小学奥数平面几何五种面积模型.docx
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小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)
目标:
熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型),掌握五大面积模型的各种变形知识点拨
一、等积模型
1等底等高的两个三角形面积相等;
2两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比;如右图S1:
S=a:
b
3夹在一组平行线之间的等积变形,如右图Sac厂足bcd;反之,如果&ACD=SaBCD,则可知直线AB平行于CD.
4等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形);
5三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;
6两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的咼之比.
二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.
如图在AABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上),
贝SSaabc:
Saade=(ABAC):
(ADAE)
图⑵
①S:
S2=S4:
S3或者SiS3PS4②AO:
OC二SiS2:
&S3
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造
模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.
梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”):
1s:
S3=a2:
b2
2S1:
S3:
S2:
S4=a2:
b2:
ab:
ab;
3S的对应份数为ab2.
四、相似模型
(一)金字塔模型
二)沙漏模型
所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比;
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方;⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具
/、・在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.
五、共边定理(燕尾模型和风筝模型)
在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O,那么
SABO:
SACO-BD:
DC.
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段,因为ABO和「ACO的形状很象燕子的尾巴,所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用,它的特殊性在于,它可以存在于任何一个三角形之中,为
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.
典型例题
【例1】如图,正方形ABC啲边长为6,ae=1.5,cf=2.长方形EFGH勺面
积为
【解析】连接DEDF则长方形EFG啲面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF勺面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积,
def=66-1.56」2-26」2-4.54“2=16.5,所以长方形EFGH
面积为33.
【巩固】如图所示,正方形ABCD的边长为8厘米,长方形EBGF的长BG为10厘米,那么长方形的宽为几厘米?
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形).三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半.
证明:
连接AG.(我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起).
1
T在正方形ABCD中,Saabg二丄ABAB边上的高,
2
1
二Saab^2SABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半)
同理,
_]
SaabgSefgb.
2
=88--10=6厘米).
【例2】长方形ABCD的面积为36cm2,E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影部分面积是多少?
【解析】解法一:
寻找可利用的条件,连接BH、HC,如下图:
SaBCD=SAHB'S.CHB'S.CHD=36
11111
BEBF(—AB)(—BC)36=4.5
22228
所以阴影部分的面积是:
S阴影=18-S.ebf=18—4.5=13.5
解法二:
特殊点法.找H的特殊点,把H点与D点重合,那么图形就可变成右图:
这样阴影部分的面积就是DEF的面积,根据鸟头定理,则有:
s阴影二Sabcd-Saed-Sbef-Scfd=36-丄136-11136-丄-36=13.5.
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P,将正方形的一组对边
二等分,另一组对边三等分,分别与P点连接,求阴影部分面积.
【解析】(法1)特殊点法.由于P是正方形内部任意一点,可采用特殊点法,假设P点与A点重合,贝S阴影部分变为如上中图所示,图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的〕和1,所以阴影部分的面积为
46
62(--)=15平方厘米.
46
(法2)连接PA、PC.
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半,所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面积的1,所以阴
6
影部分的面积为62(-」)=15平方厘米.
46
【例3】如图所示,长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,
AD=15,四边形EFGO的面积为.
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的
面积之和,以及三角形AOE和DOG的面积之和,进而求出四边形EFGO的面积.
由于长方形ABCD的面积为158=120,所以三角形BOC的面积为1201=30,所以三角形AOE和DOG的面积之和为120卫-70=20;
44
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为120--->30,所以(24丿'
四边形EFGO的面积为30-20=10.
另解:
从整体上来看,四边形EFGO的面积二三角形AFC面积•三角形BFD面积-白色部分的面积,而三角形AFC面积•三角形BFD面积为长方形面积的一半,即60,白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
分的面积,即120—70=50,所以四边形的面积为60-50=10.
【巩固】如图,长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点,AE=2ED,则阴影部分的面积为
1
根据蝶形定理,ON:
ND二Scoe:
S「cde=2S:
cae:
S「cde":
1
11亠
又SOED二--S巨形ABCD=3,SQEA=2S.QED=6,所以阴影部分面积为:
34
11
362.7.
25
【例4】已知ABC为等边三角形,面积为400,D、E、F分别为三边的中点,已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形
HBC)
【解析】因为D、E、F分别为三边的中点,所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线,也就与对应的边平行,根据面积比例模型,三角形ABN和三
角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半,即为200.
根据图形的容斥关系,有S.ABC_S丙二S.ABNS.AMC-SAMHN,
1
S阴影=8S乙S丙-Sadf=143-:
400=43.
【例5】如图,已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6,线段AB将图形分成两部分,左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是
【解析】
连接AF,BD.
根据题意可知,C^5715=27;DG=7•15•6=28;
八ADG,
所以,SBEF=27SCBF,Sbec=27Scbf,saeg=28Sadg,Saed二兄S.
于是:
28sadg'27scbf=65;28sadg■"27Scbf二38;可得S-adg=40.故三角形ADG的面积是40.
【例6】如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD:
AB=2:
5,AE:
AC=4:
7,SAade=16平方厘米,求△ABC的面积.
