大一下高数下册知识点.docx
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大一下高数下册知识点
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高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
（一）向量线性运算
定理1：
设向量a≠0，则向量b平行于a的充要条件是存在唯一的实数λ，使
ab＝λ
、线性运算：
加减法、数乘；1
、空间直角坐标系：
坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；2
b（ba）a,b,baa）（,,，；3、利用坐标做向量的运算：
设zyx
zxy
aaa）（,ab）b,ab,aab（a,zyx,；则zyzyxx
、向量的模、方向角、投影：
4
222xrzy）向量的模：
1；
222））两点间的距离公式：
（xz））2AB（zx（yy121122
,）方向角：
非零向量与三个坐标轴的正向的夹角3
cosyx,cos,cos）方向余弦：
4z
rrr222cos1coscos
acosPrja其中5）投影：
a的夹角。
与为向量uu，
（二）数量积，向量积
bcosbaa1、数量积：
2aaa）1baba0）21
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ababbabazyxyxz
cba、向量积：
2
a,b,cabsin符合右手规则，方向：
大小：
0）
aa1
a//bab0）2
ijk
aabaazxy
bbbzyx
aabb运算律：
反交换律
（三）曲面及其方程
S:
f（x,y,z）0、曲面方程的概念：
1
、旋转曲面：
2
0C:
f（y,z）yoz，面上曲线
22）0zxf（y,y轴旋转一周：
绕
22,z）0yxf（z轴旋转一周：
绕
、柱面：
3
F（x,y）0
zF（x,y）
0轴，准线为表示母线平行于的柱面
0z
、二次曲面4
2
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2yx22z2ab）椭圆锥面：
1222xyz21a22b）椭球面：
2c2
22xyz21a22ac旋转椭球面：
2
22yxz21a22b）单叶双曲面：
3c2
22yxz21a22bc）双叶双曲面：
42
22yxza2b）椭圆抛物面：
52xy22z
a2b）双曲抛物面（马鞍面）：
62
22xy1a2b）椭圆柱面：
72
22xy12ab）双曲柱面：
82
2xay）抛物柱面：
9
（四）空间曲线及其方程
F（x,y,z）0
、一般方程：
1
G（x,y,z）0
3
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xx（t）xacost
yy（t），如螺旋线：
、参数方程：
2ytasin
z（t）zzbt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F（x,y,z）0H（x,y）0
xoyz上的投影，消去，得到曲线在面
0G（x,y,z）z0
（五）平面及其方程
x）B（yy）C（zz）0A（x、点法式方程：
1000
y,z）（xn（A,B,C），过点法向量：
000
AxByCzD0、一般式方程：
2
xyz1
acb截距式方程：
n,B,C）n,B,C）（A（A，、两平面的夹角：
，322121211
ACABCB221112cos22222BACCBA2
111222
AABCCB022121112
ACB111//12ACB222
P（x,z）AxCzD0,yBy到平面、点4的距离：
0000
AxByCzD000d222BAC
（六）空间直线及其方程
4
----
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AxByCzD01111
、一般式方程：
1
AxByCzD02222
xxyyzz000、对称式（点向式）方程：
2mnp
y,z）s（x（m,n,p）方向向量：
，过点000
xmtx0
yy、参数式方程：
3nt0
zptz0
s,n,p）s,n,p）（m（m，，4、两直线的夹角：
22112121
mmnppn212211cos
22222m2ppnmn221211
mnnpp0mLL22111221
mnp111L//L21mnp222
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角，
AmBnCpsin22222nBACm2p
L//AmBnCp0
ABCLm
n
p
第九章多元函数微分法及其应用
（一）基本概念
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，
闭区域，有界集，无界集。
维空间内的点集）定义：
设n、多元函数：
（212RD是的一个非空子集，称映
5
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射f：
D→R为定义在D上的n元函数。
当n≥2时，称为多元函数。
记为U=f（x，x，?
，x），（x，x，?
