12轴对称集体备课.docx

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12轴对称集体备课

第十二章轴对称

【课程学习目标】

1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.

2.探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图形设计.

3.了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握他们的性质及判定方法.

4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣.

【课时安排建议】

本章教学时间约需13课时，具体分配如下：

12.1轴对称3课时

12.2作轴对称图形3课时

12.3等腰三角形5课时

数学活动与小结2课时

【重点难点】

重点：

1.轴对称的性质

2.等腰三角形的性质与判定

难点：

用符号表示推理（线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定的证明）

【具体内容】

12．1轴对称

（1）

教学目标

1.理解轴对称图形、两个图形关于某直线对称的概念.

2.了解轴对称图形、两个图形关于某直线成轴对称的对称轴、对应点．

3.了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．

教学重点：

轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念.

教学难点：

轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的联系与区别．

教学准备教师：

收集有关轴对称的素材（包括图形、实物、图片等）．

学生：

准备复写纸；收集有关窗花的素材，可以要求进行剪纸----双喜字或其他窗花．

教学设计

作品展示，交流体会（也可以观察收集的有关轴对称的素材）

1．作品展示：

让部分学生展示课前的剪纸作品（可以将作品粘贴到黑板上）；

2．小组活动：

（1）在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的?

为什么要这样?

（2）这些窗花（图案）有什么共同的特点?

概念形成

（一）轴对称图形

1．在学生充分交流的基础上，提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义——如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，同时给出“对称轴”的定义

强调：

（1）定义中“两旁的部分”都是同一个图形的，不是两个图形.

（2）对称轴是一条直线.

2．结合课本第29页图12.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．

注意：

轴对称图形的对称轴不唯一

3．学生举例：

试举几个在现实生活中的轴对称例子．（之后分析学过的简单几何图形的对称性及对称轴）

4．概念应用：

（1）课本第30页练习；

（2）补充：

判断下面的图形是不是轴对称图形?

并简要说明理由．

（二）两个图形关于某条直线对称

对于第二个概念的建立，分两个步骤进行：

先观察图形，再进行画图．其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系，在这个基础上再给出定义．

1．观察课本第30页中的图12.1-3，思考：

图中的每对图形有什么共同的特点?

2．操作：

取一张薄纸，先对折，然后中间夹一张复写纸，再在纸上任意画一个图案，取出复写纸后你发现两层纸上的图案有什么关系?

3．两个图形关于某直线成轴对称、对称轴、对称点的定义．举例说明：

如下图，图形F与图形F'就是关于直线l对称，点A与点A'是对称的．

4．举例：

举出一些生活中两个图形成轴对称的例子

5．练习：

课本第31页练习．

注意：

重视对称轴和对称点认识，一定让学生判断两个图形是否关于直线轴对称之后，找找对称轴和对称点，为下一节学习图形轴对称的性质做准备.

6.思考题：

成轴对称的两个图形全等吗？

如果把一个轴对称图形沿着对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？

这两个图形对称吗？

辨析概念

分组讨论：

轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别．

讨论后可列表比较如下：

轴对称图形

两个图形成轴对称

区别

一个图形

两个图形

联系

1．沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够互相重合（即直线两旁的两部分全等）

2．都有对称轴（至少一条）

3．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么这个图形就是轴对称图形

（追问：

任何两个全等的图形一定是轴对称吗？

）

实践和应用

1.下列图案是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形的是（）

2.如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（）

A．　B．　C.D.

3.哪一面镜子里是他的像（）

4.观察下面的英文字母，其中是轴对称图形的有_____个.

A，C，D，E，F，H，J，S，M，Y，Z

5．下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）.

A．等腰直角三角形B.等边三角形C.正方形D.圆

6.下列说法中，正确的是（）

A.关于某直线对称轴的两个三角形是全等三角形

B.全等三角形是关于某直线对称的

C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧

D.若A、B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN

7.如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°,∠2＝46°,则x＝.

8．如图是一个轴对称图形，AD所在的直线是对称轴，仔细观察图形，回答下列问题：

（1）E点的对称点是；线段BO、CF的对称线段是_____________；

（2）△ACE的对称三角形是______________.

9.下面的一些虚线，哪些是图形的对称轴，哪些不是？

10．如下图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形.

