北师大版七年级上册满分冲刺突破数轴类动点问题综合四 1.docx

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北师大版七年级上册满分冲刺突破数轴类动点问题综合四1

北师大版七年级上册满分冲刺突破：

数轴类动点问题综合（四）

1．【探索新知】

如图1，点C将线段AB分成AC和BC两部分，若BC＝πAC，则称点C是线段AB的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．

（1）若AC＝3，则AB＝　　．

（2）若点D也是图1中线段AB的圆周率点（不同于C点），则AC　　DB．

【深入研究】

如图2，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动地滚动1周，该点到达点C的位置．

（3）若点M、N均为线段OC的圆周率点，求线段MN的长度；

（4）在图2中，点P、Q分别从点O、C位置同时出发，分别以每秒2个单位长度、每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，运动时间为t秒，点P追上点Q时，停止运动，当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，请直接写出t的值．

2．已知数轴上的A、B两点所对应的数分别为a、b．P为数轴上的一个动点．其中a，b满足（a﹣1）2+|b+5|＝0，

（1）若点P为AB的中点，求P点对应的数．

（2）若点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向左运动，t秒后，求P点所对应的数以及PB的距离．

（3）若数轴上点M、N所对应的数为m、n，其中A为PM的中点，B为PN的中点，无论点P在何处，

是否为一个定值？

若是，求出定值；若不是，请说明理由．

3．已知，数轴上有两点A、B对应的数分别为﹣1，5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．

（1）若点P到点A、B的距离相等，求点A、B的距离及x的值．

（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、B的距离之和最小？

若存在，请求出最小值；并求出取得最小值时x可以取的整数值；若不存在，说明理由．

（3）点A、B分别以3个单位长度/秒，2个单位长度/秒的速度向右运动，同时点P以4个单位长度/秒的速度从O点向左运动，当遇到A时，点P立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？

4．如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．

（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；

（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？

（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位/秒的速度也向左运动，请问：

当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为40个单位长度？

5．已知，如图A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是﹣18，点B对应的数为20．

（1）请直接写出线段AB的中点M对应的数．

（2）现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，在数轴上以3个单位/秒的速度向左运动．

请解答下面问题：

①试求出运动15秒时蚂蚁P到点A的距离．

②直接写出运动多少秒时P到B的距离是P到A的距离的2倍，并直接写出P点所对应的数．

6．已知数轴上点A、点B、点C所对应的数分别是﹣6，2，12．

（1）点M是数轴上一点，点M到点A、B、C三个点的距离和是35，直接写出点M对应的数；

（2）若点P和点Q分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向点C运动，P点到达C点后，立即以同样的速度返回点A，点Q到达点C即停止运动，求点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q相距2个单位长度？

7．已知数轴上两点A、B对应的数分别为﹣3、5，点P为数轴上一动点，且点P对应的数为x．

（1）若点P到点A、点B的距离相等，则点P对应的数为　　．

（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？

若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；

（3）现在点A、点B分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P以3个单位长度/秒的速度同时从O点向左运动，当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，求点P所对应的数是多少？

8．[新定义]：

A、B、C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离的3倍，我们就称点C是[A，B]的幸运点．

[特例感知]

（1）如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3．表示2的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的幸运点，

①[B，A]的幸运点表示的数是　　；

A．﹣1B.0C.1D.2

②试说明A是[C，E]的幸运点．

（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4，则[M，N]的幸运点表示的数为　　．

[拓展应用]

（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．有一只电子蚂蚁P从点B出发，以5个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B三个点中恰好有一个点为其余两点的幸运点？

9．【阅读理解】：

A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离CA是点C到B的距离CB的2倍，我们就称点C是（A，B）的好点．

例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离CA是2，到点B的距离CB是1，那么点C是（A，B）的好点；

又如，表示0的点D到点A的距离DA是1，到点B的距离DB是2，那么点D就不是（A，B）的好点，但点D是（B，A）的好点．

【知识运用】：

（1）如图1，表示数　　和　　的点是（A，B）的好点；

（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．

①　　表示数的点是（M，N）的好点；

②　　表示数的点是（N，M）的好点；

（3）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？

10．如图1，已知数轴上有三点A，B，C．点A，C对应的数分别是﹣40和20，点B是AC的中点．

（1）请直接写出点B对应的数：

　　；

（2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，点P，Q的速度分别为2个单位长度/秒，3个单位长度/秒，点E为线段PQ的中点．设运动的时间为t秒（t＞0）．

