高中数学必修5第三章不等式单元测试题解析.docx
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高中数学必修5第三章不等式单元测试题解析
第三章测试
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若<<0，则下列不等式中不正确的是（ ）
A．a＋b2
C．ab解析 由<<0，可得b答案 D
2．若a，b>0，且P＝，Q＝，则P，Q的大小关系是（ ）
A．P>QB．PC．P≥QD．P≤Q
解析 P2－Q2＝－（a＋b）
＝≤0，
所以P2≤Q2，即P≤Q.
答案 D
3．已知向量a＝（x，－1），b＝（y－1,1），x，y∈R＋，若a∥b，则t＝x＋＋y＋的最小值是（ ）
A．4B．5
C．6D．8
解析 由a∥b，得x＋y＝1.
∴t＝t（x＋y）＝（x＋y）＝1＋1＋＋＋1≥3＋2＝5.
当且仅当x＝y＝时，t取最小值5.
答案 B
4．若集合A＝{x|（2x＋1）（x－3）<0}，B＝{x∈N*|x≤5}，则A∩B是（ ）
A．{1,2,3}B．{1,2}
C．{4,5}D．{1,2,3,4,5}
解析 因为集合A＝{x|－答案 B
5．若mA．pC．p解析 将p，q看成变量，则m答案 B
6．当点（x，y）在直线x＋3y＝2上移动时，z＝3x＋27y＋1的最小值是（ ）
A．3B．7
C．1＋2D．6
解析 z＝3x＋27y＋1≥2＋1＝2＋1＝2＋1＝7.
答案 B
7.
如图，目标函数z＝kx－y的可行域为四边形OEFG（含边界），若点F是目标函数的最优解，则k的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析 kGF＝－，kEF＝－，由题意，知kEF≤k≤kGF.
答案 C
8．函数f（x）＝则不等式xf（x）－x≤2的解集为（ ）
A.B.
C.D.∪
解析 或解得－1≤x≤2.
答案 B
9．某金店用一杆不准确的天平（两臂不等长）称黄金，某顾客要买10g黄金，售货员先将5g的砝码放入左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g的砝码放入右盘，将另一黄金放入左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于10gB．小于10g
C．大于等于10gD．小于等于10g
解析 设天平的两边臂长分别为a，b，两次所称黄金的重量分别为xg，yg.
则所以x＋y＝＋>2＝10.
答案 A
10．对任意的a∈，函数f（x）＝x2＋（a－4）x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围为（ ）
A．（1,3）B．（－∞，1）∪（3，＋∞）
C．（－∞，1）D．（3，＋∞）
解析 y＝φ（a）＝（x－2）a＋（x2－4x＋4），
x＝2时，y＝0，所以x≠2.只需
答案 B
11．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为（ ）
A．8B．4
C．1D.
解析 ∵a>0，b>0,3a·3b＝3，∴a＋b＝1，
∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.
答案 B
12．对于使－x2＋2x≤m成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做－x2＋2x的上确界．若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－－的上确界为（ ）
A．－3B．－4
C．－D．－
解析 ∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，
∴＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，∴－－≤－，即－－的上确界为－.
答案 D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．设a>b，则①ac2>bc2；②2a>2b；③<；④a3>b3；⑤|a|>|b|.正确的结论有________．
答案 ②④
14．函数y＝2x2＋的最小值是________．
解析 y＝2x2＋＝2（x2＋1）＋－2≥2－2＝2×4－2＝6.
当且仅当2（x2＋1）＝.即x＝±1时，等号成立．
答案 6
15．已知不等式x2－ax－b<0的解集为（2,3），则不等式bx2－ax－1>0的解集为________．
解析 依题意知方程x2－ax－b＝0的两根为2,3，根据韦达定理可求得a＝5，b＝－6，所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得－答案
16．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费________元．
解析 设购买35kg的x袋，24kg的y袋，则35x＋24y≥106，x∈N，y∈N，共花费z＝140x＋120y，作出由对应的平面区域，则知目标函数在（1,3）点处取得最小值为500元．
答案 500
三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知a，b，x，y>0且>，x>y，
求证：
>.
证明：
－＝.
由>>0，可得b>a>0.
又∵x>y>0，∴bx>ay，x＋a>0，y＋b>0，
∴>0，∴>.
18．（12分）设f（x）＝（m＋1）x2－mx＋m－1.
（1）当m＝1时，求不等式f（x）>0的解集；
（2）若不等式f（x）＋1>0的解集为（，3），求m的值．
解
（1）当m＝1时，f（x）>0，即
2x2－x>0⇒x（2x－1）>0⇒x<0，或x>.
∴此时不等式的解集为（－∞，0）∪（，＋∞）．
（2）由f（x）＋1>0，得（m＋1）x2－mx＋m>0.
∵不等式的解集为（，3），
∴和3是方程（m＋1）x2－mx＋m＝0的两个根，
且m＋1<0.
∴解得m＝－.
19．（12分）已知关于x的不等式kx2－2x＋6k<0（k≠0）．
（1）若不等式的解集是{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
解
（1）∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集是{x|x<－3或x>－2}，
∴方程kx2－2x＋6k＝0的两根为－3，－2，且k<0.
由根与系数的关系得∴k＝－.
（2）∵不等式kx2－2x＋6k<0的解集为R，
∴解得
故k的取值范围是.
20．（12分）某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？
解 设每盒盒饭需要面食x百克，米食y百克，所需费用为z＝0.5x＋0.4y，且x，y满足
作出可行域，如图所示．由图可知，平行直线系y＝－x＋z过点A时，纵截距z最小，即z最小．由解得点A.
所以每盒盒饭为面食百克，米食百克时，既科学又费用最少．
21．（12分）若f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数，且对一切x>0，y>0满足f＝f（x）－f（y），若f
（2）＝1，解不等式f（x＋3）－f<2.
解 由f（x＋3）－f<2，得
即
又f＝f（4）－f
（2），∴f（4）＝2f
（2）＝2.
∴
∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，
∴解得022．（12分）某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
（1）该船捕捞几年开始盈利？
（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）
（2）该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪一种方案较为合算，请说明理由．
解
（1）设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则y＝50n－－98＝－2n2＋40n－98.
由y>0，得n2－20n＋49<0，
解得10－则3≤n≤17，故n＝3.即捕捞3年后，开始盈利．
（2）①平均盈利为＝－2n－＋40≤－2＋40＝12，当且仅当2n＝，即n＝7时，年平均盈利最大．
故经过7年捕捞后年平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110万元．
②∵y＝－2n2＋40n－98＝－2（n－10）2＋102，
∴当n＝10时，y的最大值为102.
即经过10年捕捞盈利总额最大，共盈利102＋8＝110万元．
综上知两种方案获利相等，但方案②的时间长，所以方案①合算．
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