贵州省名校联盟届高三大联考数学理试题含答案解析.docx
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贵州省名校联盟届高三大联考数学理试题含答案解析
贵州省名校联盟2022届高三3月大联考数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．
的实部为（ ）
A．
B．0C．1D．2
2．
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．定义集合
且
.己知集合
，
，
，则
中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
4．曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．某公司为了确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：
万元）对年销售量y（单位：
千件）的影响.现收集了近5年的年宣传费x（单位：
万元）和年销售量y（单位：
千件）的数据，其数据如下表所示，且y关于x的线性回归方程为
，则下列结论错误的是（ ）
x
4
6
8
10
12
y
1
5
7
14
18
A．x，y之间呈正相关关系
B．
C．该回归直线一定经过点
D．当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件
6．在四棱锥
中，底面
是矩形，
底面
，且
，
，则二面角
的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
7．执行如图所示的程序框图，若输出的
，则输入的实数x的取值共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．已知函数
，现有下列四个命题：
①
，
，
成等差数列；
②
，
，
成等差数列；
③
，
，
成等比数列；
④
，
，
成等比数列.
其中所有真命题的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②④
9．已知
，
，则
（ ）
A．2B．4C．
D．
10．函数
的部分图象如图所示，现将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，则
在区间
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．为有效阻断新冠肺炎疫情传播徐径，构筑好免疫屏障，从2022年1月13日开始，某市启动新冠病毒疫苗加强针接种工作，凡符合接种第三针条件的市民，要求尽快接种.该市有3个疫苗接种定点医院，现有8名志愿者将被派往这3个医院协助新冠疫苗接种工作，每个医院至少2名至多4名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2940种B．3000种C．3600种D．5880种
12．已知A，B是曲线
上两个不同的点，
，则
的最大值与最小值的比值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知
为奇函数，当
时，
，则
___________.
14．
的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知
，
，则
___________.
15．如图，某款酒杯容器部分为圆锥，且该圆锥的轴截面为面积是
的正三角形.若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，则酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为______
.
三、双空题
16．设P为椭圆
和双曲线
的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则M的离心率为___________，
___________.
四、解答题
17．一机械制造加工厂的某条生产线设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：
）服从正态分布
，且
.
（1）求
的概率；
（2）若从该条生产线上随机选取2个零件，设X表示零件尺寸小于
的零件个数，求X的分布列与数学期望.
18．已知
，数列
满足
，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n项和
.
19．如图，在三棱柱
中，点
在底面
内的射影恰好是点C，点D是
的中点，且
.
（1）证明：
；
（2）己知
，
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
20．已知函数
.
（1）当
时，求
的单调区间；
（2）若
对
恒成立，求a的取值范围.
21．在直角坐标系
中，抛物线
与直线
交于P，Q两点，且
.抛物线C的准线与x轴点交于点M，G是以M为圆心，
为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求
面积的取值范围.
22．在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中著名的有笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为
，
为该曲线上一动点.
（1）当
时，求
的直角坐标；
（2）若射线
逆时针旋转
后与该曲线交于点
，求
面积的最大值.
23．已知正数a，b，c，d满足
，证明：
（1）
；
（2）
.
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据复数乘法的运算法则，结合复数实部的定义进行求解即可.
【详解】
因为
，
所以
的实部为2，
故选：
D
2．A
【解析】
【分析】
利用诱导公式及二倍角正弦公式计算可得；
【详解】
解：
.
故选：
A
3．B
【解析】
【分析】
首先要理解A-B的含义，然后按照集合交并补的运算规则即可.
【详解】
因为
，
，所以
，
又因为
，所以
.
故选：
B.
4．B
【解析】
【分析】
求出切点坐标和斜率，即可求出切线方程.
【详解】
因为
，所以曲线
在点
处的切线的斜率为
，当x=1时，y=0,切点坐标为（1，0）.故所求切线方程为
.
