三角形问题的常用辅助线作法.docx

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三角形问题的常用辅助线作法

三角形问题的常用辅助线作法

一、由角平分线想到的辅助线

（一）、截取构全等

（二）、过角分线上的点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

（三）、作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

（四）、过角平分线上一点作角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

如图4-1和图4-2所示。

二、由中点想到的辅助线

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

（二）、由中线应想到延长中线（倍长中线）

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（三）、由中点应想到利用三角形的中位线

（四）、直角三角形斜边上的中线性质

三、全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

（一）、截长补短：

具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

（二）、借助角平分线造全等：

可自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

（三）、倍长中线（线段）造全等：

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

（四）、平移变换：

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

（五）、旋转

（六）、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

（七）、特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）

三角形问题的常用辅助线作法

一、由角平分线想到的辅助线

（一）截取构全等

例1．

如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：

BC=AB+CD。

例2．已知：

如图1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求证：

AB-AC=CD

练习

1、已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求证：

AB+BD=AC

2、已知：

在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求证：

AE=2CE

（二）、过角分线上的点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1．如图2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求证：

∠ADC+∠B=180 

例2．如图2-2，在△ABC中，∠A=90 ，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

求证：

BC=AB+AD

例3．

已知如图2-3，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。

求证：

∠BAC的平分线也经过点P。

练习：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA，PD⊥OA，

如果PC=4，则PD=（）

A4B3C2D1

2．已知在△ABC中，∠C=90 ，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：

如图2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，

AE=

（AB+AD）.求证：

∠D+∠B=180 。

4.已知：

如图2-6,在正方形ABCD中，E为CD的中点，F为BC上的点，∠FAE=∠DAE。

求证：

AF=AD+CF。

5、已知：

如图2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90 ,CD⊥AB，垂足为D，AE平分∠CAB交CD于F，过F作FH//AB交BC于H。

求证CF=BH。

（三）、作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1．

已知：

如图3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。

求证：

DH=

（AB-AC）

例2．

已知：

如图3-2，AB=AC，∠BAC=90 ，AD为∠ABC的平分线，CE⊥BE.求证：

BD=2CE。

例3．已知：

如图3-3在△ABC中，AD、AE分别∠BAC的内、外角平分线，过顶点B作BFAD，交AD的延长线于F，连结FC并延长交AE于M。

求证：

AM=ME。

例4．已知：

如图3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延长线于M。

求证：

AM=

（AB+AC）

练习：

1、已知：

在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中点，AE是∠BAC的平分线，

且CE⊥AE于E，连接DE，求DE。

2、已知BE、BF分别是△ABC的∠ABC的内角与外角的平分线，AF⊥BF于F，

AE⊥BE于E，连接EF分别交AB、AC于M、N，求证MN=

BC

（四）、过角平分线上一点作角的另一边的平行线

有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。

或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形。

如图4-1和图4-2所示。

例1如图，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求证：

∠A+∠C=180。

例2如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：

AD=AB+CD。

练习：

1.已知，如图，∠C=2∠A，AC=2BC。

求证：

△ABC是直角三角形。

2．已知：

如图，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求证：

DC⊥AC

3．已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：

AC=AE+CD

4．已知：

如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：

BC=AB+AD

二、由中点想到的辅助线

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（一）、中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

如图1，AD是ΔABC的中线，则

（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。

已知ΔABC的面积为2，求：

ΔCDF的面积。

（二）、由中线应想到延长中线（倍长中线）

题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

例1．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

练习：

1如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：

AD=2AE。

2如图，AB=AC，AD=AE，M为BE中点，∠BAC=∠DAE=90°。

求证：

AM⊥DC。

3，已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图5-2，求证EF=2AD。

4．已知：

如图AD为△ABC的中线，AE=EF，求证：

BF=AC

例2．图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。

（三）、由中点应想到利用三角形的中位线

例1．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。

求证：

∠BGE=∠CHE。

（四）、直角三角形斜边上的中线性质

例1．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：

AC=BD。

三、全等三角形辅助线

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

（一）、截长补短：

具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

（二）、借助角平分线造全等：

可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．

（三）、倍长中线（线段）造全等：

遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．

（四）、平移变换：

过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

（五）、旋转

（六）、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．

（七）、特殊方法：

在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．（等面积法）

（一）、截长补短

1：

如图，已知在

内，

，

，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是

，

的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

2：

如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分

，求证：

（二）、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：

OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；

（2）如果AB=

，AC=

，求AE、BE的长.

3、已知：

如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC

（三）、倍长中线（线段）造全等

1：

已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

2：

如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

3：

如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：

AD平分∠BAE.

（四）、平移变换

1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为

，△EBC周长记为

.求证

＞

.

2：

如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：

AB+AC>AD+AE.

（五）、旋转

1：

正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

2：

D为等腰

斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）

当

绕点D转动时，求证DE=DF。

（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。

3.如图，

是边长为3的等边三角形，

是等腰三角形，且

，以D为顶点做一个

角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则

的周长为；