时.

（1）求∠CBD和∠ADE的关系；

（2）求证：

DB=DE；（3）求AD、AE和BC之间的关系.

三.反馈练习

1.如图，四边形EFGH是一矩形的台球台面，有黑白两球分别位于A、B两点位置上，试问：

怎样撞击

黑球A，使黑球先碰撞台边EF反弹后再击中白球B？

2.如图，E、F分别是△ABC的边AB、AC上的两定点，在BC上求一点M使△MEF的周长最短.

3如图，A点的坐标为（4，0），B点的坐标为（0，4），作∠BAO的平分线AC交y轴于C，过B作BD⊥AC于D,求AC：

BD的值.

4如图，AB=AC，若∠A=20°，在AB上取点W，使AE=BC.求∠BWC的度数？

5.如图，A、B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使C到A，B的距离只差最大.

6.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分∠ABC交CD于F，CG平分∠ACD.

求证：

BE⊥CG

7.如图，∠1=∠2，DA=DB，AC=

AB，求证：

DC⊥AC.

8.

（1）如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B：

∠C

（2）如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：

AB+BD=AC

9.如图，AM为△ABC的角平分线，BD=CE，NE∥AM，求证：

N为BC中点.

10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠BCA的平分线交AD于O，交AB于E，OF∥BC，交AB于F，AE=6，AB=18，求EF.

11.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=

（AB+AD）.

求∠ABC+∠ADC的度数.

12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABE和△ACD都为等边三角形，F为BE中点，DF交于AC于M，连接DE.求证：

（1）AM=MC；

（2）AB平分DE.

13.如图，△ABC为等边三角形，CF为∠C的外角平分线，在BC上任取一点D，使∠ADE=60°，DE交CF于点E.求证：

△ADE为等边三角形

14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，O为三角形内一点，∠OBC=10°，∠OCB=30°，求∠BAO的度数.