故选：
B
5．C
【解析】
【分析】
求出
，直接判断C，把
代入回归方程可得系数
值，由
的正负判断A，由
代入回归方程得估计值，判断D.
【详解】
因为
，
，所以该回归直线一定经过点
，故
，解得
，即A，B正确，C不正确.
将
代入
，得
，故当此公司该种产品的年宣传费为20万元时，预测该种产品的年销售量为34800件，D正确.
故选：
C.
6．A
【解析】
【分析】
证明线面垂直,线线垂直，找到二面角
的平面角，再进行求解.
【详解】
因为
底面
，
平面
，所以
，又
，
，所以
平面
，因为
平面
，则
，所以二面角
的平面角为
.在
中，
，则
.故二面角
的大小为30°.
故选：
A
7．C
【解析】
【分析】
由程序框图可知
，解出x即可.
【详解】
由框图可知，该循环体需循环2次输出结果，∴输出
，
则
，解得
或
，故输入的实数x的取值共有3个.
故选：
C.
8．D
【解析】
【分析】
根据等差数列、等比数列的性质，结合对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】
因为
，所以①为真命题.
因为
，
，
，所以②为真命题.
因为
，所以
，
，
成等差数列，又
，所以③是假命题.
因为
，
，
，所以④为真命题.
故选：
D
9．B
【解析】
【分析】
由
求得
，再由
即可求得答案.
【详解】
∵
，
∴
，则
.
∴
，故
.
故选：
B.
10．C
【解析】
【分析】
先由图像求出
，根据平移得到
，直接求值域即可.
【详解】
由图像可以看出：
因为
，所以
.
因为
，所以
.
因为
，
且
，
所以
，
，
所以
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，所以
，
故
.
故选：
C
11．A
【解析】
【分析】
分组分配问题需要考虑重复；依题意要先分类，因为8个人分成3组人数上有不同的分法，再分配.
【详解】
根据题意，这8名志愿者人数分配方案共有两类：
第一类是2，2，4，第二类是3，3，2，
故不同的安排方法共有
种；
故选：
A.
12．A
【解析】
【分析】
方程
表示的曲线为圆
的左半部分和圆
的右半部分，数形结合求出
的最大值和最小值，进而求出比值.
【详解】
由
，得
.
因为
，所以
或
.
当
时，
；当
时，
.
所以方程
表示的曲线为圆
的左半部分和圆
的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，
取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，
取得最小值，且最小值为
.故
的最大值与最小值的比值是
.
故选：
A
13．
【解析】
【分析】
利用奇函数的性质，结合函数的解析式进行求解即可.
【详解】
因为
为奇函数，所以
，
故答案为：
14．
##0.4
【解析】
【分析】
根据正弦定理得a＝2c，再由余弦定理即可求
.
【详解】
∵
，∴根据正弦定理知，
，即
，
∵
，∴
，解得
.
故答案为：
.
15．
##
【解析】
【分析】
先求出圆锥底面圆半径，设冰块的底面圆半径为
，用
表达出冰块的体积，利用导函数求出冰块体积的最大值.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为
，圆柱形冰块的底面圆半径为
，高为
，由题意可得，
，解得
，
，设圆柱形冰块的体积为
，则
.设
，则
.当
时，
；当
时，
.所以
在
处取得极大值，也是最大值，
，故酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为
.
故答案为：
16．
##
【解析】
【分析】
根据椭圆方程直接求离心率即可，根据椭圆与双曲线的方程可得其共焦点，再根据椭圆和双曲线的定义即可得出答案.
【详解】
解：
M的离心率
，
设M的右焦点为
，因为
，且M与N的焦点都在x轴上，
所以椭圆M与双曲线N的焦点相同，
所以
，
，解得
.
故答案为：
；
.
17．
（1）0.1
（2）分布列见解析，数学期望为0.2
【解析】
【分析】
（1）由正态分布的对称性求解；
（2）X服从二项分布，求出相应的分布列及数学期望.
