3．已知：
如图1-8，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？
为什么？
1-9
例3已知：
如图1-9，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC的中点，那么△BMN是等边三角形吗？
说明理由．
分析要说明一个三角形是等边三角形，只要能够证明这个三角形满足“三条边相等或三个角相等或一个角是60°的等腰三角形”即可．本题只需利用三角形全等证得BM=BN，且∠MBN=60°即可．
练习3
1．已知：
如图1-10，在等边三角形ABC中，BD=CE=AF，AD与BE交于G，BE与CF交于H，CF与AD交于K，试判断△GHK的形状．
1-10
2．已知：
如图1-11，△ABC是等边三角形，E是AC延长线上的任意一点，选择一点D，使△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，那么△CMN是等边三角形吗？
为什么？
1-11
3．已知：
如图1-12，等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，则以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形，请说明理由．
1-13
例4已知：
如图1-13，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=100°，∠ABC的平分线交AC于E，试比较AE+BE与BC的大小？
分析说明一条线段的长是否等于其他两条线段长的和，常常采用截取等长线段的方法，将那些本来没有关系的线段放在条线段上，这样可迎刃而解．
解：
在BC上截取BF=BE，BD=BA，连结FE、DE，
练习4
1．如图1-14，在△ABC中，AB=AC，P为底边BC上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，那么PD+PE与CF相等吗？
2．已知：
如图1-15，△ABC和△ADE都是等边三角形．B、C、D在一条直线上，说明CE与AC+CD相等的理由．
3．已知：
如图1-16，△ABC是等边三角形，延长AC到D，以BD为一边作等边三角形BDE，连结AE，则AD_______AE+AB．（填“>”或“＝”或“<”）
1-16
1-17
例5已知：
如图1-17，△ABC中，AB=AC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD=AB，那么CE是CD的几分之几？
分析延长线段到倍长，再证明三角形全等，往往是说明线段倍分关系的重要途径和必要手段．
解：
延长CE到F，使EF=CE，连结BF，CE是AB的中线，∴AE=EB．
练习5
1．如图1-18，D、E分别是等边三角形ABC两边BC、AC上的点，且AE=CD，连结BE、AD交于点P．过B作BQ⊥AD于Q，请说明BP是PQ的2倍．
1-18
2．如图1-19，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，那么CE是BD的几分之几？
1-19
3．已知：
如图1-20，在△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们相交于H，且AE=BE，那么AH是BD的________倍．
1-20
答案:
练习1
1．解：
设∠DEC=x，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴x=∠AEC-∠ADE=（∠B+30°）-∠ADE=（∠B+30°）-（∠C+x）
∵AB=AC，∴∠B=∠C
∴2x=30°，x=15°，故选C．
2．解：
∵AB=BB′，
∴∠BAB′=∠BB′A，∠B′BD=∠BAB′+∠BB′A=2∠BAB′．
又∠CBB′=∠DBB′，
∴∠ACB=∠CBB′+∠CB′B=3∠CAB．
设∠CAB=x，∴∠ACB=3x，∠CBD=4x，又AA′=AB，
∴∠A′=∠ABA′=∠CBD=4x．
∵AA′平分∠EAB．
∴∠A′AB=
（180°-x）．
又∠A′AB=180°-（∠A′+∠ABA′）=180°-8x
∴
（180°-x）=180°-8x．
∴x=12°，故∠ACB=36°．
3．解：
如图，作△AED≌△BAC，连结EC．
则∠AED=∠BAC=20°，
∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°．
∴∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°．
又∵AB=AE=AC，
∴△ACE是正三角形，AE=EC=ED．
∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°．
∴∠EDC=
（180°-∠DEC）=70°．
∴∠BDC=180°-（∠ADE+∠EDC）=30°．
练习2
1．解：
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠FEC=90°．
在Rt△DEB与Rt△FEC中，
∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F．
∵∠FDA=∠BDE，
∴∠FDA=∠F，故AD=AF．
2．解：
以AD为边在△ADB内作等边△ADE，连结BE．
则∠1=∠2=∠3=60°．
∴AE=ED=AD．
∵∠DAC=15°，
∴∠EAB=90°-∠1-∠DAC=15°．
∴∠DAC=∠EAB．
又∵DA=AE，AB=AC，
∴△EAB≌△DAC．
∴∠EBA=∠DCA=15°．
∴∠BEA=180°-∠EBA-∠EAB=150°．
∵∠BED=360°-∠BEA-∠AED=150°．
∴∠BEA=∠BED．
又∵EB=EB，AE=ED．
∴△BEA≌△BED，∴BD=BA．
故选择C．
3．解：
延长AD到G，使DG=AD，连结BG，
∵BD=DC，∠BDG=∠CDA，AD=DG，
∴△ADC≌△BDE．
∴AC=BG，∠G=∠EAF，
