小学奥数平面几何五种面积模型.docx
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小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：
熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型），掌握五大面积模型的各种变形知识点拨
一、等积模型
1等底等高的两个三角形面积相等；
2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S1：
S=a:
b
3夹在一组平行线之间的等积变形，如右图Sac厂足bcd；反之，如果&ACD=SaBCD，则可知直线AB平行于CD.
4等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
6两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的咼之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.
如图在AABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图⑴（或D在BA的延长线上，E在AC上）,
贝SSaabc:
Saade=（ABAC）：
（ADAE）
图⑵
①S：
S2=S4：
S3或者SiS3PS4②AO:
OC二SiS2：
&S3
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：
1s：
S3=a2:
b2
2S1:
S3:
S2:
S4=a2:
b2:
ab:
ab;
3S的对应份数为ab2.
四、相似模型
（一）金字塔模型
二）沙漏模型
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理：
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具
/、・在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O，那么
SABO:
SACO-BD:
DC.
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO和「ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例1】如图，正方形ABC啲边长为6，ae=1.5,cf=2.长方形EFGH勺面
积为
【解析】连接DEDF则长方形EFG啲面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF勺面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
def=66-1.56」2-26」2-4.54“2=16.5,所以长方形EFGH
面积为33.
【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明：
连接AG.（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起）.
1
T在正方形ABCD中，Saabg二丄ABAB边上的高，
2
1
二Saab^2SABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半）
同理,
_]
SaabgSefgb.
2
=88--10=6厘米）.
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
【解析】解法一：
寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图:
SaBCD=SAHB'S.CHB'S.CHD=36
11111
BEBF（—AB）（—BC）36=4.5
22228
所以阴影部分的面积是：
S阴影=18-S.ebf=18—4.5=13.5
解法二：
特殊点法.找H的特殊点，把H点与D点重合,那么图形就可变成右图：
这样阴影部分的面积就是DEF的面积，根据鸟头定理，则有:
s阴影二Sabcd-Saed-Sbef-Scfd=36-丄136-11136-丄-36=13.5.
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边
二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.
【解析】（法1）特殊点法.由于P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，贝S阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1，所以阴影部分的面积为
46
62（--）=15平方厘米.
46
（法2）连接PA、PC.
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1，所以阴
6
影部分的面积为62（-」）=15平方厘米.
46
【例3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,
AD=15，四边形EFGO的面积为.
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的
面积之和，以及三角形AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.
由于长方形ABCD的面积为158=120,所以三角形BOC的面积为1201=30，所以三角形AOE和DOG的面积之和为120卫-70=20；
44
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120--->30，所以（24丿'
四边形EFGO的面积为30-20=10.
另解：
从整体上来看，四边形EFGO的面积二三角形AFC面积•三角形BFD面积-白色部分的面积，而三角形AFC面积•三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
分的面积，即120—70=50，所以四边形的面积为60-50=10.
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为
1
根据蝶形定理，ON:
ND二Scoe：
S「cde=2S：
cae：
S「cde"：
1
11亠
又SOED二--S巨形ABCD=3,SQEA=2S.QED=6，所以阴影部分面积为:
34
11
362.7.
25
【例4】已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形
HBC）
【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三
角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.
根据图形的容斥关系，有S.ABC_S丙二S.ABNS.AMC-SAMHN,
1
S阴影=8S乙S丙-Sadf=143-：
400=43.
【例5】如图，已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6，线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是
【解析】
连接AF,BD.
根据题意可知，C^5715=27；DG=7•15•6=28；
八ADG,
所以,SBEF=27SCBF,Sbec=27Scbf,saeg=28Sadg,Saed二兄S.
于是：
28sadg'27scbf=65；28sadg■"27Scbf二38；可得S-adg=40.故三角形ADG的面积是40.
【例6】如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:
AB=2:
5,AE:
AC=4:
7,SAade=16平方厘米，求△ABC的面积.
