abb
D.若1+4=2,则a+b≥9
ab
11.已知f(x)=
2
3sinωx-cos2ωx+1(ω>0),则下列说法正确的是()
222
A.
若y=f(x)的最小正周期为π,则ω=2
B.
若f(x)在(0,π)内无零点,则0<ω≤1
6
C.若f(x)在(0,π)内单调,则0<ω≤2
3
D.若ω=2时,直线x=-2π是函数f(x)图象的一条对称轴.
3
12.
x2+4
如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的P点的距离是2km,P点正东方向12km处有一个城镇.假设一个人驾驶小船的平均行进速度为3km/h,步行的平均速度为5km/h,时间t(单位:
h)表示他从小岛到城
镇的时间,x(单位:
km)表示此人将船停在海岸距P点处的距离.设u=
+
x,v=
x2+4-x,则()
A.函数v=f(u)为减函数
B.15t-u-4v=32
C.当x=1.5时,此人从小岛到城镇花费的时间最少
D.当x=4时,此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h
三、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家,他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书,题材广泛、妙趣横生,深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》:
文章首先告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数).如果两个埃及
分数1与1
315
的和可以表示成2
5
等.从
11111
,,,,
234100101
这100个埃及分数中挑出不同的3个,使得它们的和
为1,这三个分数是.(按照从大到小的顺序排列)
14.设(2x2+1)5=a
+ax2+ax4+⋅⋅⋅+ax10,则a的值为.
15.若数列{a}满足:
a=1,a
=1,a=a+a
(n≥3),n∈N*,则称数列{a}为斐波那契数列.斐波那契
n12
nn-1
n-2n
螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,如图1中的实线部分(正方形内的数字与an
为所在正方形
的边长,每个正方形中的曲线与正方形的两边构成圆心角为90︒的扇形).自然界中存在许多这样的图案,比如向日葵种子的排列、芦荟叶子的排列等(如图2).若一母线长为16的圆锥的底面周长恰好等于图1的螺旋曲线的长度,则该圆锥的侧面积为.
16.在日常生活中,石子是我们经常见到的材料,比如在各种建筑工地或者建材市场上常常能看到堆积如山的石子,它的主要成分是碳酸钙.某雕刻师计划在底面边长为2m,高为4m的正四棱柱形的石料
ABCD一A1B1C1D1中,雕出一个四棱锥O-ABCD和球M的组合体,其中O为正四棱柱的中心,当球的半径
r取最大值时,该雕刻师需去除的石料约重kg.(其中π≈3.14石料的密度ρ=2.4g/cm3,质量
m=ρV).
四、解答题:
本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17(10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1+2a2+3a3+⋅⋅⋅+nan=
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设⎧1⎫的前n项和为T,证明:
T<11.
n(n+1)(n+2)
3
n∈N*.
S
⎨⎬
⎩n⎭
nn9
18(12分)
如图,在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,在
①b=c;
②2bcosC+3c=2a;
③sinA-sinC=sinB+sinCba+c
这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.
已知a=1,C=π,D是边AC上的一点,∠ADB=π,若,求△ABD的面积.
64
19(12分)
2019年6月25日,《固体废物污染环境防治法(修订草案)》初次提请全国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出,国家推行生活垃圾分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人(其中450人为女性)的得分(满分:
100分)数据,统计结果如表所示:
得分
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
男性人数
15
90
130
100
125
60
30
女性人数
10
60
70
150
100
40
20
(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N(μ,210),μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求P(50.5(2)把市民分为对垃圾分类“比较了解”(不低于60分的)和“不太了解”(低于60分的)两类,请完成如下
2⨯2列联表,并判断是否有99%的把握认为市民对垃圾分类的了解程度与性别有关?
不太了解
比较了解
合计
男性
女性
合计
(3)从得分不低于80分的被调查者中采用分层抽样的方法抽取10名.再从这10人中随机抽取3人,求抽取的3
人中男性人数的分布列及数学期望.
210
参考数据:
①
≈14.5;②若XN(μ,σ2),则
P(μ-σ③
P(K2≥k)
0
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d.
20(12分)
如图,已知平面BCE⊥平面ABC,直线DA⊥平面ABC,且DA=AB=AC.
(1)求证:
DA//平面EBC;
(2)
若∠BAC=π,DE⊥平面BCE,求二面角A-BD-E的余弦值.
3
21(12分)
2
已知椭圆C:
x
a2
y2
3
+=>>
b21(ab0)的离心率为2
点P(,)在C上.
26
3
33
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)
设O为坐标原点,H(0,-1),试判断在椭圆C上是否存在三个不同点Q,M,N(其中M,N的纵坐标不相等),
2
OMONOQ
满足––––→+–––→=1–––→,且直线HM与直线HN倾斜角互补?
若存在,求出直线MN的方程,若不存在,说明理
2
由.
22(12分)
已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线在y轴上的截距为ln3-2.
3
(1)求a;
(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-
n
2x2x+1
(x>0)的单调性;
(3)设a=2
=,求证:
5-2n+1<
1-2<0(n≥2)
15,an+1
f(an)
2An
参考答案
一.单选题
1.A2.A3.C4.C5.D6.B7.B8.D
二.多选题
9.ABD10.ACD11.BCD12.AC
三.填空题
111
13.,,
236
14.8015.132π16.21952
四.解答题
17.
(1)因为a
+2a
+3a
++na
=n(n+1)(n+2)①,所以a
=1⨯2⨯3=2,
123n313
当n2时,a
+
2a
+
3a
++(n-1)a
=(n-1)n(n+1)②,
123
n-13
①-②得nan
=n(n+1)(n+2)-n(n-1)(n+1)=n(n+1),
33
所以an
=n+1,而n=1时也适合此式,所以an
=n+1(n∈N*).
