基本初等函数导数及其应用 专题训练.docx
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基本初等函数导数及其应用专题训练
基本初等函数、导数及其应用专题训练
A组 基础演练
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）
A．118元 B．105元C．106元D．108元
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示为y＝
－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量（吨）为（ ）
A．240B．200C．180D．160
4．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（ ）
A．a12－1B．（1＋a）12－1C．aD．a－1
5．往外埠投寄平信，每封信不超过20g，付邮费0.80元，超过20g而不超过40g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）．如果某人所寄一封信的质量为72.5g，则他应付邮费（ ）
A．3.20元B．2.90元C．2.80元D．2.40元
6．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量
为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
7．某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
8．A、B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40km/h，B的速度是16km/h，经过________小时，AB间的距离最短．
9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x－0.4）元成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？
10．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
（2）若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：
怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
B组 能力突破
1．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：
太贝克）与时间t（单位：
年）满足函数关系：
M（t）＝
，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（ ）
A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克
2．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f（n）＝k（n）（n－10），n＞10（其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f（n）的单位为元），而
k（n）＝
现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多（ ）
A．600元B．900元C．1600元D．1700元
3．国家规定个人稿费纳税办法是：
不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（ ）
A．2800元B．3000元C．3800元D．3818元
4．已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5＜PA＜5.5（注：
lg2≈0.3）．
其中正确的说法为________．（写出所有正确说法的序号）
5．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：
“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：
千克/年）是养殖密度x（单位：
尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：
千克/立方米）可以达到最大？
并求出最大值．
基本初等函数、导数及其应用专题训练答案
A组 基础演练
1．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（ ）
解析：
选A.汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s与t的函数图象上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．
2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进货价），则该家具的进货价是（ ）
A．118元 B．105元C．106元D．108元
解析：
选D.设进货价为a元，由题意知132×（1－10%）－a＝10%·a，解得a＝108，故选D.
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示为y＝
－30x＋4000，则每吨的成本最低时的年产量（吨）为（ ）
A．240B．200C．180D．160
解析：
选B.依题意，得每吨的成本为
＝
＋
－30，
则
≥2
－30＝10，
当且仅当
＝
，即x＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.
4．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（ ）
A．a12－1B．（1＋a）12－1C．aD．a－1
解析：
选B.不妨设第一年8月份的产值为b，则9月份的产值为b（1＋a），10月份的产值为b（1＋a）2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b（1＋a）12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为
＝（1＋a）12－1.
5．往外埠投寄平信，每封信不超过20g，付邮费0.80元，超过20g而不超过40g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20g需增加邮费0.80元（信的质量在100g以内）．如果某人所寄一封信的质量为72.5g，则他应付邮费（ ）
A．3.20元B．2.90元C．2.80元D．2.40元
解析：
选A.由题意得20×3＜72.5＜20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20（元）．故选A.
6．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
解析：
依题意有a·e－b×8＝
a，
∴b＝
，
∴y＝a·
.若容器中只有开始时的八分之一，
则有a·
＝
a.
解得t＝24，∴经过的时间为24－8＝16min.
答案：
16
7．某市出租车收费标准如下：
起步价为8元，起步里程为3km（不超过3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：
设出租车行驶xkm时，付费y元，
则y＝
，
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：
9
8．A、B两只船分别从在东西方向上相距145km的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B从乙地自北向南行驶，A的速度是40km/h，B的速度是16km/h，经过________小时，AB间的距离最短．
解析：
设经过xh，A、B相距为ykm，
则y＝
（0≤x≤
），求得函数取最小值时x的值为
.
答案：
9．某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿千瓦时）与（x－0.4）元成反比例．又当x＝0.65时，y＝0.8.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？
解：
（1）∵y与（x－0.4）成反比例，∴设y＝
（k≠0）．
把x＝0.65，y＝0.8代入上式，
得0.8＝
，k＝0.2.
∴y＝
＝
，
即y与x之间的函数关系式为y＝
.
（2）根据题意，得
·（x－0.3）＝1×（0.8－0.3）×（1＋20%）．
整理，得x2－1.1x＋0.3＝0，解得x1＝0.5，x2＝0.6.
经检验x1＝0.5，x2＝0.6都是所列方程的根．
∵x的取值范围是0.55～0.75，
故x＝0.5不符合题意，应舍去．∴x＝0.6.
∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.
10．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元、0.5万元．
（1）分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；
（2）若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：
怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解：
（1）设两类产品的收益与投资的函数分别为f（x）＝k1x，g（x）＝k2
.
由已知得f
（1）＝
＝k1，g
（1）＝
＝k2，
所以f（x）＝
x（x≥0），g（x）＝
（x≥0）．
（2）设投资债券产品为x万元，则投资股票类产品为（20－x）万元．
依题意得y＝f（x）＋g（20－x）＝
＋
（0≤x≤20）．
令t＝
（0≤t≤2
），
则y＝
＋
t＝－
（t－2）2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
B组 能力突破
1．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：
太贝克）与时间t（单位：
年）满足函数关系：
M（t）＝
，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2（太贝克/年），则M（60）等于（ ）
A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克
解析：
选D.∵M′（t）＝－
·ln2，
∴M′（30）＝－
×
M0ln2＝－10ln2，
∴M0＝600.
∴M（t）＝600×
，
∴M（60）＝600×2－2＝150（太贝克）．
2．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f（n）＝k（n）（n－10），n＞10（其中n是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f（n）的单位为元），而
k（n）＝
现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多（ ）
A．600元B．900元C．1600元D．1700元
解析：
选D.∵k（18）＝200（元），
∴f（18）＝200×（18－10）＝1600（元）．
又∵k（21）＝300（元），
∴f（21）＝300×（21－10）＝3300（元），
∴f（21）－f（18）＝3300－1600＝1700（元）．故选D.
3．国家规定个人稿费纳税办法是：
不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税，已知某人出版一本书共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为（ ）
A．2800元B．3000元C．3800元D．3818元
解析：
选C.由题意知，纳税额y与稿费x之间的函数关系式为
y＝
令（x－800）×0.14＝420，
解得x＝3800，
令0.112x＝420，得x＝3750（舍去），
故这个人应得稿费（扣税前）为3800元．故选C.
4．已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：
①PA≥1；
②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5＜PA＜5.5（注：
lg2≈0.3）．
其中正确的说法为________．（写出所有正确说法的序号）
解析：
当nA＝1时，PA＝0，故①错误；若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；B菌的个数为nB＝5×104，∴nA＝
＝2×105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.又∵lg2≈0.3，∴5＜PA＜5.5，故③正确．
答案：
③
5．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：
“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：
千克/年）是养殖密度x（单位：
尾/立方米）的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；4＜x≤20时，v是x的一次函数，当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v的值为0千克/年．
（1）当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数表达式；
（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：
千克/立方米）可以达到最大？
并求出最大值．
解：
（1）由题意得当0＜x≤4时，v＝2；
当4＜x≤20时，设v＝ax＋b，
由已知得
解得
所以v＝－
x＋
，
故函数v＝
.
（2）设鱼的年生长量为f（x）千克/立方米，
依题意并由
（1）可得
f（x）＝
当0＜x≤4时，f（x）为增函数，
故f（x）max＝f（4）＝4×2＝8；
当4＜x≤20时，f（x）＝－
x2＋
x＝－
（x2－20x）＝－
（x－10）2＋
，
f（x）max＝f（10）＝12.5.
所以当0＜x≤20时，f（x）的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
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