最新数列知识点总结及题型归纳总结.docx

1、最新数列知识点总结及题型归纳总结高三总复习数列一、数列的概念(1)数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 an，在数列第一个位置的项叫第 1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为 n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ； 数列的一般形式：ai, a2, a3, , an , ，简记作laj。例：判断下列各组元素能否构成数列(1)a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010年各省参加高考的考生人数。(2)a.的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就通项公式的定义：如果数列 叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 ,

2、 3 , 4, 51111：1 1 2 3 4 5数列的通项公式是 an = n ( n_7 , n三N .),1数列的通项公式是 an = ( nN .)。说明：n1：an 表示数列，an表示数列中的第n项，an = f n表示数列的通项公式;r_1 n = 2k _12同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，an= (-1)n= (kZ);|+1, n=2k3不是每个数列都有通项公式。例如， 1 , 1.4 , 1.41 , 1.414 ,(3)数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数

3、集的映射。 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N .(或它的有限子集)的函数 f (n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1),f(2), f(3),f(n),通常用an来代替f n，其图象是一群孤立点。例：画出数列an =2n 1的图像.(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：单调数列(递增数列、递减数列) 、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1 , 2, 3, 4, 5, 6, (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, (3)1,0, 1,0, 1,0,

4、(4)a, a, a, a, a, S1 (n = 1)例：已知数列an的前n项和sn = 2n2 3，求数列an的通项公式精品文档练习：1 根据数列前4项，写出它的通项公式:(1) 1 , 3, 5, 7;(2)22 -132 -142 -1 52 -1234 5(3)111 11*22*3 。3*4 4*5(4)9， 99, 999, 9999(5)7, 77, 777, 7777,2 数列玄中，已知an(n N )(6)8, 88, 888, 8888(1)与出 ai, , a2, a3, an +, an2 ；2（2） 792是否是数列中的项？若是，是第几项?33 （2003京春理14

5、,文15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（ ）内。303540455055 606S收堀压 水锦桂11011512012513S 14S訐张压（:水輾桂707375738083 ( )384、由前几项猜想通项:根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式0 二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为 an -an 丄=d(

6、n 一2)或 a. .1 -a* =d(n 一1)。例：等差数列an 2n1， a anj ：题型二、等差数列的通项公式： aa1 - (n -1)d ；说明：等差数列(通常可称为 A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d = 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 乩？中，a7飞9=16, a4 =1,贝V a12等于( )A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a1 =1，公差d =3的等差数列，如果 a 2005，则序号n等于(A) 667 ( B) 668 (C) 669 (D) 6703. 等差数列an =2n - 1,bn = -2n 1，

7、则a.为 bn为 (填“递增数列”或“递减数列”)题型三、等差中项的概念：定义：如果a , A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中 A=-2a + ba , A , b 成等差数列= A 即卩：2an .1 二 an an -2 ( 2an 二 an_m an m )2例：1. (14全国I )设耳是公差为正数的等差数列， 若a1+a2+a3=15 , a1a2a80 ,则a栢 抬 = ()A. 120 B . 105 C. 90 D . 752.设数列an是单调递增的等差数列，前三项的和为 12,前三项的积为48,则它的首项是( )A. 1 B.2 C.4 D.8题型四、等差

8、数列的性质：(1)在等差数列 订,中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；(2)在等差数列:a/f中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；a - - a(3)在等差数列：an 中，对任意 m , n N ., an = am (n - m)d , d n m (m = n)；n -m(4)在等差数列 a 中，若 m , n , p , qN+且 m + n = p + q，贝U aaaS，则下列结论错误.的 是（ ）A.d v 0 B.a7= 0 C.Sg S5 D.Sb与 S7均为 Sn 的最大值4 已知数列 的通项n _淫 （nw N *）,则数列 G 的前30项中最大项和最小项分别