12.1轴对称

（2）

教学目标

1.探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质．

2.了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握线段垂直平分线的性质．

3.通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法．

教学重点：

图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质．

教学难点：

由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述．

教学准备木棒、橡皮筋

教学设计

1.提出问题

如图，△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称，点A'、B'、C'分别是点A、B、C的对称点，线段AA'、BB'、CC'与直线MN有什么关系?

2．

实验探究

（1）折一折．

要解决问题，从最简单的一个点开始：

先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A'，折痕为直线MN（如图3）．显然，此时点A和点A'关于直线MN对称．连结点A，A'，交直线MN于点P．

（2）说一说．

观察图形，线段AA'与直线MN有怎样的位置关系?

你能说明理由吗?

类似地，点B与点B'，点C与点C'是否也有同样的关系?

你能用语言归纳上述发现的规律吗?

注：

在这个基础上，给出垂直平分线的概念（几何表述：

∵OP是线段AB的垂直平分线∴OA=OBOP⊥AB）.

然后把上述规律概括成图形轴对称的性质（课本第32页）（几何表述：

∵OP是线段AB的垂直平分线或者∵OA=OBOP⊥AB∴PA=PB）

（3）想一想．

上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢?

（结合课本第32页的图12.1-5让学生说明）

从而得出：

类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点连线的垂直平分线．

3.合作探究

探究一：

课本第32页的“探究”．

学生先思考课本上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究．任意画一条线段AB，再画出它的垂直平分线MN，在MN上任意取点P1，P2，P3（如图4），分别量一量点P1，P2，P3到A与B的距离，你有什么发现?

你能说明理由吗?

请与同伴交流．

处理方式：

要求学生在独立尝试、独立思考的基础上进行合作交流，然后小组汇报．学生可以量一量、折一折，实验之后再运用第十三章的知识证明三角形全等．

在学生充分讨论的基础上归纳出：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

想一想：

如图5，我们在课本第10页的练习1中,应用三角形全等的知识说明了CB=DB，你能运用今天所学的知识给出解释吗?

问题：

反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?

（让学生自己尝试写出已知和求证，然后利用全等证明）

探究二：

如图6，PA=PB，取线段AB的中点O，连结PO，PO与AB有怎样的位置关系?

从而得出：

与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

归纳结论：

在线段AB的垂直平分线l上的点与A、B的距离都相等；反过来，与两点A、B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看出与两点A,B的距离相等的所有点的集合.

4.P34练习

附加练习

1.如图，直线CP是线段AB的中垂线且交AB于P，且AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（　　）

第1题第2题

A.两人都正确B.两人都错误C.甲正确，乙错误D.甲错误，乙正确

2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是（　　）

A.AE=BEB.AC=BEC.CE=DED.∠CAE=∠B

3.如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=　_________　度．

第3题第4题

4.已知，D是直角△ABC斜边AC的中点，ED⊥AC于D交BC于E，∠EAB:

∠BAC=2：

3，求：

∠ACB的度数.

5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N.求证：

CM=2BM.

6.如图3-137，在△ABC中，AB=AC，∠A＝80°，AB的垂直平分线MN交AC的延长线于D．求∠DBC的度数．

7.如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：

D在AB的垂直平分线上。

8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：

（1）FC=AD；

（2）AB=BC+AD．

10.已知：

在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABE的周长是14cm，求AB的长.

12.1轴对称（3）

教学目标

1.了解线段垂直平分线的画法．

2.会画两个成轴对称的图形（或一个轴对称图形）的对称轴．

教学重点：

画图形的对称轴．

教学难点：

对对称轴画法的理解．

教学设计

提出问题

问题1：

如果我们感觉两个平面图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证?

问题2：

两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴?

学习新知

我们已经知道，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个图形的一对对应点，然后画出以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线就可以了．如何画一条线段的垂直平分线呢?

例1（补充）已知线段AB（如图1），用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线．

图1

可按如下的步骤进行：

（1）教师启发：

根据线段垂直平分线的性质，只要找到与A，B两点的距离相等的两个点即可．（让学生思考为什么找两个点就行）

（2）作图示范．写出作法，根据作法一步一步地作出图形．

（3）解后反思：

①在上述作法中，为什么有CA=CB，DA=DB?

