排班问题的最优数学规划资料.docx
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排班问题的最优数学规划资料
排班问题的最优数学规划
摘要
本文主要研究的是在规定条件下排班问题的最优化方案。
通过对问题条件的分析，建立相应的数学模型，得到各种情况下最小的机房总支付报酬。
针对问题一：
我们用数学规划方法中的目标规划方法，确定总支付报酬的目标函数以及约束条件，建立目标规划模型。
在模型中我们采用等效替代的方法，假设无人值班情况为学生7，学生7可在任意时刻“值班”，机房需支付学生7报酬50元/小时。
借助于lingo软件对模型进行求解，最终得到多组值班表，且每组值班表所对应的最小机房总支付报酬均为827元。
针对问题二：
我们延续问题一的目标规划模型，在模型中加入题设所给定的两个约束条件，在此基础上建立模型。
借助lingo软件对模型进行求解，最终得到总支付报酬最小情况下唯一的一组值班表，且其所对应的最小机房总支付报酬为1071元。
针对问题三：
通过Excel随机函数来产生6名学生的课表，针对此课表修改前面已建立模型。
通过lingo软件对模型进行求解，最终可得到在该课表下最优的值班表，且其所对应的最小机房总支付报酬为809元。
关键字：
目标规划模型等效替代lingo软件Excel随机函数
第一部分问题重述……………………………………………………………
（1）
第二部分问题分析……………………………………………………………
（1）
第三部分模型的假设…………………………………………………………
（2）
第四部分定义与符号说明……………………………………………………
（2）
第五部分模型的建立与求解…………………………………………………（3）
1.问题1的模型………………………………………………………………（3）
模型Ⅰ……………………………………………………………………（4）
2．问题2的模型………………………………………………………………（4）
模型Ⅰ……………………………………………………………………（4）
3.问题3的模型………………………………………………………………（5）
模型Ⅰ……………………………………………………………………（5）
第六部分模型的评价…………………………………………………………（6）
第七部分参考文献…………………………………………………………（6）
第八部分附录…………………………………………………………………………（7）
一、问题重述
某实验教学中心机房准备聘用4名本科学生（代号1、2、3、4）和2名研究生（代号5、6）值班进行答疑。
已知每人从周一到周五最多可安排的值班时间及每小时值班报酬。
由于该机房开放时间为上午8:
00到晚22:
00，开放时间内须有且仅需一名学生值班，又规定每名本科生每周值班不得少于8小时，研究生每周值班不少于7小时。
若某时段无人值班则每小时损失50元。
要求
1、建立该机房总支付报酬最小的数学模型并求解。
2、在上述基础上补充下面两个要求，一是每名学生每周值班不超过2次，二是每天安排的学生不超过3人，重新建立数学模型并求解。
3、考虑到实际情况中，学生需要上课，学生只能在空闲时间值班（可以不考虑上表中的每天值班时间上限）。
在此条件下建立数学模型，求解出支付报酬最小的值班方案。
（学生课程表可以调查周围同学课程表或者按照一天3~6节课，一周两次晚自习的条件随机生成）。
二、问题分析
本题属于求解最优化问题，需要用数学规划方法对问题进行求解；
针对问题一:
本题属于在规定条件下的规划问题，在给定的条件下建立最小支付报酬的目标函数，同时确定约束条件，确立合适的数学模型。
借助计算机软件lingo编程对模型进行求解，得到机房的最小支付报酬。
模式图如下：
针对问题二：
问题二在问题一的基础上新增了两个约束条件，保持问题一中的模型不变，再加上两个约束条件后得到新的模型，随后对模型进行求解。
针对问题三：
问题三中，由于本科生和研究生的课表未确定，首先应用软件随机产生六名学生的课表。
随后这个问题就回归到问题一的模型当中，然后再对模型进行求解，得到机房所需最低的支付报酬。
三、模型假设
假设一：
假设题目中所给的数据真实可靠；
假设二：
假设本科生和研究生值班的效果相同；
假设三：
无人值班时所支付的报酬相当于代号为7的学生值班所得报酬。
则7号学生在岗位时无人值班，且机房需要支付报酬50元/小时；
假设四：
本科生的课程数目比研究生多；
四、定义与符号说明
为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如下图所示。
期同期的一些变量将陆续在文中说明。
符号
意义
学生编号
星期数
总支付报酬
编号为
的学生星期
值班时间
编号为
的学生星期
值班报酬
媒介函数
五、模型的建立与求解
第一部分：
准备工作
（1）数据的处理：
由于考虑到某时刻无人值班，假设无人值班这种情况为学生编号为7。
则学生7在周一到周五任何时段均有可能“值班”，且机房需支付50元/小时报酬。
经过处理，可得到以下数据：
学生代号
报酬（元/小时）
每天最多安排的值班时间/小时
周一
周二
周三
周四
周五
1
10
6
0
6
0
7
2
10
0
6
0
6
0
3
12
4
8
3
0
5
4
12
5
5
6
0
4
5
15
3
0
4
8
0
6
16
0
6
0
6
3
7
50
14
14
14
14
14
第二部分:
问题一的模型
（1）模型Ⅰ
根据题意可知，令机房总支付报酬
取最小值，得到目标函数为：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
注：
为媒介函数，且：
=0；
=0
=1；
≠0
模型Ⅰ的求解：
通过lingo软件编程（源程序见附录【1】），可以得到多组最优解，每组最优解的机房支付总报酬为827元。
因为最优解在一般条件下一组已经足够，此处列出具体两种值班安排:
值班安排表1
值班安排表2
第三部分:
问题二的数学模型
（1）模型Ⅱ
问题二在问题一的模型Ⅰ基础上，补充了两个要求。
保持模型Ⅰ的条件不变，在模型Ⅰ的条件下增加两个约束条件。
即：
（6）
（7）
模型Ⅱ的求解：
再次通过lingo软件编程（源程序见附录【2】），只得到一组最优解，而且最优解的机房支付总报酬为1071元。
在此列出程序执行所得结果以及值班安排表，如下：
值班时间分布图