又∵BE=AC，∴BE=BG．
∴∠G=∠BED，而∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，故FA=FE．
练习3
1．解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA
∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
又∵BD=AF=CE，
∴△ABD≌△BCE≌△CAF．
∴∠1=∠2=∠3．
∴∠BAC-∠1=∠ABC-∠2=∠ACB-∠3．
即∠CAK=∠ABG=∠BCH．
又∵AB=BC=CA，
∴△ABG≌△BCH≌△CAK．
∴∠AGB=∠BHC=∠CKA．
即∠KGH=∠GHK=∠GKH．
故△GKH是等边三角形．
2．解：
由于△ABC与△CDE均为等边三角形，A、C、E三点共线，得知：
CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，
故△ACD≌△BCE．
∴∠ADC=∠BEC，AD=BE．
又DM=
AD，EN=
BE，
∴△DCM≌△ECN．
∴∠DCM=∠ECN，CM=CN．
又∠ECN+∠NCD=∠ECD=60°，
∴∠NCM=∠MCD+∠NCD=60°．
∴△CMN是等边三角形．
3．解：
连结BP．
∵△ABC与△CDP均为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CP，∠ACB=∠DCP=60°．
∴∠1=∠2，
∴△ADC≌△BPC．
∴∠CBP=∠DAC=60°．
∵∠RBP=∠RBA+∠ABC+∠CBP=60°+60°+60°=180°，
∴R、B、P三点共线．
又∵∠RAQ=∠RAB+∠BAC+∠CAQ=60°+60°+60°=180°，
∴R、A、Q三点共线．
而AQ=AE=AD=BP，
∴RQ=RA+AQ=RB+BP=RP．
又∠R=60°，∴△PQR是等边三角形．
故以P、Q、R为顶点的三角形是等边三角形．
练习4
1．解：
∵S△ACB=S△APB+S△APC，
即
AB·CF=
AB·PD+
AB·PE．
∴CF=PD+PE．
2．解：
∵AC=AB，∠CAE=∠BAD，AE=AD，
∴△AEC≌△ADB．
∴CE=BD．
又∵BD=BC+CD=AC+CD．
∴CE=AC+CD．
3．解：
∵△ABC和△BDE均为等边三角形．
∴∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD，AB=BC，BE=BD．
∴△ABE≌△CBD．
∴AE=CD．又∵AB=AC，
∴AD=AC+CD=AB+AE．
练习5
1．解：
∵∠CAB=∠C=60°，AE=CD，AB=AC，∴△ADC≌△BEA，∴∠CAD=∠EBA．
又∠BPQ=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠CAD=60°，
∴在Rt△PQB中，∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ．
2．解：
延长CE交BA的延长线于F，
∵∠1=∠2，∠BEC=∠BEF=90°，BE=BE，
∴△BEC≌△BEF．
∴BC=BF，CE=EF，
∴CE=
CF．
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∠3=∠4，
∴∠2=∠5，且AB=AC．
∴Rt△AFC≌Rt△ADB．
∴CF=BD．故CE=
BD．
3．解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，∠DAC+∠C=90°．
又∵BE⊥AC，∴∠EBC+∠C=90°．
∴∠DAC=∠EBC．
在△AEH和△BEC中，
∵∠DAC=∠EBC，AE=BE．
∠AEH=∠BEC=90°，
∴△AEH≌△BEC，∴AH=BC．
又BC=2BD，故AH=2BD．
2019-2020年中考数学专题练习统计与概率
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．要反映某地方某一周中每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A．条形统计图B．扇形统计图
C．折线统计图D．频数分布统计图
2.一组数据3，3，4，2，8的中位数和平均数分别是（ ）
A．3和3B.3和4
C.4和3D．4和4
3.一组数据：
12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（）
A．平均数是9B．中位数是9
C．众数是5D．极差是5
4.下列说法错误的是（ ）
A．必然事件的概率为1
B．数据1、2、2、3的平均数是2
C．数据5、2、－3、0的极差是8
D．如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖
5.袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别.从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（）
A.3个B.不足3个
C.4个D.5个或5个以上
6.在一个不透明的口袋中，装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，它是红球的概率是（ ）
A．
B．
C．1D．
7.口袋中装有若干个只有颜色不同的球，如果有4个红球，且摸出红球的概率为
，那么袋中共有球的个数为（）
Ａ．6个Ｂ．9个
Ｃ．10个Ｄ．12个
8.小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为
、乙立方体朝上一面朝上的数字为
，这样就确定点P的一个坐标（
），那么点P落在双曲线
上的概率为（）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：
（每小题3分，共24分）
9.数据1，2，3，4，5的平均数是.
