最新数列知识点总结及题型归纳总结.docx
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最新数列知识点总结及题型归纳总结
高三总复习
数列
一、数列的概念
（1）数列定义：
按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位
置的叫第2项，……，序号为n的项叫第n项（也叫通项）记作an；数列的一般形式：
ai,a2,a3,,an,，简记作laj。
例：
判断下列各组元素能否构成数列
（1）a,-3,-1,1,b,5,7,9;
（2）2010年各省参加高考的考生人数。
（2）
｛a.｝的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就
通项公式的定义：
如果数列叫这个数列的通项公式。
例如：
①：
1,2,3,4,5
1111
②：
11…
2345
数列①的通项公式是an=n（n_7,n三N.）,
1
数列②的通项公式是an=—（n^N.）。
说明：
n
1：
an［表示数列，an表示数列中的第n项，an=fn表示数列的通项公式;
r_1n=2k_1
2同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。
例如，an=（-1）n='（k・Z）;
|+1,n=2k
3不是每个数列都有通项公式。
例如，1,1.4,1.41,1.414,……
（3）数列的函数特征与图象表示：
序号：
123456
项：
456789
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。
从函数观点看，数列
实质上是定义域为正整数集N.（或它的有限子集）的函数f（n）当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列
函数值f
（1）,f
（2）,f（3）,……,f（n）,……•通常用an来代替fn，其图象是一群孤立点。
例：
画出数列an=2n1的图像.
（4）数列分类：
①按数列项数是有限还是无限分：
有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：
单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：
下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？
（1）1,2,3,4,5,6,…
（2）10,9,8,7,6,5,…
（3）
1,0,1,0,1,0,…（4）a,a,a,a,a,…
S1（n=1）
例：
已知数列｛an｝的前n项和sn=2n2•3，求数列｛an｝的通项公式
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练习：
1•根据数列前4项，写出它的通项公式:
（1）1,3,5,7……;
（2）
22-1
32-1
42-152-1
2
3
4'5
（3）
1
1
11
1*2
2*3
。
3*4'4*5
（4）9，99,999,9999…
（5）7,77,777,7777,
2•数列玄［中，已知an
（nN）
（6）8,88,888,8888
（1）与出ai,,a2,a3,an+,an2；
2
（2）792是否是数列中的项？
若是，是第几项?
3
3•（2003京春理14,文15）在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（）内。
30
35
40
45
50
5560
6S
收堀压＜水锦桂
110
115
120
125
13S<>
14S
訐张压（:
水輾桂
70
73
75
73
80
83（）
38
4、由前几项猜想通项:
根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式
0•
二、等差数列
题型一、等差数列定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为an-an丄=d（n一2）或a..1-a*=d（n一1）。
例：
等差数列an2n—1，a^—anj：
题型二、等差数列的通项公式：
a^a1-（n-1）d；
说明：
等差数列（通常可称为AP数列）的单调性：
d0为递增数列，d=0为常数列，d0为递减数列。
例：
1.已知等差数列乩？
中，a7飞9=16,a4=1,贝Va12等于（）
A.15B.30C.31D.64
2.｛an｝是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果a^2005，则序号n等于
（A）667（B）668（C）669（D）670
3.等差数列an=2n-1,bn=-2n1，则a.为bn为（填“递增数列”或
“递减数列”）
题型三、等差中项的概念：
定义：
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
其中A=^-^
2
a+b
a,A,b成等差数列=A即卩：
2an.1二an•an-2（2an二an_m•an・m）
2
例：
1.（14全国I）设｛耳｝是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15,a1a2a^80,则a〔栢抬=（）
A.120B.105C.90D.75
2.设数列｛an｝是单调递增的等差数列，前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是（）
A.1B.2C.4D.8
题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列订,中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
（2）在等差数列:
a/f中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；
a--a
（3）在等差数列：
an中，对任意m,n•N.,an=am'（n-m）d,dnm（m=n）；
n-m
（4）在等差数列a'中，若m,n,p,q^N+且m+n=p+q，贝Ua^a^a<^aq；
题型五、等差数列的前n和的求和公式：
sn二n（a1an）二nar^二丄n2（a^-）n。
2222
（Sn=An2Bn（代B为常数）=乩:
堤等差数列）
递推公式：
（a〔+an）n（am*an4m4））n
Sn
22
（A）14（B）21
（C）28
（D）35
a7
例：
1.如果等差数列：
an匚中，a3a4a^12，那么a1a2
2.（2015湖南卷文）设Sn是等差数列沦】的前n项和，已知a2=3,11，则S7等于（）
A.13B.35C.49D.63
3.（2015全国卷I理）设等差数列faj的前n项和为Sn，若-72,则a2a4a9=
4.（2015重庆文）
（2）在等差数列fa/中，a「a9=10，则的值为（）
5.若一个等差数列前
A.13项
3项的和为34,最后3项的和为
B.12项
146，且所有项的和为
C.11项
390,则这个数列有（
D.10项
（A）5（B）6（C）8（D）10
6.已知等差数列tan｛的前n项和为Sn,若S12=21,则a2■a5a8a11口
7.（2014全国卷n理）设等差数列CaJ的前n项和为Sn，若a5=5a3则」二
S5
8.（2014全国）已知数列｛bn｝是等差数列，b1=1,山+/+…+bo=100.
