高二数学函数的概念.docx

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高二数学函数的概念

2017高二数学函数的概念

2017高二数学函数的概念

一.知识网络

二.高考考点

1.映射中的象与原象的概念;

2.分段函数的问题:

定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题;

3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题;

4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用.

三.知识要点

（一）函数的定义

1、传统定义:

设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量（函数）.

2、现代定义:

设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应,那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f（x）,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合｛f（x）|x∈A｝叫做函数的值域.

3、认知:

①注意到现代定义中"A、B是非空数集",因此,今后若求得函数定义域或值域为φ,则此函数不存在.

②函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定.

（二）.映射的概念

将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念.

1、定义1:

设A、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应（包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射,记作f：

A→B

2、定义2:

给定一个集合A到集合B的映射f：

A→B,且a∈A,b∈B,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有f：

a→b,则b叫做a的象,a叫做b的原象.

3、认知:

映射定义的精髓在于"任一（元素）对应唯一（元素）",即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可"一对多",允许"多对一".因此,根据B中元素有无剩余的情况,映射又可分为"满射"和"非满射"两类.

集合A到集合B的映射f：

A→B是一个整体,具有方向性；f：

A→B与f：

B→A一般情况下是不同的映射.

（三）、函数的表示法

表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法.

1、解析法:

把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.

2、列表法:

列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数.

3、图象法:

用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法.

图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系.

认知:

函数符号的意义

在函数的概念中,我们用符号"y=f（x）"表示"y是x的函数"这句话.

其中,对于运用解析法给出的函数y=f（x）,其对应法则"f"表示解析式蕴含的对自变量x施加的"一套运算的法则",即一套运算的框架.

具体地,对于函数f（x）=5-2x+3（x1）　①　对应法则"f"表示这样一套运算的框架:

5（　）－2（　）＋3，（　）＞１．

即f:

5（　）-2（　　）+3,（　　）1.　据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析:

f（a）:

对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f（a）=5-2a+3（a1）;

f（x）:

对自变量x实施上述运算后的结果,故有f（x）=5-2x+3（x1）;

f（g（x））:

对函数g（x）实施上述运算后的结果,于是有　f（g（x））=5（x）-2g（x）+3（g（x）1）　　　　②

感悟:

函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味①、②,不难从中悟出这样的代换规律:

f（x）的解析式f[g（x）]的表达式

我们将上述替换形象地称之为"同位替换".

显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于"等量替换"，又高于"等量替换"，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是"等量替换"所不能比拟的.由f（x）的解析式导出f（x+1）的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例.

四.经典例题

例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥OC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:

x=ｔ,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f（t）的大致图象是以下图形中（　　）　　　　　　　　　

分析1:

立足于f（t）在t∈[0,1]上的函数式.直线OA的方程为y=2x,　故当0≤t≤1时,　ｓ＝，,由此否定A,B,D,应选C.

分析2:

运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态.

当l在Ｏ,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即ΔS1,ΔS2...,ΔSn是递增的（ΔSi是单位时间内面积的增量）,故排除A和B,对于C和D,由t∈[0,1]时f（t）=的凹凸性可排除D,故应选C.

例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分别为O（0,0）,A（6,0）,

B（4,2）,C（2,2）,一条与y轴平行的直线ｌ从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线ｌ与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线ｌ截得的在左侧的图形面积为y,求函数y=f（x）的解析式,定义域及值域.　

分析:

如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定ｌ左侧图形形状的关键点,故以x=2,4分划讨论的区间.

解:

（1）当0≤x≤2时,上述图形是一等腰RtΔ,此时,ｙ＝,即;

（2）当2　　（3）当4　　因此,综合

（1）、

（2）、（3）得所求y=f（x）的解析式为

由此可知,f（x）的定义域为[0,2]∪∪=[0,6].

又当0≤x≤2时,,即此时0≤y≤2;　　当2　　当4　点评:

分段函数问题的基本解题策略:

分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况.

例3.

（1）已知f（x）=x2+2x-1（x2）,求f（2x+1）的解析式;　

（2）已知,求f（x＋1）的解析式.