②如图2，直线CD与AB的交点就是线段AB的中点，因此用这种方法可以作出线段的中点.

③你还有其他的方法画一条线段的垂直平分线吗?

解决问题：

练习1：

课本第34页中的例题．

练习2：

课本第35页．

补充练习

1．点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条对称轴吗？

2．如图，这两个图形关于某条直线对称，请你找出他们的对称轴。

3.如图，要在公路

边上建一个公交车站M，使A、B两地到M的距离相等。

请你找出M的位置。

4．如图，已知点M、N和∠AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等．

5.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

6．△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

7.如图，△ABC中，∠BAC=1100，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足.

（1）求∠DAF的度数.

（2）如果BC﹦10cm，求△DAF的周长.

8.如图，某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）.现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等。

你能确定仓库应该建在什么位置吗？

在所给的图形中画出你的设计方案

12．2．1作轴对称图形

（1）

教学目标

1.能按要求做出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形

2.能利用轴对称进行图案设计.

3.从轴对称的角度去认识和构建几何图形，发展形象思维，并尝试用轴对称去从事推理活动

教学重点：

作轴对称图形

教学难点：

利用轴对称设计图案

教学设计

设置问题

（一）思考一种作轴对称图形的方法？

（让学生试着作图，展示）

让学生自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？

改变折痕的位置并重复几次，又得到了什么？

同学们互相交流一下．

（学生动手做）

结论：

由一个平面图形可以得到它关于一条直线L对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．

注意：

对称轴的方向和位置不同得到图形的方向和位置也不同

（二）自己设计并制作一个花边．

（三）收集并欣赏1～2个对称的中国民间剪纸图案，你能找出它的对称轴吗？

学习新知

如何作一个图形经过轴对称后的图形呢？

任何一个图形都是由点组成的．

1.作一个点关于一条直线的对称点．

由对应点的连线被对称轴垂直平分，所以，已知对称轴L和一个点A，要画出点A关于L的对应点A′，可采取如下方法：

（1）过点A作对称轴L的垂线，垂足为B；

（2）在垂线上截取BA′，使BA′=AB．

点A′就是点A关于直线L的对应点．

（注意作图的准确性）

2.画一个图形关于已知直线的对称．

如图

（1），已知△ABC和直线L，作出与△ABC关于直线L对称的图形．

作法：

如图

（2）．

（1）过点A作直线L的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A关于直线L的对称点；

（2）类似地，作出点B、C关于直线L的对称点B′、C′；

（3）连结A′B′、B′C′、C′A′，得到△A′B′C′即为所求．

归纳：

几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对称点，再连结这些对应点，就可得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对应点，连结这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．

补充练习

1．有一等腰直角三角形纸片，以它的对称轴为折痕，将三角形对折，得到的三角形还是等腰直角三角形（如图），依照上述方法将原等腰直角三角形折叠四次，所得小等腰直角三角形的周长是原等腰直角三角形周长的（　　）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

2．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的______、______完全一样．

3．由一个平面图形得到它的对称图形的变换叫做_____________．

4．如图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它

的另一半．

5．下图中画出了轴对称图案的一半，想象一下它的另一半，并画出来，在图中分别画出它的一对对应点，对应线段和对应角．

6．如图，已知直线CD与CD同侧两点A、B求作：

点P，使点P在CD上，且∠APC＝∠BPD．

7.小果想剪出如下图所示的“小人”以及“十字”，你想怎样剪？

设法使剪的次数尽可能少．

8.将一个矩形纸片依次按图

（1）、图⑵的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后头将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（）

12．2．1作轴对称图形

（2）

教学目标

1.通过具体实例学做轴对称图形，认识轴对称变形，探索它的基本性质.

2.经历轴对称变形的画图、观察、交流等活动理解其基本特征,通过利用轴对称作图和图案设计发展实践能力.

3.从轴对称的角度去认识和构建几何图形，发展形象思维，并尝试用轴对称去从事推理活动.