（I）求数列｛bn｝的通项bn；
D.
9.已知an，数列是等差数列，a10=10，其前10项的和S10=70，则其公差d等于（）
C.
10.（2015陕西卷文）设等差数列
冋'的前n项和为Sn,若a6二S3=12,则务二
S
11.（2013全国）设｛an｝为等差数列，S为数列｛an｝的前n项和，已知S?
=7,乐=75,Tn为数列｛」｝
n
的前n项和，求Tn。
12.等差数列，an的前n项和记为Sn,已知a10=30,a20=50
①求通项an；②若Sn=242,求n
13.在等差数列｛a*｝中，
（1）已知S8=48,32=168,求d；
（2）已知a6=10,S5=5,求a8和S；（3）已知玄3*玄仆-40,求S17
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题型六•对于一个等差数列:
题型七•对与一个等差数列，Sn,£n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列。
例：
1.等差数列｛a｝的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）
A.130B.170C.210D.260
2.一个等差数列前n项的和为48,前2n项的和为60，则前3n项的和为。
3•已知等差数列a｛的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为
4.设Sn为等差数列◎，的前n项和，S4=14,Sw-S7=30,则S9=
10
题型八.判断或证明一个数列是等差数列的方法:
1定义法:
an1-an=d（常数）（n・N”）—6是等差数列
2中项法：
2an1=an■an2（n・N"）=‘勿•堤等差数列
3通项公式法：
an=kn（k,b为常数）=玄■是等差数列
4前n项和公式法：
Sn=An2Bn（A,B为常数）=是等差数列
例：
1.
已知数列｛an
｝满足an-an4
=2，则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
2.
已知数列｛an
｝的通项为an=
2n5，则数列｛an｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
3.
已知一个数列
｛an｝的前n项和Sn=2n2•4，则数列｛a.｝为（
）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
4.
已知一个数列
2
｛a*｝的前n项和Sn=2n，则数列｛a*｝为（）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列也不是等比数列
D.
无法判断
5.已知一个数列｛a.｝满足an2-2ania^0，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断
6.数列gn满足a1=8，a4=2，且an2-2an勺•an=0（n•N”）
①求数列2n1的通项公式；
7.（14天津理，2）设S是数列｛an｝的前n项和，且S=n2，则｛an｝是（）
A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列
题型九.数列最值
（1）ai0,d:
:
0时，Sn有最大值；ai：
：
：
0,d0时，Sn有最小值；
（2）Sn最值的求法：
①若已知Sn,Sn的最值可求二次函数&二an「bn的最值；
可用二次函数最值的求法（nEN+）；②或者求出｛an｝中的正、负分界项，即:
『an工0「an兰0
若已知an，则Sn最值时n的值（n•N.）可如下确定或
2佔兰02时兰0
例：
1.等差数列£n［中，a10,S9=S12，则前项的和最大。
2.设等差数列豪？
的前n项和为Sn,已知a3=12,S120,S13：
：
：
0
1求出公差d的范围，
2指出S1,S2/,S12中哪一个值最大，并说明理由。
3.（12上海）设｛an｝（n€N*）是等差数列，Sn是其前n项的和，且SvS,S=S>S，则下列结论错误.的是（）
A.dv0B.a7=0C.Sg>S5D.Sb与S7均为Sn的最大值
4•已知数列©｝的通项n_淫（nwN*）,则数列G｝的前30项中最大项和最小项分别是
n—V99
5.已知｛an｝是等差数列，其中ai=31，公差d二―8。
（1）数列｛an｝从哪一项开始小于0？
（2）求数列｛an｝前n项和的最大值，并求出对应n的值.