【解析】连接BE,SADE:
Saabe=AD：
AB=2:
5=（24）:
（54）,
S\ABE:
SAABC二AE:
AC=4：
7=（45）：
（75）,所以SaaDE:
SAA亍C（24）:
（7,设
Saade=8份，则Saabc=35份，Saade=16平方厘米，所以1份是2平方厘米，
35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角
或互补角）两夹边的乘积之比.
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？
…S|_ABC=3SABE
又vAB=5AD
S|_ADE=S_ABE5=S_ABC15，…SABC~15SADE=15.
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4,BE=3，AE=6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
【解析】
连接AD.
VBE=3,AE=6
…AB=3BE,SABD=3SBDE
又VBD=DC=4,
…S|_ABC=2S_ABD，…SABC=6SBDE,E=5S?
.
【例7】如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:
AD=5:
2,AE:
EC=3:
2,S^ade12平方厘米，求△ABC的面积.
【解析】连接BE,S^ade0abe=AD：
AB=2:
5=（23）:
（53）
SabeSabc=AE:
AC=3:
（32）=（35）:
1（32）51,
所以Ssde：
Saabc=（32）I5（32）6：
5设S-de=6份，贝&abc=25份，
Saade=12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理，共角定理：
共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比
【例8】女口图，平行四边形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
•.•在△ABC禾口△BFE中，.ABC与.FBE互补,
・S^abcABBC111
•.———
fbeBEBF133
二1，所以SFBE
【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为1212=144.（也可以用勾股定理）
【例10】如图所示，SBC中，.ABC=90,AB=3,BC=5，以AC为一边向ABC外作正方形ACDE，中心为O，求OBC的面积.
【解析】如图，将OAB沿着O点顺时针旋转90，到达OCF的位置.
由于./ABC=90,ZAOC=90，所以./OABWOCB=180.而ZOCFZOAB,所以.OCF•.OCB=180，那么B、C、F三点在一条直线上.
由于OB=OF,BOF=.AOC=90,所以BOF是等腰直角三角形，且斜边BF为53=8，所以它的面积为821=16.
4
根据面积比例模型，-OBC的面积为165=10.
8
【例11】如图，以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,
WAEB=90,AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm，求三角形OBE的面积.
【解析】如图，连接DE,以A点为中心，将ADE顺时针旋转90到，ABF的位置.那么.EAF=•EAB••BAF=•EAB••DAE=90，而.AEB也是90，所以四边形AFBE是直角梯形，且AF二AE=3,
所以梯形AFBE的面积为：
12
35312（cm）.
又因为ABE是直角三角形，根据勾股定理，AB2=AE2•BE2=32•52=34,
12
所以SAbd=AB=17（cm2）.
【例12】如下图，六边形ABCDEF中，AB=ED,AF=CD,BC=EF，且有AB平行于ED,AF平行于CD,BC平行于EF,对角线FD垂直于BD,已知FD=24厘米，BD=18厘米，请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？
【解析】如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，将DEF平移使得ED与AB重合，这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD的面积为
2418=432平方厘米，所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.
【例13】如图，三角形ABC的面积是1,
BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F.
E是AC的中点，点D在BC上，且则四边形DFEC的面积等于,
【解析】方法一：
连接CF,根据燕尾定理,
SAABF
Saacf
BD1
DC2，
SAABF
Sacbf
AE
EC
=1
设SaBDF=1份，则SaDCF-2份,如图所标
SaABF-3份，SAAEF二SAEFC二3份，
所以Sdcef
5
ABC
12
12
1
方法二：
连接DE，由题目条件可得到Saabd^SaABC1，所以聖=生迴J,
3'FESaade1'
SAADE=二&ADC'SAABC
223
Sadef
--Sabec
23
12
而Sacde=|1Saabc二-.所以则四边形DFEC的面积等于卫.
32312
【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米？
平方厘米.
【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）.如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且A0=2,D0=3,那么CO的长度
3
是DO的长度的倍.
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：
⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件
Sabd:
Sbcd-1:
3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论：
三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果.请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.
解法一：
TAO：
0C二Sabd：
Sbdc"：
3，二OC=236二，二OO:
312二.解法二：
作AH_BD于H,CG_BD于G.
