知识点二 几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）
反比例函数模型
f（x）＝
＋b（k，b为常数且k≠0）
二次函数模型
f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
指数函数模型
f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）
对数函数模型
f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1）
幂函数模型
f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）
知识点三 应用函数模型解决问题的基本步骤
用已知函数模型解决实际问题的基本步骤：
第一步：
审题，设出变量．
第二步：
根据所给模型，列出函数关系式．
第三步：
解函数模型．
第四步：
将所得结论转译成具体问题的解答．
例1 某种细菌经过60min培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间（单位：
h），y表示细菌个数.10个细菌经过7h培养能达到的个数为（ ）
A．640B．1280
C．2560D．5120
例2 某品牌汽车公司2015年销量目标定为39.3万辆．
2012年，某品牌汽车年销量8万辆；
2013年，某品牌汽车年销量18万辆；
2014年，某品牌汽车年销量30万辆．
如果我们分别将2012,2013,2014,2015年定义为第一、二、三、四年，现在有两个函数模型：
二次函数型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数函数型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b≠1，b>0），哪个模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系？
例3 某市居民自来水收费标准如下：
每户每月用水不超过4吨时，每吨为2.10元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y元．已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x吨．
（1）求y关于x的函数；
（2）如果甲、乙两户该月共交水费40.8元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
一、选择题
1．下列函数关系中，可以看成是指数型函数y＝kax（k∈R，a>0且a≠1）模型的是（ ）
A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C．如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．邮件的邮资与其重量间的函数关系
2．在一次数学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：
x
0.25
0.50
1
2.00
3.00
4.00
y
－1.99
－1.01
0
1.01
1.58
2.01
则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a为待定系数，且a>0）（ ）
A．y＝axB．y＝ax
C．y＝logaxD．y＝
3．某工厂生产某种产品的月产量y和月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂1月份、2月份生产该新产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为（ ）
A．1.75万件B．1.7万件
C．2万件D．1.8万件
4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y＝f（x）的图象大致是（ ）
5．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示，假设某人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）
A．40万元B．60万元
C．120万元D．140万元
6．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示，请根据以上数据作出分析，为获得最大利润，这个经营部将能量单价定为（ ）
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
A.10.5元B．6.5元C．12.5元D．11.5元
二、填空题
7．通过市场调查知某商品每件的市场价y（单位：
元）与上市时间x（单位：
天）的数据如下：
上市时间/x天
4
10
36
市场价/y元
90
51
90
根据上表数据，当a≠0时，下列函数：
①y＝ax＋k；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogmx中能恰当地描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系的是________．（只需写出序号即可）
8．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1,2），（2,5），现有两个待选模型，甲：
y＝x2＋1，乙：
y＝3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3,10.2），则应选用________作为函数模型．
9．某地采用摇号买车的方式，共有20万人参加摇号，每个月有2万个名额，如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进行下月摇号，则每个人摇上号平均需要________个月的时间．
10．我国邮政邮寄印刷品国内邮资标准为：
100g以内0.7元，每增加100g（不足100g按100g计）邮资增加0.4元，某人从绵阳邮寄一本重420g的书到上海，则他应付资费________元．
11．由于电子技术的飞速发展，某电子产品的成本不断降低，若每隔5年该电子产品的价格降低
，则现在价格在2700元的该电子产品经过15年价格应降为________元．
三、解答题
12．海南华侨中学三亚学校高三7班拟制定奖励条例，对在学习中取得优异成绩的学生进行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生月考成绩的高低对该学生进行奖励．奖励公式为f（n）＝k（n）（n－10），n>10，（其中n是该学生月考平均成绩与重点班平均分之差，f（n）的单位为元），而k（n）＝
现有甲、乙两位学生，甲学生
月考平均成绩超出重点班平均分18分，而乙学生月考平均成绩超出重点班平均分21分．问乙所获得的奖励比甲所获得的奖励多几元？
答案精析
知识条目排查
知识点一
递增 递增 y轴 x轴
题型分类示例
例1 B 当t＝1时，10个细菌繁殖的个数是10ek，
所以ek＝2，故y＝10ekt＝10（ek）t＝10·2t；
当t＝7时，有y＝10·27＝1280，故选B.]