6.已知｛an｝是各项不为零的等差数列，其中日•0,公差d：
：
0,若S。
=0,求数列｛an｝前n项和的最大
值.
7.在等差数列｛an｝中，ai=25,S7二S9,求Sn的最大值.
[S（n=1）
题型十.利用an二求通项.
IS—（n启2）
2
1.数列｛an｝的前n项和Sn=n■1.
（1）试写出数列的前5项；
（2）数列｛內｝是等差数列吗？
（3）你能写出数列｛an｝的通项公式吗？
2•已知数列'an』的前n项和Sn=n2-4n■1则
2
3.设数列｛an｝的前n项和为S=2n，求数列｛an｝的通项公式；
A
4.已知数列也［中，a^3,前n和Sn=—（n1）（an1^1
2
1求证：
数列:
an［是等差数列
2求数列（an［的通项公式
5.（2015安徽文）设数列｛an｝的前n项和Sn二n2,则氏的值为（）
等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q=0），即：
an,:
那么这个数列就叫做等比数
an二q（q=0）。
、递推关系与通项公式
递推关系：
an1二anq
通项公式：
ana1qn4
推广：
an二amqZ
1•在等比数列、an中，a1=4,q=2，则an=
2.在等比数列＜an｝中，a7=12,q=逅，则a19=.
3.（2014重庆文）在等比数列｛◎｝中，32=8,31=64,,则公比q为（）
（A）2（B）3（C）4（D）8
4•在等比数列①冲，a^-2,a^54，则a8=
5.在各项都为正数的等比数列{a*}中，首项ai=3，前三项和为21,则a3■a4a^（
A33B72C84D189
比数列的必要而不充分条件
例：
1.2•和2一.3的等比中项为（
和Sn=（）
三、等比数列的基本性质,
（CT
1
（D）2
2.在等比数列
、anp?
，已知a^-5,agar。
-100,贝Ua^=
3.在等比数列"an，中，a1*6=33,aaa4=32,an-an1
①求an
②若「=lga1Iga?
-lgan,求Tn
4.等比数列｛an｝的各项为正数，且玄5玄6乜4玄7=18,则logs^•Iog3a2••logsag=（）
A.12B.10C.8D.2+|og35
log2ai-log2a^l|-Iog2a2ni二
22
A.n（2n-1）B.（n+1）C.n2D.（n-1）
2.前n项和公式
工na1（q=1）
Sn=2（1-q）_a1-anq（q式1）
i1一q1-q
例：
1.已知等比数列｛a*｝的首相a1=5，公比q=2，则其前n项和Sn=
1
2.已知等比数列｛an｝的首相a1-5，公比q，当项数n趋近与无穷大时，其前n项
2
和Sn
3.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn,已a2=6,6a1a^30，求an和Sn
4.（2015年北京卷）设f（n）=2•24•27•210•||（23n10（n・N），则f（n）等于（）
A.2（8n-1）B.2（8n1-1）C.2（8n3-1）D.2（8n4-1）
7777
5.（2014全国文，21）设等比数列｛an｝的前n项和为S,若S3+S6=2S,求数列的公比q；
6•设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为S,若S+1,Sn,S+2成等差数列，则q
A.2B.
3C.
D.3
2.一个等比数列前
的值为.
n项的和为48，前2n项的和为60,则前3n项的和为（
A.83B.108C.75D.63
3.已知数列a［是等比数列，且Sm=10,S2m=30,则S3m=
4.
（2）中项法：
an「=anant（an鼻0）=£n｝为等比数列；
（3）通项公式法：
an=kqn（k,q为常数）=•（an1为等比数列；
（4）前n项和法：
Sn=k（1—qn）（k,q为常数）=「an?
为等比数列。
Sn=k-kqn（k,q为常数）=Qn』为等比数列。
例:
1.已知数列｛an｝的通项为an=2n，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.
2
2.已知数列｛an｝满足an1二
A.等差数列B.等比数列
an=0），则数列｛an｝为（等差数列也不是等比数列D.
3.已知一个数列｛an｝的前n项和Sn=2-2n1，则数列｛an｝为（）
A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.
无法判断
）
无法判断
无法判断
a
■C
n
a
5.利用an
Si（n=1）
Sn-Sn」（n_2）
求通项.