9、是 n V995.已知an是等差数列，其中ai =31，公差d二8。（1） 数列an从哪一项开始小于0？（2） 求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.6.已知an是各项不为零的等差数列，其中 日 0 ,公差d ： 0 ,若S。= 0 ,求数列an前n项和的最大值.7.在等差数列an中，ai =25 , S7二S9 ,求Sn的最大值.S （n =1）题型十.利用an二 求通项.IS （n 启2）21.数列an的前n项和Sn = n 1 .（ 1）试写出数列的前 5项；（2）数列內是等差数列吗？（ 3）你能写出数 列an的通项公式吗？2已知数列 an的前n项和 Sn = n2 - 4n

10、1则 23.设数列an的前n项和为S=2n，求数列an的通项公式；A4.已知数列 也中，a3,前n和Sn = (n 1)(an 1121求证：数列:an 是等差数列2求数列(an 的通项公式5.(2015安徽文)设数列an的前n项和Sn二n2,则氏的值为()等比数列等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数. 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 q表示(q = 0)，即：an ,:,那么这个数列就叫做等比数an 二 q(q = 0)。、递推关系与通项公式递推关系：an 1二anq通项公式：an a1 qn4推广：an 二 amqZ1 在等比数

11、列、an 中，a1 = 4, q = 2，则an = 2. 在等比数列an中，a7=12,q=逅，则a19 = .3.(2014重庆文)在等比数列中，32= 8 , 31= 64,则公比q为()(A) 2 ( B) 3 ( C) 4 ( D) 84在等比数列 冲，a -2 , a54，则a8= 5.在各项都为正数的等比数列 a*中，首项ai =3，前三项和为21,则a3 a4 a (A 33 B 72 C 84 D 189比数列的必要而不充分条件例：1. 2 和2 一 .3的等比中项为(和 Sn =( )三、等比数列的基本性质,(CT1(D)22.在等比数列、an p?，已知 a - 5, a

12、gar。- 100 ,贝U a =3.在等比数列an，中，a1 *6 =33, aaa4 =32, an - an 1求an若=lga1 Iga? - lg an,求Tn4.等比数列an的各项为正数，且 玄5玄6乜4玄7=18,则logs Iog3a2 logsag =( )A . 12 B . 10 C . 8 D . 2+|og3 5log 2 ai - log 2 a l| - Iog2a2n i 二2 2A. n(2n-1) B. (n +1) C. n2 D. (n-1)2.前n项和公式工 na1 (q = 1)Sn = 2(1 -q ) _ a1 -anq (q 式 1)i 1 一

13、 q 1 - q例：1.已知等比数列a*的首相a1 = 5，公比q = 2，则其前n项和Sn = 12.已知等比数列an的首相a1 -5，公比q ，当项数n趋近与无穷大时，其前 n项2和Sn3.设等比数列an的前n项和为Sn ,已a2 =6, 6a1 a30，求an和Sn4. (2015 年北京卷)设 f (n) =2 24 27 210 |( 23n 10(n N)，则 f(n)等于( )A. 2(8n -1) B. 2(8n 1 -1) C . 2(8n 3-1) D . 2(8n 4-1)7 7 7 75. (2014全国文，21)设等比数列an的前n项和为S,若S3+ S6 = 2S,

14、求数列的公比q；6设等比数列an的公比为q,前n项和为S,若S+1,Sn, S+2成等差数列，则qA. 2 B.3 C.D.32. 一个等比数列前的值为 . n项的和为48，前2 n项的和为60,则前3n项的和为(A. 83 B . 108 C . 75 D . 633.已知数列 a 是等比数列，且Sm =10, S2m =30,则S3m = 4.（2 ）中项法：an=an ant （an鼻0）= n为等比数列；（3） 通项公式法：an =k qn （k,q为常数）=（an 1为等比数列；（4） 前n项和法：Sn =k（1qn） （ k, q为常数）=an ?为等比数列。Sn =k-kqn （

15、k,q为常数）=Qn为等比数列。例: 1.已知数列an的通项为an =2n，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.22.已知数列an满足an 1二A.等差数列 B.等比数列an = 0），则数列an为（ 等差数列也不是等比数列 D.3.已知一个数列an的前n项和Sn = 2 - 2n 1，则数列an为（）A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无法判断）无法判断无法判断a Cna5.利用anSi (n =1)Sn - Sn(n _ 2)求通项.等比数列的判定法1例：1. （2015北京卷）数列an的前n项和为S,且ai=l,