【解析】连接BE,SADE:
Saabe=AD:
AB=2:
5=(24):
(54),
S\ABE:
SAABC二AE:
AC=4:
7=(45):
(75),所以SaaDE:
SAA亍C(24):
(7,设
Saade=8份,则Saabc=35份,Saade=16平方厘米,所以1份是2平方厘米,
35份就是70平方厘米,△ABC的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角
或互补角)两夹边的乘积之比.
【巩固】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角形ADE的面积等于1,那么三角形ABC的面积是多少?
…S|_ABC=3SABE
又vAB=5AD
S|_ADE=S_ABE5=S_ABC15,…SABC~15SADE=15.
【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?
【解析】
连接AD.
VBE=3,AE=6
…AB=3BE,SABD=3SBDE
又VBD=DC=4,
…S|_ABC=2S_ABD,…SABC=6SBDE,E=5S?
.
【例7】如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:
AD=5:
2,AE:
EC=3:
2,S^ade12平方厘米,求△ABC的面积.
【解析】连接BE,S^ade0abe=AD:
AB=2:
5=(23):
(53)
SabeSabc=AE:
AC=3:
(32)=(35):
1(32)51,
所以Ssde:
Saabc=(32)I5(32)6:
5设S-de=6份,贝&abc=25份,
Saade=12平方厘米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例8】女口图,平行四边形ABCD,BE=AB,CF=2CB,GD=3DC,HA=4AD,平行四边形ABCD的面积是2,求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比.
•.•在△ABC禾口△BFE中,.ABC与.FBE互补,
・S^abcABBC111
•.———
fbeBEBF133
二1,所以SFBE
【例9】如图所示的四边形的面积等于多少?
【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形,难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换:
把三角形OAB绕顶点O逆时针旋转,使长为13的两条边重合,此时三角形OAB将旋转到三角形OCD的位置.这样,通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形,且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此,原来四边形的面积为1212=144.(也可以用勾股定理)
【例10】如图所示,SBC中,.ABC=90,AB=3,BC=5,以AC为一边向ABC外作正方形ACDE,中心为O,求OBC的面积.
【解析】如图,将OAB沿着O点顺时针旋转90,到达OCF的位置.
由于./ABC=90,ZAOC=90,所以./OABWOCB=180.而ZOCFZOAB,所以.OCF•.OCB=180,那么B、C、F三点在一条直线上.
由于OB=OF,BOF=.AOC=90,所以BOF是等腰直角三角形,且斜边BF为53=8,所以它的面积为821=16.
4
根据面积比例模型,-OBC的面积为165=10.
8
【例11】如图,以正方形的边AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE,
WAEB=90,AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形OBE的面积.
【解析】如图,连接DE,以A点为中心,将ADE顺时针旋转90到,ABF的位置.那么.EAF=•EAB••BAF=•EAB••DAE=90,而.AEB也是90,所以四边形AFBE是直角梯形,且AF二AE=3,
所以梯形AFBE的面积为:
12
35312(cm).
又因为ABE是直角三角形,根据勾股定理,AB2=AE2•BE2=32•52=34,
12
所以SAbd=AB=17(cm2).
【例12】如下图,六边形ABCDEF中,AB=ED,AF=CD,BC=EF,且有AB平行于ED,AF平行于CD,BC平行于EF,对角线FD垂直于BD,已知FD=24厘米,BD=18厘米,请问六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米?
【解析】如图,我们将BCD平移使得CD与AF重合,将DEF平移使得ED与AB重合,这样EF、BC都重合到图中的AG了.这样就组成了一个长方形BGFD,它的面积与原六边形的面积相等,显然长方形BGFD的面积为
2418=432平方厘米,所以六边形ABCDEF的面积为432平方厘米.
【例13】如图,三角形ABC的面积是1,
BD:
DC=1:
2,AD与BE交于点F.
E是AC的中点,点D在BC上,且则四边形DFEC的面积等于,
【解析】方法一:
连接CF,根据燕尾定理,
SAABF
Saacf
BD1
DC2,
SAABF
Sacbf
AE
EC
=1
设SaBDF=1份,则SaDCF-2份,如图所标
SaABF-3份,SAAEF二SAEFC二3份,
所以Sdcef
5
ABC
12
12
1
方法二:
连接DE,由题目条件可得到Saabd^SaABC1,所以聖=生迴J,
3'FESaade1'
SAADE=二&ADC'SAABC
223
Sadef
--Sabec
23
12
而Sacde=|1Saabc二-.所以则四边形DFEC的面积等于卫.
32312
【巩固】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
平方厘米.
【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0(如图所示).如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1,且A0=2,D0=3,那么CO的长度
3
是DO的长度的倍.
【解析】在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方法:
⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形.看到题目中给出条件
Sabd:
Sbcd-1:
3,这可以向模型一蝶形定理靠拢,于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比.再应用结论:
三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果.请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝶形定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题.
解法一:
TAO:
0C二Sabd:
Sbdc":
3,二OC=236二,二OO:
312二.解法二:
作AH_BD于H,CG_BD于G.