等比数列的判定法
1
例：
1.（2015北京卷）数列｛an｝的前n项和为S,且ai=l,an计Sn,n=i,2,3,……，求a2,a3,a4
3
的值及数列｛an｝的通项公式.
2.（2015山东卷）已知数列、an?
的首项a^5,前n项和为Sn，且SnSn'n，5（n，N*），证明数
列1an1是等比数列.
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四、求数列通项公式方法
（1）•公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
例：
1已知等差数列｛an｝满足：
a3=7,a5a7=26，求an；
2.已知数列｛an｝满足a^i=2,an-an」=1（n_1），求数列｛an｝的通项公式;
3.数列满足a!
=8，a4=2,且a.七—2an卅+an=0（n），求数列的通项公式;
4.已知数列｛an｝满足a!
=2,二-=2，求数列?
的通项公式;an~+lan
求｛an｝的通项公式
11
5.设数列｛an｝满足a1=0且1，
1—an+1—an
6.已知数列｛an｝满足an二2an©=1，求数列｛an｝的通项公式。
an+2
2
7.等比数列｛an｝的各项均为正数，且2ai3a2=1,as=9a2a6，求数列｛an｝的通项公式
8.已知数列｛an｝满足a^2,a^3an^（n_1），求数列｛an｝的通项公式;
9.已知数列｛a.｝满足ai=2,a?
=4且a^-a*=anJ（n^N*），求数列的通项公式;
10.已知数列｛an｝满足ai=2,且an卅一5“十=2（an-5“）（n^N*），求数列£丿的通项公式;
11.已知数列｛a*｝满足31=2,且an#+5汉2“甲+2=3（a*+5汇2“+2）（n壬N*）,求数列｛aj的通项公
12.数列已知数列
1
/满足a^-
an=4an」1（n1）.则数列Can?
的通项公式
式；
（2）累加法
1、累加法适用于：
ananf（n）
a2-a1二f
（1）
a3—a^—f
（2）
若an1-an=f（n）（n一2），则山屮
an1-an-f（n）
n
两边分别相加得an1-a^\f（n）
k二
11
例：
1•已知数列｛an｝满足a1,an彳=an2，求数列｛an｝的通项公式。
24n—1
2.已知数列｛an｝满足and=an2n•1,a^1，求数列｛a.｝的通项公式。
3.已知数列｛an｝满足and-an-23n1,a^3，求数列｛an｝的通项公式。
4.设数列｛an｝满足ai=2,anv-a.=322n_l，求数列｛an｝的通项公式
（3）累乘法
适用于：
ani—f（n）an
若
an
ai
=f
（1）¥=f
（2），，川（，乩=f（n）
a2an
两边分别相乘得,
ai
n
ITf（k）
k=1
2
2•已知数列a:
满足ai：
3
an1
an
求an。
3.已知ai=3,an1
3n-1
3n2
an
（n—1），求an。
（4）待定系数法
适用于an^qanf（n）
解题基本步骤：
1、确定f（n）
2、设等比数列fan•lf（n）[，公比为
3、列出关系式an1n•1）仝2血7（n）]
4、比较系数求'1，'2
5、解得数列"£n」1f（n）1的通项公式
6、解得数列的通项公式
例：
1.已知数列｛an｝中，ai=1,an=2anA1（n_2），求数列（aj的通项公式。
2.（2015，重庆，文,14）在数列｛an｝中，若ai=1月卅=2an+3（n^1），则该数列的通项a.=
3.（2014.福建•理22.本小题满分14分）已知数列la」满足a^1,an^2an1（n・N*）.求数列冷僉的通
项公式；
4•已知数列｛an｝满足an2an35n，a^6，求数列laj的通项公式。
解：
设an1■x5n^2（an-x5n）
5.已知数列｛an｝满足an1=3an52n4，a^1，求数列｛an｝的通项公式。
解：
设an1'x2n1^3（anx2ny）
511n1
6•已知数列9n』中，ai,an1an（），求an
632
2
7.已知数列｛an｝满足an2an3n•4n•5,ai=1，求数列｛an｝的通项公式。
解：
设an「x（n1）2y（n1）■z=2（anxn2ynz）
8.已知数列｛an｝满足an^2an43心，印=1，求数列〔aj的通项公式。
递推公式为an.2二pandqan（其中p，q均为常数）。
先把原递推公式转化为an2「san彳=t（an彳「san）其中
s+t=p
s，t满足丿
st=—q
9.已知数列｛an｝满足an2=5an丫「6an,印=-1,a2=2，求数列｛an｝的
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