16、 an计 Sn, n=i, 2, 3, ，求a2, a3, a43的值及数列an的通项公式.2. （2015山东卷）已知数列、an?的首项a5,前n项和为Sn，且Sn Sn n，5（n，N*），证明数列1an 1是等比数列.精品文档四、求数列通项公式方法(1 )公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列an满足：a3 =7,a5 a7 =26，求an ；2.已知数列an满足ai = 2, an - an=1(n _ 1)，求数列an的通项公式;3. 数列满足a! =8，a4 =2,且a.七2an卅+an = 0 ( n )，求数列的通项公式;4.已知数列an满足a!

17、=2,二 -=2，求数列?的通项公式; an+l an求an的通项公式1 15.设数列an满足a1 =0且 1，1 an+ 1 an6.已知数列an满足an 二2an =1，求数列an的通项公式。 an +227.等比数列an的各项均为正数，且 2ai 3a2 =1, as =9a2a6，求数列an的通项公式8.已知数列an满足a2,a3an(n _ 1)，求数列an的通项公式;9.已知数列a.满足ai =2, a? = 4且a -a* =anJ ( n N *)，求数列的通项公式;10.已知数列an满足ai =2,且an卅一5“十=2(an-5“)( n N *)，求数列丿的通项公式;11.

18、已知数列a*满足31= 2,且an# +5汉2“甲+2 = 3(a* +5汇2“ +2) ( n壬N *),求数列aj的通项公12.数列已知数列1/满足a-an =4an1(n 1).则数列Can?的通项公式式；(2)累加法1、累加法适用于：an an f (n)a2 - a1 二 f (1)a3 a f (2)若 an 1 -an = f (n) (n 一2)，则山 屮an 1 - an - f (n)n两边分别相加得 an 1 -a f (n)k 二1 1例：1已知数列an满足a1 , an彳=an 2 ，求数列an的通项公式。2 4n 12.已知数列an满足an d = an 2n 1,

19、 a1，求数列a.的通项公式。3.已知数列an满足an d -an - 2 3n 1, a3，求数列an的通项公式。4.设数列an满足ai =2 , anv -a. =3 22n_l，求数列an的通项公式(3)累乘法适用于： anif( n)an若anai= f(1)=f (2)，川(，乩=f( n)a2 an两边分别相乘得,ainIT f(k)k=122已知数列 a :满足ai ：3an 1an求an。3.已知 ai = 3 , an 13n -13n 2an(n 1)，求 an。(4)待定系数法适用于 an qan f (n)解题基本步骤：1、 确定f(n)2、 设等比数列fan lf(n

20、)，公比为3、 列出关系式an1 n 1)仝2血 7 (n)4、 比较系数求1， 25、 解得数列n1f(n)1的通项公式6、 解得数列 的通项公式例：1.已知数列an中，ai =1,an =2anA 1( n_2)，求数列(aj的通项公式。2. (2015，重庆，文,14)在数列an中，若ai =1月卅=2an+3(n1)，则该数列的通项a.= 3.( 2014.福建理22.本小题满分14分)已知数列la满足a1,an2an 1( nN*).求数列 冷僉的通项公式；4已知数列an满足an 2an 3 5n，a 6，求数列laj的通项公式。解：设 an 1 x 5n 2(an - x 5n)5

21、.已知数列an满足an 1 =3an 5 2n 4，a1，求数列an的通项公式。解：设 an 1 x 2n 1 3(an x 2n y)51 1 n 16已知数列 9n中，ai , an 1 an ()，求an63 227.已知数列an满足an 2an 3n 4n 5, ai =1，求数列an的通项公式。解：设 anx(n 1)2 y(n 1) z = 2(an xn2 yn z)8.已知数列an满足an 2an 4 3心，印=1，求数列aj的通项公式。递推公式为an .2二pan d qan （其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为 an 2san彳=t（an彳san）其中s +t = ps，t满足丿st = q9.已知数列an满足an 2 =5an 丫6an,印=-1,a2 = 2，求数列an的