学生代号
报酬
周一
周二
周三
周四
周五
总计
1
10
6
0
0
0
7
130
2
10
0
6
0
6
0
120
3
12
0
8
0
0
5
156
4
12
5
0
6
0
0
132
5
15
3
0
4
0
0
105
6
16
0
0
0
6
2
128
7
50
0
0
4
2
0
300
1071
值班安排表3
第四部分:
问题三的数学模型
（1）应用模型Ⅰ求解：
通过Excel软件通过随机函数产生学生的课程表。
在产生课程表的时，按照一天3~6节课（包括晚自习），并且考虑本科生的课程数目较多、而研究生的课程数目较少。
具体的产生结果如下：
由于问题三和问题一的前提条件相同，因此将生成的课程表代入模型Ⅰ，通过lingo软件编程（源程序见附录【3】），得到在此课表下的支付报酬最小的排班情况和排班表如下，机房最少总支付报酬为809元。
六、模型的推广与评价
模型Ⅰ的评价：
（1）模型利用目标规划问题的基本方法，采用lingo软件对模型进行求解，最终可以具体地列出排班情况表，最终求得的结果比较精确、可靠性好。
（2）模型Ⅰ在利用软件求解时得到的排班情况较多，不可能一一列出，而且不能将学生在当时时间段是否有课。
同时采用excel软件产生本科生和研究生的课表，与实际情况相差可能比较大。
（3）模型Ⅰ可以进行适当改进，使用多种算法，如“模拟退火算法”或者“遗传算法”来进一步解决排班问题，实现总支付报酬最低。
同时也可以将计算结果育模型一的结果进行比较，进一步得到排班问题的最优解，实现支付报酬最小化。
（4）模型的运用功能强大，可以应用到生活中的各种排班问题当中，实现支付报酬的最优化。
模型的推广：
此模型利用起来相对容易，可以容易地用各大于企业、学校等单位的排班问题，实现经费的最低化。
七、参考文献
[1]马超群、兰秋军、周忠宝，《运筹学》，长沙：
湖南大学出版社，2008.12。
第33~43页；
[2]隋树林、杨树国、朱善良，《数学建模教程》，北京：
化学工业出版社，2015.7。
第93页；
[3]赖炎连、贺国平，《最优化方法》，北京：
清华大学出版社，2008.12。
[4]张冬梅、颜丽、金鑫，数学建模排班问题
八、附录
附录【1】
model:
title:
实验教学中心机房值班问题1;
sets:
peo/1..7/:
pay;
week/1..5/;
link（peo,week）:
t,a,b;
endsets
data:
pay=10,10,12,12,15,16,50;
a=
60607
06060
48305
55604
30480
06063
1414141414;
enddata
min=@sum（link（i,j）:
t（i,j）*pay（i））;
@for（week（j）:
@sum（peo（i）:
t（i,j））=14）;
@for（link（i,j）:
t（i,j）>=b（i,j））;
@for（link（i,j）:
t（i,j）<=a（i,j）*b（i,j））;
@for（peo（i）|i#le#4:
@sum（week（j）:
t（i,j））>=8）;
@for（peo（i）|i#le#6:
@sum（week（j）:
t（i,j））>=7）;
@for（link:
@bin（b））;
end
附录【2】
model:
title:
实验教学中心机房值班问题2;
sets:
peo/1..7/:
pay;
week/1..5/;
link（peo,week）:
t,a,b;
endsets
data:
pay=10,10,12,12,15,16,50;
a=
60607
06060
48305
55604
30480
06063
1414141414;
enddata
min=@sum（link（i,j）:
t（i,j）*pay（i））;
@for（week（j）:
@sum（peo（i）:
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@for（link（i,j）:
t（i,j）>=b（i,j））;
@for（link（i,j）:
t（i,j）<=a（i,j）*b（i,j））;
@for（peo（i）|i#le#4:
@sum（week（j）:
t（i,j））>=8）;
@for（peo（i）|i#le#6:
@sum（week（j）:
t（i,j））>=7）;
@for（week（j）:
@sum（peo（i）|i#le#6:
b（i,j））<=3）;
@for（peo（i）:
@sum（week（j）|i#le#6:
b（i,j））<=2）;
@for（link:
@bin（b））;
end
附录【3】
model:
title:
实验教学中心机房值班问题3;
sets:
peo/1..7/:
pay;
week/1..35/;
link（peo,week）:
t,a,b;
endsets
data:
pay=10,10,12,12,15,16,50;
a=
20222000020220002000000200202020000
02200200022220222002022200200022000
00200022222022002020202220000222000
20200200220000002002000200200020022
20220202220222222222222222022022222
22220022022002202022202202200222202
22222222222222222222222222222222222
;
enddata
min=@sum（link（i,j）:
t（i,j）*pay（i））;
@for（week（j）:
@sum（peo（i）:
t（i,j））=2）;
@for（link（i,j）:
t（i,j）>=b（i,j））;
@for（link（i,j）:
t（i,j）<=a（i,j）*b（i,j））;
@for（peo（i）|i#le#4:
@sum（week（j）:
t（i,j））>=8）;
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@sum（week（j）:
t（i,j））>=7）;
@for（link:
@bin（b））;
end
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