解:

（1）∵f（x）=x2+2x-1（x2）　∴以2x+1替代上式中的x得f（2x+1）=（2x+1）2+2（2x+1）-1（2x+12）

∴f（2x+1）=4x2+8x+2（x1/2）

（2）由已知得　∴以x替代上式中的得　f（x）=x2-1（x≥1）

∴f（x+1）=（x＋1）2-1（x+1≥1）　即f（x+1）=x2+2x（x≥0）

点评:

上述求解也可运用换元法,但是,不论是"换元法",还是上面实施的"同位替换",它们都包括两个方面的替换:

（1）解析式中的替换;　

（2）取值范围中的替换.　根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可.

例4.设y=f（2x+1）的定义域为[-1,1],f（x-1）=x2,试求不等式f（1-x）　　分析:

为将不等式f（1-x）　　解:

由题设知,在y=f（2x+1）中有-1≤x≤1-1≤2x+1≤3,

∴运用"同位替换"的思想　在f（x-1）中应有-1≤x-1≤3　①　　又由题设知f（x-1）=（x-1）2+2（x-1）+1　②

∴由①、②得f（x-1）=（x-1）2+2（x-1）+1　（-1≤x-1≤3）　∴f（1-x）=（1-x）2+2（1-x）+1　（-1≤1-x≤3）　即f（1-x）=x2-4x+4　（-2≤x≤2）

于是有f（1-x）　　因此,所求不等式f（1-x）　　点评:

在这里,三个不同函数f（2x+1）,f（x-1）,f（x+1）均以x为自变量,x是"一仆三主".因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意"两方替换",双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例.

例5.

（1）设A={a,b,c},B={-1,0,1},映射f：

A→B

①若映射f满足f（a）f（b）≥f（c）,则映射f的个数为　　　　　　;

②若映射f满足f（a）+f（b）+f（c）=0,则映射f的个数为　　　　;

③若映射f满足f（a）-f（b）=f（c）,则映射f的个数为　　　　.

（2）设A={1,2,3,4,5},B={6,7,8},从A到B的映射f满足f

（1）≤f

（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）,则映射f的个数为　　　　.

分析:

注意到f（a）的意义:

在映射f：

A→B之下A中元素a的象,故有f（a）,f（b）,f（c）∈B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法.

解:

（1）由已知得f（a）,f（b）,f（c）∈B

①列表法：

∵f（a）f（b）≥f（c）　∴f（a）只能取0或1,f（c）只能取-1或0.

根据映射的定义,以f（a）取值从大到小的次序列表考察:

　　f（a）　　f（b）　　f（c）　　1　　0　　0　　1　　0　　-1　　1　　-1　　-1　　0　　-1　　-1　　由此可知符合条件的映射是4个.

②列表法:

注意到f（a）+f（b）+f（c）=0,又B中三个元素之和为0的情形只有两种:

0+0+0;1+（-1）+0,以a的象f（a）的取值（从小到大）为主线列表考察　　f（a）　　f（b）　　f（c）　　0　　0　　0　　0　　1　　-1　　0　　-1　　1　　1　　0　　-1　　1　　-1　　0　　-1　　1　　0　　-1　　0　　1

由此可知符合条件的映射有7个.

③分类讨论：

f（a）-f（b）=f（c）f（a）=f（b）+f（c）即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线（从小到大）展开讨论.

（i）当象集合为单元素集合时,只有象集{0}满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个.

（ii）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0}或{1,0}{-1,0}:

-1=0+（-1）,-1=（-1）+0;{1,0}:

1=0+1,1=1+0

此时符合条件的映射有4个.

（iii）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为{-1,0,1}{-1,0,1}:

0=1+（-1）,0=（-1）+1∴此时符合条件的映射f有2个

于是综合（i）、（ii）、（iii）得符合条件的映射f的个数为7.

（2）分类讨论:

以象集合中元素的个数（从小到大）为主线展开讨论.

（i）当象集合为单元素集时,象集为{6}或{7}或{8},故此时满足条件的映射f有3个;

（ii）当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有×3=12个;

（iii）当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有×1=6个。

于是综合（i）、（ii）、（iii）得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21.

点评:

在认知f（λ）（λ∈A）的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数（从小到大）为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法（通性通法）,请同学们在今后的解题中注意应用.

例6.已知函数f（