①当t为何值时，点B与点E的距离是5个单位长度？

②当点E在点A的右侧时，m▪AE+QC的值不随时间的变化而改变，请求出m的值．

参考答案

1．解：

（1）∵AC＝3，BC＝πAC

∴BC＝3π

∴AB＝AC+BC＝3π+3

故答案为：

3π+3．

（2）∵BC＝πAC

∴当BD＝AC时，有AD＝πBD

即点D是线段AB的圆周率点

故答案为：

＝．

（3）由题意可知，点C表示的数是π+1

若点M、N均为线段OC的圆周率点，不妨设M点离O点近，且OM＝x，则

x+πx＝π+1

解得：

x＝1

∴MN＝π+1﹣1﹣1＝π﹣1．

（4）由题意可知，点P、C、Q所表示的数分别为：

2t、π+1、π+1+t

当P、C、Q三点中某一点为其余两点所构成线段的圆周率点时，有以下四种情况：

①点P在点C左侧，PC＝πCQ

∴π+1﹣2t＝πt

解得：

t＝

；

②点P在点C左侧，πPC＝CQ

∴π（π+1﹣2t）＝t

解得：

t＝

；

③点P在点C、点Q之间，且πPC＝PQ

∴π（2t﹣π﹣1）＝π+1+t﹣2t

解得：

t＝

④点P在点C、点Q之间，且PC＝πPQ

∴2t﹣π﹣1＝π（π+1+t﹣2t）

解得：

t＝

．

∴符合题意的t的值为：

、

、

、

．

2．解：

（1）由（a﹣1）2+|b+5|＝0，

∴a＝1，b＝﹣5，

∴AB＝6，

∵点P为AB的中点，

∴P点对应为﹣2；

（2）P点t秒后运动距离2t，

∴P点表示1﹣2t，

PB＝|1﹣2t+5|＝|6﹣2t|＝

．

（3）设P点表示的数为x，

∵A为PM的中点，

∴x＝2﹣m，

∵B为PN的中点，

∴x＝﹣10﹣n，

∴2﹣m＝﹣10﹣n，

∴m﹣n＝12，

∵MN＝|m﹣n|＝12，

∴

＝

＝2，

∴

是一个定值，定值为2

．

3．解：

（1）∵两点A、B对应的数分别为﹣1，5，

∴点A、B的距离为：

5﹣（﹣1）＝6，

∵点P到点A、点B的距离相等，

∴x﹣（﹣1）＝5﹣x，

解得x＝2；

（2）当P点在A点左边时，PA+PB＝PA+PA+AB＝2PA+AB，

当P点在A与B点之间（包括A点和B点）时，PA+PB＝AB，

当P点在B点右边时，PA+PB＝AB+PB+PB＝AB+2PB，

∵2PA+AB＞AB，2PB+AB＞AB，

∴数轴上存在点P，使点P到点A、点B的距离之和最小，其最小值为AB＝6，

此时点P在线段AB上，

∴点P表示的数x的取值范围是﹣1≤x≤5，

∴x可以取的整数值为﹣1，0，1，2，3，4，5；

（3）设经过a秒钟点A与点B重合，根据题意得：

3a＝6+2a，

解得a＝6．

6×4＝24．

答：

点P所经过的总路程为24个单位长度．

4．解：

（1）M点对应的数是（100﹣20）÷2＝40，

答：

点M所对应的数是40；

（2）设t秒后相遇，由题意得：

5t+3t＝120，

解得：

t＝15，

所以点C对应的数为﹣20+3×15＝25，

答：

C点对应的数是25；

（3）设当它们运动x秒两只蚂蚁间的距离为40个单位长度，

相遇前：

5x﹣3x＝120﹣40，

解得：

x＝40，

相遇后：

5x﹣3x＝120+40，

解得：

x＝80，

答：

当它们运动40秒或80秒两只蚂蚁间的距离为40个单位长度．

5．解：

（1）∵点A对应的数是﹣18，点B对应的数为20，

∴线段AB的中点M对应的数为

＝1；

（2）①由题意可得：

运动15秒时蚂蚁P到点A的距离＝﹣18﹣（20﹣3×15）＝7；

②设经过x秒，P到B的距离是P到A的距离的2倍，

当点P在AB之间时，3x＝2（38﹣3x），

解得：

x＝

，

∴P点所对应的数为20﹣3×

＝﹣

．

当点P在点A左侧时，3x＝2（3x﹣38），

解得：

x＝

，

∴P点所对应的数为20﹣3×

＝﹣56，

综上所述：

当运动

s时，P点所对应的数为﹣

，当运动

s时，P点所对应的数为﹣56．

6．解：

设点M对应的数为x，

当点M在点A左侧，由题意可得：

12﹣x+2﹣x+（﹣6）﹣x＝35，

解得x＝﹣9，

当点M在线段AB上，由题意可得：

12﹣x+2﹣x+x﹣（﹣6）＝35，

解得：

x＝﹣15（不合题意舍去）；

当点M在线段BC上时，由题意可得12﹣x+x﹣2+x+6＝35，

解得：

x＝19（不合题意舍去）；

当点M在点C右侧时，由题意可得：

x﹣12+x﹣2+x+6＝35，

解得：

x＝

，

综上所述：

点M对应的数为﹣9或

；

（2）设点P运动x秒时，点P和点Q相距2个单位长度，

点P没有到达C点前，由题意可得：

|3x﹣（8+x）|＝2，

解得：