重点：

利用轴对称知识解决问题

难点：

用轴对称知识解决相应的数学问题

教学设计

一、预习新知

1．

（1）一群小孩以同样的速度同时出发从A村到B村，要过一条公路a，其中只有一个小孩以最短的时间到达B村，你知道这个聪明的小孩的行程路线吗？

在图中画出来。

A·

A·

B·

·BD·Ca

（1）

（2）

·A1

（2）在公路a的同侧有A、B两村庄，要在公路上建立一个站点，使到A、B两村的距离最短，

下面是两位同学的方法：

小刚：

分别过点A,B作到直线a的垂线段，垂足分别为E,F;则EF的中点D就是所求的站点。

小明：

先作出点A关于直线a的对称点A1，然后连接A1B,则A1B与直线l的交点C就是所求的站点。

谁的距离短呢？

请完成下面过程，得到结论。

1）连接AC,DB,DA,DA1。

∵A、A1关于直线a对称

∴直线a_________AA1

∴AC=_____,AD=______.

∴AC+BC=_______+BC=______,AD+DB=______+DB

∵三角形两边之和大于第三边

∴_____+DB>____

∴AD+DB>AC+BC

因此，小明找的点到A、B两村的距离比小刚找的点到A、B两村的距离短。

2）小明找的点就是到A、B两村的距离最短的点吗？

3）请在直线a上任找一点，用上述方法进行验证。

2．完成课本P42探究，你有几种方法？

3．如图所示，四边形EFGH是一个矩形的球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点，试说明怎样撞击B，才使白球先撞击台球边EF，反弹后又能击中黑球A？

二、课堂展示

例1．如图，牧童在A处放牛,其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC=BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m，若牧童从A处将牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？

最短路程是多少？

C··D

A··B

三、随堂练习

1．如图，要在l上修一座学校，使得A、B两村到学校的距离和最小，请在图中找出学校的位置。

A·

·B

2.如图：

A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）

3．如图所示，∠ABC内有一点P，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小．

12.2.2用坐标表示轴对称

教学目标

1.能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点，并表示对称点的坐标．

2.探究点或图形的轴对称引起的点的坐标的变化规律，利用变化规律作出一个图形轴对称图形.

3.培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法．

教学重点：

用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标．

教学难点：

找对称点的坐标之间的关系、规律．

教学准备画有网格的平面直角坐标系图的练习纸．

教学设计

创设情境,引入新课

老北京的地图中，西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，找到西直门的位置，说出西直门的坐标?

合作探究,探索新知

（1）在直角坐标系中画出下列已知点．

A（2,-3）；B（-1，2）；C（-6，-5）；D（3，5）；E（4，0）；F（0，-3）．

（2）画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点．并填写表格．

（3）观察点的坐标，发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?

（4）想办法检验你所发现的规律的正确性说说你是如何检验的．

利用刚才发现的点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴、y轴对称的图形．

分享成果，巩固新知

1．说出下列各点关于X轴、y轴对称的点的坐标：

（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）

2．如下图，△ABC关于X轴对称，点A的坐标为（1，-2），C点的坐标为（0,0）说出点B的坐标．

3．如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（-5，1）、B（-2，1）、C（-2，5）、D（-5，4），分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形．

变式探究,提升思维

1．分别作出△PQR关于直线x=1（记为m）和直线y=-1（记为n）对称的图形．

2．你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?

3．如果作关于直线x=3（记为m）和直线y=-4（记为n）对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?

巩固练习：

如下图.1．请你画出下图关于y轴对称的图形，猜猜是什么图案?

并说出一些对应点的坐标．

2．再画出此图案关于直线x=-2对称的图形．说出各点的坐标．

总结归纳

1．点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求。

2．点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,-y），即横坐标相等，纵坐标互为相反数；

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（-x,y），即横坐标互为相反数，纵坐标相等．

12.3.1等腰三角形

（1）

教学目标

1.掌握等腰三角形的性质.

2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算.

教学重点：

等腰三角形的性质和应用．

教学难点：

等腰三角形的性质的证明．

教学准备长方形的纸片、剪刀．

教学设计

剪一剪

按课本第49页的要求剪出△ABC．

观察△ABC有什么特点?

给出等腰三角形的定义．并结合△ABC介绍等腰三角形的“腰”“底边”“顶角”“底角”等概念．

注：

认清底和腰，题目中如果没有说，要分情况讨论．

折一折

思考：

△ABC是轴对称图形吗?

它的对称轴是什么?

让学生认识到动手操作也是一