(2)证明:
1
=2=2
=2⋅⎛1-
1⎫,
Snn(2+n+1)
n(n+3)3
çnn+3⎪
⎝⎭
所以T=2⎛1-1+1-1++
1-1
+1-1⎫,
n3ç
425
n-1n-2
nn+3⎪
⎝⎭
=2⎛1+1+1-1-1
-1⎫<11
3ç23n+1n+2n+3⎪9
⎝⎭
18.若选择①,b=c,则在△ABC中B=C=π,A=2π,
63
由正弦定理
a
sinA
=c
sinC
得c=3.
3
在△ABD中,由正弦定理c
3
=BD,即3=BD,解得BD=2,
sin∠ADB
sinA232
22
sin∠ABD=sinπ=sin⎛π-π⎫=
3⨯2-1⨯2=6-2,
34
ç⎪
12⎝⎭
22224
所以S△ABD
=1AB⨯BD⨯sin∠ABD=3-3,
224
若选择②,2bcosC+
3c=2a,则2sinBcosC+
3sinC=2sinA=2sin(B+C),化简得
3sinC=2cosBsinC,因为C∈⎛0,5π⎫,所以sinC>0,故cosB=3,
ç6⎪2
⎝⎭
又B∈⎛0,5π⎫,故B=π,所以A=2π.
ç6⎪63
⎝⎭
由正弦定理:
a
sinA
=c
sinC
,得c=3.
3
在△ABD中,由正弦定理c
3
=BD,即3=BD,解得BD=2,
sin∠ADB
sinA232
22
sin∠ABD=sinπ=sin⎛π-π⎫=
3⨯2-1⨯2=6-2,
34
ç⎪
12⎝⎭
22224
所以S△ABD
=1AB⨯BD⨯sin∠ABD=3-3.
224
19.
(1)由题意知:
μ=35⨯0.025+45⨯0.15+55⨯0.2+65⨯0.25+75⨯0.225+85⨯0.1+95⨯0.05=65,
210
210
又50.5≈65-,94≈65+2,
所以P(50.522
(2)由题意得列联表如下:
不太了解
比较了解
合计
男性
235
315
550
女性
140
310
450
合计
375
625
1000
2=≈>
1000⨯(235⨯310-315⨯140)2
K14.2496.635
375⨯625⨯550⨯450
所以有99%的把握认为学生对垃圾分类的了解程度与性别有关.
(3)不低于80分的被调查者的男女比例为3:
2,所以采用分层抽样的方法抽取10人中,男性为6人,女性为4人.设从这10人中随机抽取的3人中男性人数为ξ,则ξ的取值为0,1,2,3
C31C2C13
P(ξ=0)=4=,P(ξ=1)=46=,
C
C
30
10
33
1010
C1C21C31
P(ξ=2)=46=,P(ξ=3)=6=,
C
C
2
6
33
1010
所以随机变量ξ的分布列为
所以其期望
E(ξ)=
ξ
0
1
2
3
P
1
30
3
10
1
2
1
6
3+2⨯1+3⨯1=9
10265
20.
(1)证明:
过点E作EH⊥BC于点H,
因为平面BCE⊥平面ABC,又平面BCE⋂平面ABC=BC,EH⊂平面BCE,所以EH⊥平面ABC,
又因为DA⊥平面ABC,所以
AD//EH,
因为EH⊂平面BCE,DA⊄平面BCE,所以DA//平面EBC;
(2)解:
因为DE⊥平面BEC,所以∠DEB=∠DEC=π,
2
由AB=AC可知
DB=DC,
DE=DE,△DEB≅△DEC,则BE=CE,
所以点H是BC的中点,连接AH,则AH⊥BC,
所以AH⊥平面EBC,则DE//AH,AH⊥EH,所以四边形DAHE是矩形.
以H为坐标原点,分别以HB,HA,HE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
设DA=2a,则E(0,0,2a)、A(0,3a,0)、B(a,0,0)、D(0,3a,2a).
→
设平面ABD的一个法向量为m=(x1,yPz1),
–––→
又AB=(a,-
⎧m⋅–––→
3a,0),
⎧
–––→
AD=(0,0,2a).
由⎪AB=0,得⎪ax1-
3ay1=0,取
y=1,得
→=(3,1,0).
⎨–––→
m⋅=0
⎨2az=01m
⎩⎪AD⎩⎪1
设平面BDE的一个法向量为→=(x,y,z),
n
–––→–––→
222
因为BD=(-a,3a,2a),BE=(-a,0,2a).
⎧n⋅–––→⎧
由⎪BD=a,得⎪ax2-
3ay2-2az2=0,取
z=1,得n=(2,0,1);
⎨–––→
n⋅=0
⎨ax-2az=02
⎩⎪BE
⎩⎪22
→→
15
设二面角A-BD-E的平面角为θ,则|cosθ=|cos<→→>∣=|m⋅n|=,
⋅
m,n
→→
m||n∣5
由题知二面角A-BD-E是钝角,则二面角A-BD-E的余弦值为-
15.
5
21.
(1)由题意知
可得c=
a
3,a2-b2=c2,
2
8+
3a2
1
3b2
=1,解得a=2,b=1,
y
1
则椭圆C的方程为x2+2=;
4
(2)由题意,直线MN的斜率存在且不为0,设直线MN方程为y=kx+m,
设点M(x1,y1),N(x2,y2),
⎧x2
⎨
联立⎪4
+y2=1
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
⎪⎩y=kx+m
所以x+x=-8km
121+4k2
x1x2=
4m2-4,
4k2+1