高一数学寒假作业人教A版必修2空间中的平行关系word版含答案 2.docx
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高一数学寒假作业人教A版必修2空间中的平行关系word版含答案2
2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）
空间中的平行关系
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．a∥b，b⊂α，则a∥α
B．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．a⊥α，b∥α，则a⊥b
D．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b
4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
5．已知直线a与平面α、β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交不垂直
C．平行D．重合
7．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是（ ）
A．AE⊥CG
B．AE与CG是异面直线
C．四边形AEC1F是正方形
D．AE∥平面BC1F
8．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
9．空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．
10．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
11．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
12．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
13．如图E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：
（1）EG∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H.
14．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，试探究：
在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？
若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．
15．如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
（1）求证：
BE＝DE；
（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：
DM∥平面BEC.
（3）在
（2）的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．
2018年高一数学寒假作业（人教A版必修2）
空间中的平行关系
1．已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若α∥β，m∥n，m∥α，则n∥β
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
答案：
B
2．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．a平行于α内的所有直线
B．α内有无数条直线与a平行
C．直线a上的点到平面α的距离相等
D．α内存在无数条直线与a成90°角
解析：
选A.若直线a平行于平面α，则α内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确．又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确．
3．已知a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．a∥b，b⊂α，则a∥α
B．a，b⊂α，a∥β，b∥β，则α∥β
C．a⊥α，b∥α，则a⊥b
D．当a⊂α，且b⊄α时，若b∥α，则a∥b
解析：
选C.A选项是易错项，由a∥b，b⊂α，也可能推出a⊂α；B中的直线a，b不一定相交，平面α，β也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面．
4．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：
①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；
③若a∥α，b∥α，则a∥b.
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
选A.对于①，若a∥b，b⊂α，则应有a∥α或a⊂α，所以①不正确；对于②，若a∥b，a∥α，则应有b∥α或b⊂α，因此②不正确；对于③，若a∥α，b∥α，则应有a∥b或a与b相交或a与b异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．
5．已知直线a与平面α、β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（ ）
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：
选D.设直线a和点B所确定的平面为γ，则α∩γ＝a，记β∩γ＝b，∵α∥β，∴a∥b，故存在唯一一条直线b与a平行．
6．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交不垂直
C．平行D．重合
7．正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确的命题是（ ）
A．AE⊥CG
B．AE与CG是异面直线
C．四边形AEC1F是正方形
D．AE∥平面BC1F
面BC1F.
8．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若m∥l，且m⊥α，则l⊥α；
②若m∥l，且m∥α，则l∥α；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，则l∥m∥n；
④若α∩β＝m，β∩γ＝l，γ∩α＝n，且n∥β，则l∥m.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
选B.易知①正确；②错误，l与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明，④正确，可以以三棱柱为例证明．
9．空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．
解析：
设
＝
＝k，∴
＝
＝1－k，∴GH＝5k，EH＝4（1－k），∴周长＝8＋2k.
又∵0＜k＜1，∴周长的取值范围为（8,10）．
答案：
（8,10）
10．如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝
，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.
答案：
a
11．已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
解析：
根据题意可得到以下如图两种情况：
可求出BD的长分别为
或24.
答案：
24或
12．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.
解析：
假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO，故Q满足Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
答案：
Q为CC1的中点
13．如图E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．求证：
（1）EG∥平面BB1D1D；
（2）平面BDF∥平面B1D1H.
证明：
（1）取B1D1的中点O，连接GO，OB，
易证四边形BEGO为平行四边形，故OB∥GE，
由线面平行的判定定理即可证EG∥平面BB1D1D.
14．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，点E在线段B1C1上，B1E＝3EC1，试探究：
在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？
若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．
解：
法一：
当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.
证明如下：
在平面A1B1C1内过点E作EG∥A1C1交A1B1于点G，连接AG.
∵B1E＝3EC1，∴EG＝
A1C1，
又AF∥A1C1且AF＝
A1C1，
∴EG∥平面A1ABB1，∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，
∴FG∥AB，又AB⊂平面A1ABB1，FG⊄平面A1ABB1，
∴FG∥平面A1ABB1.
又EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面A1ABB1.
∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.
15．如图，几何体EABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.
（1）求证：
BE＝DE；
（2）若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点．求证：
DM∥平面BEC.
（3）在
（2）的条件下，在线段AD上是否存在一点N，使得BN∥面DEC，并说明理由．
（2）法一：
取AB的中点N，连接DM，DN，MN，
因为M是AE的中点，所以MN∥BE.
又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，
所以MN∥平面BEC.
又因为△ABD为正三角形，
所以∠BDN＝30°，
又CB＝CD，∠BCD＝120°，
因此∠CBD＝30°，所以∠BDN＝∠CBD，所以DN∥BC.
又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，
所以DN∥平面BEC.
又MN∩DN＝N，
故平面DMN∥平面BEC，
又DM⊂平面DMN，
所以DM∥平面BEC.
法二：
延长AD，BC交于点F，连接EF.
所以DM∥平面BEC.
（3）存在点N为AD的中点
取AD的中点N，连接BN，O为BD的中点
由
（2）可知∠DCO＝60°，∴∠BDC＝30°，
又∵DBN＝30°，∴BN∥DC.
DC⊂面DEC，∴BN∥面DEC.
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