_1[_1
•S:
abd-:
Sbcd,…AHCG,…S「aod-S「doc,
333
…AO」CO,二OC=23=6,二OC:
OD=6:
3=2:
1.3
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:
⑴三角形BGC的面积;⑵AG:
GC=?
【解析】⑴根据蝶形定理,SBGC仁23,那么SBGC=6;
⑵根据蝶形定理,AG:
G^12:
36.1:
3.
【例15】如图,平行四边形ABCD的对角线交于0点,ACEF、△OEF、△ODF、
△BOE的面积依次是2、4、4和6.求:
⑴求厶OCF的面积;⑵求△GCE的面积.
【解析】⑴根据题意可知,ABCD的面积为244^16,那么△BCO和.CDO的面积都是16-:
-2=8,所以△OCF的面积为8-4=4;
⑵由于ABCO的面积为8,△BOE的面积为6,所以△OCE的面积为
8-6=2,
根据蝶形定理,EG:
Foscoe:
Scof=2:
^1:
2
为2平方厘米,求长方形ABCD的面积.
【例17】如图,正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点.求图中阴影部分的面积.
【解析】因为M是AD边上的中点,所以AM:
BC=1:
2,根据梯形蝶形定理可以知道
SaamgSabgSmcg:
Sabcg二十:
(12):
(12):
2?
=1:
2:
2:
4,设AGM,份,则
Samcd=12-3份,所以正方形的面积为1224^12份,
S阴影=22二份,所以S阴影:
S正方形=1:
3,所以$影=1平方厘米.
【巩固】在下图的正方形ABCD中,E是BC边的中点,AE与BD相交于F点,三角形BEF的面积为1平方厘米,那么正方形ABCD面积是平方厘米.
【解析】连接DE,根据题意可知BE:
AD=1:
2,根据蝶形定理得
2
S弟形(12)=9(平方厘米),ecd=3(平方厘米),那么SABCD=12(平方厘米).
【例18】已知ABCD是平行四边形,BC:
CE=3:
2,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AC.
由于ABCD是平行四边形,BC:
CE=3:
2,所以CE:
AD=2:
3,
根据梯形蝶形定理,Scoe:
Saoc:
Sdoe:
Saod=22:
23:
23:
3—4:
669,所以Saoc=6(平方厘米),Saod=9(平方厘米),又SabpS_Mcd91平方厘米),阴影部分面积为615=21(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【分析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么SOCD=SOAE.
2根据蝶形疋理,SOCDSOAE二SOCES0AD=49=36,故SOCD36,所以S-ocd=6(平方厘米).
【巩固】右图中ABCD是梯形,ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:
平方厘米),阴影部分的面积是平方厘米.
【解析】连接AE.由于AD与BC是平行的,所以AECD也是梯形,那么S.OCD-S.QAE.
根据蝶形定理,SOCDSOAE二SOCESOAD=28=16,故Socd=16,
所以4(平方厘米).
另解:
在平行四边形ABED中,S.ade#SabedW168=12(平方厘米),以S.AOE■S.ADE=12一8=4(平方厘米),
根据蝶形定理,阴影部分的面积为82亠4=4(平方厘米).
【例19】如图,长方形ABCD被CE、DF分成四块,已知其中3块的面积分别
为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC的面积为
平方厘米.
【解析】连接DE、CF.四边形EDCF为梯形,所以Seod二Sfoc,又根据蝶形定理,
S.EOD=4(平方厘米),Secd=48=12(平方厘米).那么长方形ABCD的面
积为122=24平方厘米,四边形OFBC的面积为24-5-2-8=9(平方厘
米).
【例20】如图,从BC是等腰直角三角形,DEFG是正方形,线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48,AK:
KB=1:
3,则BKD的面积是多少?
【解析】由于DEFG是正方形,所以DA与BC平行,那么四边形ADBC是梯形.在梯形ADBC中,.BDK和.ACK的面积是相等的.而AK:
KB=1:
3,所以UACK的面积是ABC面积的丄=丄,那么:
BDK的面积也是ABC面积的-.
1+344
由于ABC是等腰直角三角形,如果过A作BC的垂线,M为垂足,那么M是BC的中点,而且AM=DE,可见.ABM和ACM的面积都等于正方形DEFG面积的一半,所以ABC的面积与正方形DEFG的面积相等,为48.
那么=BDK的面积为48-=12.
4
【例21】下图中,四边形ABCD都是边长为1的正方形,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数印,那么,(mn)的值等于.
n
【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部
分的面积,再求阴影部分的面积.
如下图所示,在左图中连接EG.设AG与DE的交点为M.
左图中AEGD为长方形,可知AMD的面积为长方形AEGD面积的丄,所
4
以三角形AMD的面积为12--」.又左图中四个空白三角形的面积是
248
相等的,所以左图中阴影部分的面积为1」4丿.
82
如上图所示,在右图中连接AC、EF.设AF、EC的交点为N.
可知EF//AC且AC=2EF.那么三角形BEF的面积为三角形ABC面积的
1,所以三角形BEF的面积为121-,梯形AEFC的面积为---^3.
4248288
31
一X
8