，x）∈D。
n1n122
3、二次函数的几何意义：
由点集D所形成的一张曲面。
如z=ax+by+c的图形
22+y为一张平面，而的图形是旋转抛物线。
z=x
4、极限：
（1）定义：
设二元函数f（p）=f（x,y）的定义域D,p0（x0,y0）是D的聚
点D,如果存在函数A对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当点p（x,y）∈D∩∪（p0,δ）时,都有Ⅰf（p）-AⅠ=Ⅰf（x,y）-AⅠ﹤ε成立,那么就称常数A
为函数f（x,y）当（x,y）→（x,y）时的极限，记作00
limf（x,y）A
（x,y）（x,y）00
多元函数的连续性与不连续的定义
5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：
（1）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；
（2）在有界区域
D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数：
设有二元函数z=f（x,y），点（x,y）是其定义域D内一点。
把y固定在y000而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增量）如果△z与△x/△y之比当△x→0/△y→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x,y）在（x0,y0）处对x/y的偏导数记作
6
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-----
f（x）f（x,y）
x,y0000）f（x,ylim0x0xx0
f（x,y,y）f（xy）0000）（x,yflim0y0y0y
7、混合偏导数定理：
如果函数的两个二姐混合偏导数和f（x,y）在D（x,y）fyxxy内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
coscosfff其中为、方向导数：
的方向角。
l8yxl
9、全微分：
如果函数z=f（x,在（x,y）处的全增量△z=f（x△x，y△y）-f（x,y）y）
可以表示为△z=A△x+B△y+o（ρ），其中A、B不依赖于△x,△y，仅与x,y有关，
当Ρ→0，此时称函数z=f（x,y）在点（x，y）处可微分，A△x+B△y称为函数
在点（x,y）处的全微分，记为z=f（x,y）zzdydxdz
xy
（二）性质
1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：
12
偏导数连续函数可微偏导数存在必要条件充分条件
4
2定义
3
函数连续
微分法
ux）定义：
1
z
）复合函数求导：
链式法则2
7
----
-----
vyv（x,y）f（u,v）,u
u（x,y）,v
z
，则若
zuzzvzzuvz
，vxyu
xv
u
yyx
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
zf（x,y）1）无条件极值：
求函数的极值
f0x
0f（x,y），令求出所有驻点，对于每一个驻点解方程组y00
Af（x,y）Bf（x,y）Cf（x,y），，，0xy0yy000xx0
2BA0AC0，函数有极小值，①若，
2B00AAC，函数有极大值；若，
2BAC0②若，函数没有极值；
2BAC0③若，不定。
zf（x,y）（x,y）0下的极值）条件极值：
求函数在条件2
L（x,y）f（x,y）（x,y）令：
———Lagrange函数
L0x
L0解方程组y
（x,y）0
2、几何应用
1）曲线的切线与法平面
xx（t）
y（t），则,y,z）（对应参数为t）处的M（x上一点曲线:
y0000
z（t）z8
----
-----
xxzzyy000
）x（t切线方程为：
）z（ty（t）000
）（x）0）（zzy（t）（yy）z（tx）x（t法平面方程为：
000000
）曲面的切平面与法线2
:
F（x,y,z）0处的切平面方程为：
y,z）M（x上一点曲面，则000
）0（x,y,z）（zz,z）（xx）F（x,y,z）（yy）FF（x,y000y0000000z0x0
xxzzyy000法线方程为：
）,y,z（xF（x,y,z）
F）,y,zF（x00x0000y00z0
重积分第十章
（一）二重积分
n）limf（f（x,y）d,、定义：
1kkk0
Dk1
条）62、性质：
（
、几何意义：
曲顶柱体的体积。
3
、计算：
4
）直角坐标1
（x）（x,y）（x）yD12，
bxa
（x）b2f（x,y）dxdyf（x,y）dydx
