树和图.docx

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树和图

树和图

树是一种重要的非线性数据结构。

它是由n（n>0）个节点组成的有限集合。

n=0时，称为空树

n>0时，这个树当中至少包含一个节点。

这个时候树的顶端的节点称为根节点。

每颗非空的树，有且只能有一个根节点

除根之外，其余节点可分为若干个互不相交的子集，每个子集本身又是一棵树，称为根的子树。

我们把节点拥有子树的数量称为这个节点的度。

例如上图：

A有两棵子树，所以A的度数为2

B节点度数为3

度数为0的节点我们称为叶子节点（叶节点）

在树当中所有节点中的最大度数称为这颗树的度

上图所示最大度数是3

在一个树当中节点的数量之和总是等于节点的度数之和加上1

树中描述一个节点与根节点的距离：

层

节点的层反映该节点在树中的位置

在树中任意一个层数为k（k>0）的节点B都有一个层数为k-1的结点A与之对应，B称为A的子节点，A称为B的父节点。

同一个节点的孩子互称兄弟

如果两个节点的父节点不同，但是在同一层次上，那么他们互称堂兄弟

树中各个节点之间的连线称为边

在树中从一个节点移动到另一个节点，所经过的节点顺序称为路径

从一个树的根节点到树中任意的其他节点，总是存在唯一的路径

树的根节点到树中叶节点的最长路径的长度称为树的高

高度为3

在一棵树当中如果所有节点的子树从左到右都是有次序的，那么称这棵树为有序树。

度数为M的有序树，我们称为M叉树。

森林是指N（n为自然数）个互不相交的树的集合。

森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。

树和森林的概念相近。

删去一棵树的根，就得到一个森林；反之，加上一个结点作树根，森林就变为一棵树。

二叉树

每个节点的度数均不超过2的有序树称为二叉树。

不是二叉树，因为B节点度数为3，去掉其中任意一个就变为了二叉树。

二叉树的特点

●每个节点最多有两个子节点，度数最大为2

●节点的子树有左右之分，左边的称为左子树，右边的称为右子树。

●在第i层上，最多有2i个节点

二叉树当中叶子节点数量为n0（也就是说度数为0的节点的数量为n0）

度数为2的节点数量为n2

总结点数：

n

度数为1的节点数量：

n1

1、n=n0+n1+n22、n=1Xn1+2Xn2+1

●如果一个二叉树叶节点数量为n0，度数为2的节点数量为n2，则n0=n2+1

●高度为H（H>=0）的二叉树最多有2H+1-1个节点。

（满足这个条件的二叉树我们称为满二叉树）

完全二叉树

满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树

完全二叉树就是：

如果我们在一个满二叉树的最下层，从右向左连续删除若干个叶子节点。

二叉树的存储结构

二叉树的存储结构分为:

●顺序存储

●链式存储

顺序存储：

只适合于满二叉树和完全二叉树

如果把完全二叉树的第i个节点存放在数组的第i个元素当中，那么他的父节点存储在第二分之i个位置。

他的左孩子存放在第2i个位置，右孩子存储在第2i+1个位置。

如果i是奇数，就直接取整。

在存储的非完全二叉树的时候，给他补齐空节点形成一个完全的二叉树，再根据我们的规律对实际节点进行存储，但是这样会造成资源的浪费。

这也是顺序存储的缺点。

链式存储：

例如：

二叉链表

遍历二叉树

什么叫二叉树的遍历？

二叉树的遍历是指以某种次序访问二叉树中的所有节点，并且使每个节点恰好只被访问一次。

（讨论的遍历方法都是二叉树不为空的情况）

二叉树的遍历分为：

●先序遍历

●中序遍历

●后序遍历

这三种遍历都是针对根节点来说的，也就是说先、中、后的顺序访问根节点。

先序遍历：

在遍历的过程当中，遵循三个步骤：

访问根节点

先序访问左子树（在访问左子树也要遵循先序的原则）

先序访问右子树（在访问右子树也要遵循先序的原则）

中序遍历：

在遍历的过程当中，遵循三个步骤：

中序访问左子树

访问根节点

中序访问右子树

后序遍历：

在遍历的过程当中，遵循三个步骤：

后序访问左子树

后序访问右子树

访问根节点

二叉树的遍历视频演示

图

定义：

图是一种重要的非线性数据结构，它由非空的顶点集合和一个描述顶点之间相互关系（边）的有限集合组成。

图可以用二元组定义为：

G=（V,E）

其中：

G表示一个图,V表示图中顶点的集合,E表示图中边的集合。

顶点的度是指起源于该顶点的边数。

路径

路径：

从顶点A出发经过图中其他的顶点，以及边。

到达顶点D的一个顶点序列。

并且在这个顶点序列当中，任何相邻的两个顶点之间都要有边相连。

路径上边的数量称为路径的长度

顶点V1到Vn的路径是指顶点序列V1，V2，V3….Vn，其中（V1，V2），（V2，V3）….（Vn-1,Vn）均为图中的边

在图当中我们截取图的一部分，就构成了图的子图：

在子图当中顶点的集合是原图当中顶点集合的子集。

子图边的集合也是原图边集合的子集。

在图中从一个顶点到另外一个顶点他们之间有路径，就说这个两个顶点是连通的。

在图中任意的两个顶点都是连通的图称为连通图。

权：

有些图的边附带有数据信息，这些附带的数据信息称为权。

带权的图也称为网络或网就是带权图。

图常用的存储结构有：

●邻接矩阵

●邻接表

●十字链表

●邻接多重表

邻接矩阵：

也叫数组表示法，它用来表示图中顶点之间的邻接关系。

无权图的邻接矩阵

用矩阵表示过后就是这样

无权图中只包含两种数字0和1，0表示没有边邻接的，1表示有边将两个顶点相邻接的

有权图的邻接矩阵

图的邻接矩阵视频演示

图的遍历

图的遍历也称搜索，是指从图的某个顶点出发，按照某种方法对图中的所有其他顶点进行访问，且使每个顶点仅被访问一次。

深度优先搜索

基本思想：

从某一顶点出发，沿着一条路一直搜索下去，直到不能在前进为止。

这个时候，我们再从原来的这个顶点出发，沿着另外一条路径继续搜索下去，直到在不能前进为止。

广度优先搜索

必须要遵循的一个原则：

要使先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问

总结