例2 解 建立年销量y（万辆）与第x年的函数，
可知函数图象必过点（1,8），（2,18），（3,30）．
①构造二次函数型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
将点的坐标代入，
可得
解得
则f（x）＝x2＋7x，故f（4）＝44，与计划误差为4.7.
②构造指数函数型g（x）＝a·bx＋c，
将点的坐标代入，可得
解得
则g（x）＝
×（
）x－42，
故g（4）＝
×（
）4－42＝44.4，
与计划误差为5.1.
由上可得，f（x）＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y（万辆）与第x年的关系．
例3 解
（1）当甲的用水量不超过4吨时，
即5x<4，乙的用水量也不超过4吨，
y＝（5x＋3x）×2.1＝16.8x；
当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，
即3x≤4且5x≥4，
y＝4×2.1＋3x×2.1＋3×（5x－4）＝21.3x－3.6.
当乙的用水量超过4吨时，
即3x>4，y＝8×2.1＋3（8x－8）
＝24x－7.2，
所以y＝
（2）由于y＝f（x）在各段区间上均为单调递增函数，
当x∈0，
）时，y）<40.8；
当x∈
，
]时，y≤f（
）＜40.8；
当x∈（
，＋∞）时，令24x－7.2＝40.8，解得x＝2.
所以甲户用水量为5x＝10吨，付费S1＝4×2.1＋6×3＝26.40（元）；
乙户用水量为3x＝6吨，付费S2＝4×2.1＋2×3＝14.40（元）．
考点专项训练
1．B A项，竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系；B项，我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系，是指数型函数关系；C项，如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系；D项，邮件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系，故选B.]
2．C
3．A 由题设可得
解得a＝－2，b＝2，所以y＝－2×0.5x＋2，
将x＝3代入解得y＝1.75，故选A.]
4．D 根据题意，函数解析式为y＝1.104x（x>0），
函数是指数函数，底数1.104>1，故选D.]
5．C 甲在6元时全部买入，可以买到120÷6＝20（万）份，
在t2时刻，全部卖出，此时获利20×2＝40（万元），
乙在4元时买入，可以买（120＋40）÷4＝40（万）份，
在t4时刻，全部卖出，此时获利40×2＝80（万元），共获利40＋80＝120（万元）．]
6．D 设每桶水的价格为（6＋x）元，
公司日利润y元，
则y＝（6＋x－5）（480－40x）－200
＝－40x2＋440x＋280，
∵－40<0，∴当x＝－
＝5.5时函数有最大值，
因此，每桶水的价格为11.5元时，公司日利润最大，
故选D.]
7．②
解析 ∵随着时间x的增加，y的值先减后增，
而所给的三个函数中y＝ax＋k和y＝alogmx显然都是单调函数，不满足题意，
∴y＝ax2＋bx＋c.故答案为②.
8．甲
解析 甲：
y＝x2＋1，（1,2），（2,5）代入验证满足，x＝3时，y＝10；
乙：
y＝3x－1，（1,2），（2,5）代入验证满足，x＝3时，y＝8.
∵测得（x，y）的一组对应值为（3,10.2），
∴选甲．
9．5
10．2.3
解析 邮寄一本重420g的书，其中100克付费0.7元，剩余420－100＝320（g），
每增加100g（不足100g按100g计）邮资增加0.4元，
则需要0.4×4＝1.6（元），则共付费0.7＋1.6＝2.3（元）．
11．800
解析 由题意，现在价格为2700元的电子产品经过15年价格应降为2700×（1－
）3＝800（元）．
12．解 ∵k（n）＝
∴k（18）＝4，∴f（18）＝4×（18－10）＝32（元）．
又∵k（21）＝6，∴f（21）＝6×（21－10）＝66（元），
∴f（21）－f（18）＝66－32＝34（元）．
答：
乙所获得的奖励比甲所获得的奖励多34元．
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