（x）a1D
（y）（y）x12（x,y）D，ycd
9
----
-----
d（y）
2dyf（x,y）dxdyf（x,y）dx
（y）c1
D
2）极坐标
（）（）21D（,）
（
）2f（
cos,sin）f（x,y）dxdydd
）（1
D
（二）三重积分nf（,,）vlim1f（x,y,z）dv、定义：
kkkk0k12、性质：
3、计算：
1）直角坐标z（x,y）2f（x,y,z）dvdxdyf（x,y,z）dz“先一后二”-------------D（x,y）z1bdzf（x,y,z）dxdyf（x,y,z）dv“先二后
DaZ一”2）柱面坐标xcos
siny,z）dddzf（cos,sinf（x,y,z）dv，
zz
3）球面坐标
10
----
-----
xrsincos
sinyrsin
rcosz
2sindrddsin,rcos）rf（rsinf（x,y,z）dvcos,rsin
（三）应用
f（x,y）,（x,y）DS:
z的面积：
曲面
z2））dxdyzA1（（2
Dyx
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
1、定义：
uuuuu）无穷级数：
1n2n31
n1
Sn
部分和：
uuuuu，n32k1n
1k
u，u正项级数：
0nn
n1
nu，u01）交错级数：
（nn
n1SlimS）级数收敛：
若2存在，则称级数u收敛，否则称级数u发散nnn
nn1n1
3）绝对收敛：
u收敛，则u绝对收敛；nnn1n1
11
----
-----
条件收敛：
u收敛，而u发散，则u条件收敛。
nnnn1n1n1
定理：
若级数u绝对收敛，则u必定收敛。
nnn1n1
2、性质：
1）级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性；
（ab）收敛且，其和为nnσ，，则分别收敛于和s与2）级数a与bnn
n1n1n1
s+σ
3）在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛；
4）级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
5）必要条件：
级数u收敛即limu0.nn
nn1
3、审敛法
u，u正项级数：
0nn
n1SlimS）定义：
1存在；n
n
2）u收敛S有界；nn
n1
v（n1,2,3,）u为正项级数，且v，u）比较审敛法：
nn3nn1n1n
v收敛，则u收敛；若u发散，则v发散.若nnnn
n1n1n1n1
mnm时，v为正项级数，若存在正整数，当，）比较法的推论：
u4nn
n1n1
mnmukv时，，当，而v收敛；若存在正整数u收敛，则nnnn
n11n
12
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ukv，而v发散，则u发散.nnnn
n1n1
p）；②比较大小；1/np级数做题步骤：
①找比较级数（等比数列，调和数列，
③是否收敛。
5）比较法的极限形式：
设u，v为正项级数，nn
n1n1
u）unlim1，而收敛；ll（0）若（v收敛，则nn
vnn1nn1uunnlimlim20或）若（v发散，则u发散.，而nnvvnnnnn1n1lu
liml1时，级数，则当uu收6）比值法：
为正项级数，设nnn1
nunn11n
1时，级l1lu发散；当时，级数数敛；则当u可能收敛也可能发散.nn
n11nlnl，则当ulim1为正项级数，设u时，级数u7）根值法：
收敛；nnn
nn1n1
1时，级l1l数发散；当时，级数则当uu可能收敛也可能发散.nn
n1n1
limnu0limnu为正项级数，若8）极限审敛法：
u或，则级nnn
nnn1
p1p）limnu，则级数u收敛.，使得ll（0发散；若存在u数nnn
nn1n1
交错级数：
u0满足：
nu（n）1,2,3,，，uun1
（1）莱布尼茨审敛法：
交错级数：
nnn
n1
nlimuu收敛。
且0
（1），则级数nn
nn1
任意项级数：
uu绝对收敛，则收敛。
nn
n1n1
13
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收敛，q
1
naq常见典型级数：
几何级数：
发散，q1n0
收敛，p11p级数：
-p
n发散，p1n1
（二）函数项级数
、定义：
函数项级数1，收敛域，收敛半径，和函数；u（x）nn1
n2xa、幂级数：
n
n0
1,0
aR0,n1lim收敛半径的求法：
，则收敛半径ann,0
14
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