x＝5或3；

点P返回过程中，由题意可得：

3x﹣18+8+x+2＝18或3x﹣18+8+x＝18+2，

解得：

x＝

或

；

综上所述：

当点P运动5或3秒或

或

时，点P和点Q相距2个单位长度．

7．解：

（1）依题意，得：

5﹣x＝x﹣（﹣3），

解得：

x＝1．

故答案为：

1．

（2）当x＜﹣3时，﹣3﹣x+5﹣x＝10，

解得：

x＝﹣4；

当﹣3≤x≤5时，x﹣（﹣3）+5﹣x＝8≠10，不符合题意，舍去；

当x＞5时，x﹣5+x﹣（﹣3）＝10，

解得：

x＝6．

答：

数轴上存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10，x的值为﹣4或6．

（3）当运动时间为t秒时，点A对应的数为2t﹣3，点B对应的数为t+5，点P对应的数为﹣3t，

依题意，得：

|2t﹣3﹣（t+5）|＝2，

即t﹣8＝﹣2或t﹣8＝2，

解得：

t＝6或t＝10．

当t＝6时，﹣3t＝﹣18；

当t＝10时，﹣3t＝﹣30．

答：

当点A与点B之间的距离为2个单位长度时，点P所对应的数是﹣18或﹣30．

8．解：

（1）①由题意可知，点0到B是到A点距离的3倍，

即EA＝1，EB＝3，

故选B．

②由数轴可知，AC＝3，AE＝1，

∴AC＝3AE，

∴A是【C，E】的幸运点．

（2）设【M，N】的幸运点为P，T表示的数为p，

∴PM＝3PN，

∴|p+2|＝3|p﹣4|，

∴p+2＝3（p﹣4）或p+2＝﹣3（p﹣4），

∴p＝7或p＝2.5；

故答案为7或2.5；

（3）由题意可得，BP＝5t，AP＝60﹣5t，

①当P是[A，B]的幸运点时，PA＝3PB，

∴60﹣5t＝3×5t，

∴t＝3；

②当P是[B，A]的幸运点时，PB＝3PA，

∴5t＝3×（60﹣5t），

∴t＝9；

③当A是[B，P]的幸运点时，AB＝3PA，

∴60＝3×（60﹣5t），

∴t＝8；

④当B是[A，P]的幸运点时，AB＝3PB，

∴60＝3×5t，

∴t＝4；．

∴t为3秒，9秒，8秒，4秒时，P、A、B中恰好有一个点为其余两点的幸运点..

9．解：

（1）设所求数为a，由题意得

a﹣（﹣1）＝2（a﹣2），或a﹣（﹣1）＝2（2﹣a）

解得：

a＝5或1，

故答案为：

5，1；

（1）①设所求数为x，由题意得

x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），或x﹣（﹣2）＝2（x﹣4），

解得：

x＝2或10；

故答案为：

2，10；

②设所求数为x，由题意得

2[（﹣2）﹣x]＝4﹣x或2[x﹣（﹣2）]＝4﹣x，

解得：

x＝﹣8或0，

故答案为：

﹣8或0；

（2）设点P表示的数为y，分四种情况：

①P为（A，B）的好点．

由题意，得（40﹣2t）﹣（﹣20）＝2×2t，

解得；t＝10s

②P为（B，A）的好点．

由题意，得2[（40﹣2t）﹣（﹣20）]＝2t，或2t＝2[﹣20﹣（40﹣2t）]

解得t＝20s或60s

t＝20÷10＝2（秒）；

③B为（A，P）的好点，

由题意得：

40﹣（﹣20）＝2×2t，

解得t＝15s，

④B为（P，A）的好点，

由题意得：

2t＝2[40﹣（﹣20）]

t＝60s，

⑤A为（P，B）的好点，

根据题意可得：

2t﹣60＝2×60，

∴t＝90

⑥A为（B，P）的好点，

60＝2（60﹣2t）或60＝2（2t﹣60），

∴t＝15或45

综上可知，当t为10秒或20秒或60秒或15秒或90秒或45秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．

10．解：

（1）点B对应的数是﹣10；

故答案为：

﹣10

（2）①PB＝AB+AP＝﹣10﹣（﹣40）+2t＝30+2t

PQ＝20﹣（﹣40）+2t﹣3t＝60﹣t，

∵E是PQ的中点，

∴PE＝

PQ＝

（60﹣t）＝30﹣

t

当E在B的左侧时，

BE＝PB﹣PE＝30+2t﹣（30﹣

）＝

BE＝

t＝5，

∴t＝2，

当E在B的右侧时

∴BE＝PE﹣PB＝30﹣

t﹣（30+2t）＝

t

∴BE＝

t＝5，

∴t＝﹣2

答：

当t＝2时，点B与点E的距离是5个单位长度．

②依题意，得：

AE＝

+40＝30﹣

t，

QC＝3t，

∴mAE+QC＝m（30﹣

t）+3t＝30m+（

m+3）t，

∵mAE+QC的值不随时间的变化而改变

∴

m+3＝0，

解得：

m＝

；，

答：

当m＝

时，mAE+QC的值不随时间的变化而改变