10.某车间5名工人日加工零件数分别为6，10，4，5，4，则这组数据的中位数是.
11.某校篮球队12名同学的身高如下表：
身高（㎝）
180
186
188
192
195
人数
1
2
5
3
1
则该校篮球队12名同学身高的众数是.
12.为测试两种电子表的走时误差，做了如下统计：
平均数
方差
甲
0.4
0.026
乙
0.4
0.137
则这两种电子表走时稳定的是 ．
13.某初中学校的男生、女生以及教师人数的扇形统计图如图，若该校男生、女生以及教师的总人数为1200人，则根据图中信息，可知该校教师共有人.
14.有一个能自由转动的转盘如图，盘面被分成8个大小与性状都相同的扇形，颜色分为黑白两种，将指针的位置固定，让转盘自由转动，当它停止后，指针指向白色扇形的概率是．
第13题图第14题图
15.五张分别写有－1，2，0，－4，5的卡片（除数字不同以外，其余都相同），现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是 ．
16.为估算湖里有多少条鱼，先捕上100条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有条鱼.
三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）：
17.（本题4分）已知一组数据4，13，24的权数分别是
，试求这组数据的加权平均数．
18.（满分4分）为了解居民的用水情况，小莹同学对小区300户家庭用水情况进行了抽样调查，他在300户家庭中，随机调查了50户家庭5月份的用水量情况，结果如图．
⑴.试估计该小区5月份用水量不高于12吨的户数占小区总户数的百分比；
⑵.把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～6的中间值为3）来替代，估计该小区5月份的用水量．
19.（满分6分）下表是初三某班女生的体重检查结果：
体重（kg）
34
35
38
40
42
45
50
人数
1
2
5
5
4
2
1
根据表中信息，回答下列问题：
⑴.该班女生体重的中位数是；
（2）.该班女生的平均体重是kg；
（3）.根据上表中的数据补全条形统计图．
20.（满分6分）学校举行舞蹈比赛，主要从服装、队伍、效果三个项目．按服装占
，队伍占
，效果占
计算加权平均数，作为最后评定的总成绩．
九⑴.班和九⑵.班的各项成绩如下表：
参赛班级
服装
队伍
效果
九⑴.班
70
80
88
九⑵.班
80
75
⑴.计算九⑴.班的总成绩；
⑵.若九⑵.班要在总成绩上超过小明同学，则他们的效果分
应超过多少分？
21.（满分6分）“中国梦”是中华民族每一个人的梦，也是每一个中小学生的梦，各中小学开展经典诵读活动，无疑是“中国梦”教育这一宏大乐章里的响亮音符，学校在经典诵读活动中，对全校学生用A、B、C、D四个等级进行评价，现从中抽取若干个学生进行调查，绘制出了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）共抽取了多少个学生进行调查？
（2）将图甲中的折线统计图补充完整．
（3）求出图乙中B等级所占圆心角的度数．
22.（满分8分）网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注，有关部门在全国范围内对12－35岁的网瘾人群进行了简单的随机抽样调查，得到了如图的两个不完全统计图．
请根据图中的信息，解决下列问题：
⑴.求条形统计图中a的值；
⑵.求扇形统计图中18－23岁部分的圆心角；
⑶.据报道，目前我国12－35岁网瘾人数约为2000万，请估计其中12－23岁的人数
23.（满分8分）一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个，这些球除颜色外都相同，求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是是红球；
24.（满分10分）株洲市通过网络投票选出了一批“最有孝心的美少年”．根据各县市区的入选结果制作出如下统计表，后来发现，统计表中前三行的所有数据都是正确的，后三行中有一个数据是错误的．请回答下列问题：
⑴.统计表中
＝ ，
＝ ；
⑵.统计表后三行中哪一个数据是错误的？
该数据的正确值是多少？
⑶.株洲市决定从来自炎陵县的4位“最有孝心的美少年”中，任选两位作为市级形象代言人．A、B是炎陵县“最有孝心的美少年”中的两位，问A、B同时入选的概率是多少？
统计与概率
1～8:
CBDDDADC；9.3；10.5；11.188；12.甲；13.108；14.
；15.
；16.1000；17.
；18.
（1）52%；
（2）3960吨19.
（1）40，
（2）40.1；（3）.图略；20.
（1）83；
（2）90；21.⑴
人；⑵.图略；⑶.
；22.⑴.
；⑵.
；⑶.1000万；23.
（1）
；
（2）
；24.⑴0.1，6 ； ⑵.0.25，0.3； ⑶.
。
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