_1[_1
•S：
abd-：
Sbcd，…AHCG，…S「aod-S「doc,
333
…AO」CO，二OC=23=6，二OC:
OD=6:
3=2:
1.3
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：
⑴三角形BGC的面积；⑵AG:
GC=？
【解析】⑴根据蝶形定理，SBGC仁23，那么SBGC=6；
⑵根据蝶形定理，AG:
G^12:
36.1:
3.
【例15】如图，平行四边形ABCD的对角线交于0点，ACEF、△OEF、△ODF、
△BOE的面积依次是2、4、4和6.求：
⑴求厶OCF的面积；⑵求△GCE的面积.
【解析】⑴根据题意可知，ABCD的面积为244^16，那么△BCO和.CDO的面积都是16-：
-2=8，所以△OCF的面积为8-4=4；
⑵由于ABCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为
8-6=2,
根据蝶形定理，EG:
Foscoe:
Scof=2:
^1:
2
为2平方厘米，求长方形ABCD的面积.
【例17】如图，正方形ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.
【解析】因为M是AD边上的中点，所以AM:
BC=1:
2,根据梯形蝶形定理可以知道
SaamgSabgSmcg：
Sabcg二十：
（12）:
（12）：
2?
=1：
2：
2：
4,设AGM，份，则
Samcd=12-3份，所以正方形的面积为1224^12份，
S阴影=22二份，所以S阴影：
S正方形=1:
3，所以$影=1平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD=1:
2,根据蝶形定理得
2
S弟形（12）=9（平方厘米），ecd=3（平方厘米），那么SABCD=12（平方厘米）.
【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:
CE=3:
2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形，BC:
CE=3:
2，所以CE:
AD=2:
3,
根据梯形蝶形定理，Scoe:
Saoc:
Sdoe:
Saod=22:
23:
23:
3—4:
669，所以Saoc=6（平方厘米），Saod=9（平方厘米），又SabpS_Mcd91平方厘米），阴影部分面积为615=21（平方厘米）.
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：
平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCD=SOAE.
2根据蝶形疋理，SOCDSOAE二SOCES0AD=49=36，故SOCD36,所以S-ocd=6（平方厘米）.
【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：
平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S.OCD-S.QAE.
根据蝶形定理，SOCDSOAE二SOCESOAD=28=16，故Socd=16,
所以4（平方厘米）.
另解：
在平行四边形ABED中，S.ade#SabedW168=12（平方厘米），以S.AOE■S.ADE=12一8=4（平方厘米），
根据蝶形定理，阴影部分的面积为82亠4=4（平方厘米）.
【例19】如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中3块的面积分别
为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为
平方厘米.
【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形，所以Seod二Sfoc,又根据蝶形定理，
S.EOD=4（平方厘米）,Secd=48=12（平方厘米）.那么长方形ABCD的面
积为122=24平方厘米，四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9（平方厘
米）.
【例20】如图，从BC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48,AK:
KB=1:
3，则BKD的面积是多少？
【解析】由于DEFG是正方形，所以DA与BC平行，那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,.BDK和.ACK的面积是相等的.而AK:
KB=1:
3，所以UACK的面积是ABC面积的丄=丄，那么:
BDK的面积也是ABC面积的-.
1+344
由于ABC是等腰直角三角形，如果过A作BC的垂线，M为垂足，那么M是BC的中点，而且AM=DE，可见.ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半，所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等，为48.
那么=BDK的面积为48-=12.
4
【例21】下图中，四边形ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数印，那么，（mn）的值等于.
n
【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部
分的面积，再求阴影部分的面积.
如下图所示，在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M.
左图中AEGD为长方形，可知AMD的面积为长方形AEGD面积的丄，所
4
以三角形AMD的面积为12--」.又左图中四个空白三角形的面积是
248
相等的，所以左图中阴影部分的面积为1」4丿.
82
如上图所示，在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N.
可知EF//AC且AC=2EF.那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的
1,所以三角形BEF的面积为121-，梯形AEFC的面积为---^3.
4248288
31
一X
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