（1）
因为零件尺寸服从正态分布
.
所以
，
因为
，所以
.
（2）
依题意可得
，
所以
.
，
，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
0.81
0.18
0.01
所以
（或
）
18．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意可得
，再利用累加法求出
的通项公式；
（2）由
（1）可知
，即可得到
，利用裂项相消法求和即可；
（1）
解：
因为
，即
，
所以
，
，…，
，
以上各式相加得
，
又
，所以
.
当
时，
，
故
的通项公式为
.
（2）
解：
由
（1）知，
，
则
，
故
.
19．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）可证
平面
，从而可证
.
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出
的方向向量与平面
的法向量后可求线面角的余弦值.
（1）
证明：
∵点
在底面
内的射影是点C，
∴
平面
，∵
平面
，∴
.
在
中，
，∴
，
∵
，∴
平面
.
∵
平面
，∴
.
（2）
解：
在平面
内，过点B作
，则
平面
，
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，故
，
.
设平面
的法向量为
，
可取
.
又
，∴
，
∴直线
与平面
所成角的正弦值为
.
20．
（1）
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求解函数的单调区间；
（2）等价于
对
恒成立，设
，求出函数的最小值即得解；
（1）
解：
的定义域为
，
当
时，
.
当
时，
，则
的单调递减区间为
；
当
时，
，则
的单调递增区间为
.
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）
解：
由
对
恒成立，得
对
恒成立.
设
，则
.
当
时，
；当
时，
.
h（x）在
单调递减，在
单调递增
所以
，则
，
解得
，又
，
故a的取值范围是
.
21．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）依题意求出点P和点Q的坐标，用向量表示垂直，即可求得抛物线的方程；
（2）先求出抛物线上的切线方程，考虑点G在
上，求点G到直线AB的距离，以及AB的长度，即可
的面积范围.
（1）
依题意可设
，
，则
，
.
因为
，所以
，故
.
又
，所以
.
故抛物线C的方程为
；
（2）
现计算抛物线
在点
处的切线方程为
，
对抛物线方程
求导得
，在N点处的斜率为
，
在N点处的切线方程为
，整理得
；
设
，
，
，
则直线
，
的方程分别为
和
.
因为点G在直线
，
上，所以
，
两式相减得
，并由①得
，
直线AB的斜率为
，
所以直线AB的的方程为
，
整理得直线
的方程为
.
联立方程组
整理得
，
则
，
，
故
.
点
到直线
的距离
.
故
的面积
.
由题可知，
，
，则圆M的方程为
，
故
，
因为
，所以
，
所以
，故
面积的取值范围为
；
综上：
抛物线的方程为
，
面积的取值范围为
.
【点睛】
求直线AB的方程时，应尽可能使用变量
，而不是
，尽可能把
转化为
，
因为
存在符号问题，讨论符号会给计算带来很多的麻烦，
并且要巧用GA，GB联立的方程而不是解出方程.
22．
（1）
或
（2）
【解析】
【分析】
（1）令
，由此求得
的值，进而可求
的直角坐标.
（2）设出
两点极坐标，通过三角形面积公式求得
面积的表达式，
，将表达式转换为关于
的二次函数，即可求得
面积的最大值.
（1）
因为
，所以
，
，
因为
，所以
或
，所以
的极坐标为
或
，
故
的直角坐标为
或
（2）
设
，
，则
.表
因为
，
，
所以
.
令
，则
.
所以
，
当
时，
有最大值
，此时
，
，
故
的最大值为
.
23．
（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由基本不等式证明；
（2）由柯西不等式证明.
（1）
因为
，
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
又正数a，b，c，d满足
，所以
.
（2）
因为正数a，b，c，d满足
，
所以由柯西不等式，可得
，
当且仅当
，
时，等号成立，
故
.
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