高二数学函数的概念.docx

1、高二数学函数的概念2017高二数学函数的概念2017高二数学函数的概念一.知识网络 二.高考考点 1.映射中的象与原象的概念; 2.分段函数的问题:定义域、值域以及相关的方程或不等式的解的问题; 3.复合函数的解析式、图象以及相关的最值等问题; 4.分类讨论、数形结合等数学思想方法的应用. 三.知识要点 (一)函数的定义 1、传统定义:设在某一变化过程中有两个变量x和y,如果对于某一范围内x的每一个值,y都有唯一的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,y叫做因变量(函数). 2、现代定义:设A、B是两个非空数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x ,在集合B中

2、都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f：AB为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),xA.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域. 3、认知: 注意到现代定义中A、B是非空数集,因此,今后若求得函数定义域或值域为,则此函数不存在. 函数对应关系、定义域和值域是函数的三要素,缺一不可.在函数的三要素中,对应关系是核心,定义域是基础,当函数的定义域和对应法则确定之后,其值域也随之确定. (二).映射的概念 将函数定义中的两个集合从非空数集扩展到任意元素的集合,便得到映射概念. 1、定义1:设A、

3、B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,那么这样的对应(包括集合A、B及集合A到集合B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射,记作 f：AB 2、定义2:给定一个集合A到集合B的映射 f：AB,且aA,bB,如果在此映射之下元素a和元素b对应,则将元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.即如果在给定映射下有 f：ab,则b叫做a的象,a叫做b的原象. 3、认知: 映射定义的精髓在于任一(元素)对应唯一(元素),即A中任一元素在B中都有唯一的象.在这里,A中元素不可剩,允许B中有剩余；不可一对多,允许多对一.因此,根据B中元素有无剩

4、余的情况,映射又可分为满射和非满射两类. 集合A到集合B的映射 f：AB是一个整体,具有方向性； f：AB 与 f：BA 一般情况下是不同的映射. （三）、函数的表示法 表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法和口头描述法. 1、解析法:把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式. 2、列表法:列出表格表示两个变量的函数关系的方法.运用列表法表示的,多是理论或实际生活中偏于实用的函数. 3、图象法:用函数图象表示两个变量之间函数关系的方法. 图象法直现形象地表示出函数的变化情况,是数形结合的典范.只是它不能精确表示自变量与函数值之间的对应关系. 认知

5、:函数符号的意义 在函数的概念中,我们用符号y=f(x)表示y是x的函数这句话. 其中,对于运用解析法给出的函数y=f(x),其对应法则f表示解析式蕴含的对自变量x施加的一套运算的法则,即一套运算的框架. 具体地,对于函数f(x)=5 -2x+3(x1)对应法则f表示这样一套运算的框架:5() 2（）3，（） 即f: 5() -2( )+3,( )1.据此,我们可分别对函数值与函数表达式作以诠释和辩析: f(a):对自变量x的取值a实施上述运算后的结果,故有f(a)=5 -2a+3 (a1); f(x):对自变量x实施上述运算后的结果,故有f(x)=5 -2x+3 (x1); f(g(x):对

6、函数g(x)实施上述运算后的结果,于是有f(g(x)=5 (x)-2g(x)+3 ( g(x)1 ) 感悟:函数符号意义之下的产物或推论有比较才能有鉴别,有品味才能有感悟.我们仔细地比较和品味、,不难从中悟出这样的代换规律: f(x)的解析式fg(x)的表达式 我们将上述替换形象地称之为同位替换. 显然,同位替换是在函数符号的意义下产生的函数特有的替换,它源于等量替换，又高于等量替换，对于同位替换,在两式不可能相等的条件下仍可操作实施,这是等量替换所不能比拟的.由f(x)的解析式导出f(x+1)的解析式,便是辩析两种替换的一个很好的范例. 四.经典例题 例1.如右图,在直角梯形OABC中,AB

7、OC,BCOC,且AB=1,OC=BC=2,直线l:x=,截此梯形所得位于l左方的图形面积为S,则函数S=f(t)的大致图象是以下图形中( ) 分析1:立足于f(t)在t0,1上的函数式.直线OA的方程为y=2x,故当0t1时, ，,由此否定A,B,D,应选C. 分析2:运用运动的观点,感悟函数图象所反映的函数值随着自变量的变化而变化的状态. 当l在,D之间运动时,S随着t的增加而增加,并且增加的速度越来越快,即S1, S2., Sn是递增的(Si是单位时间内面积的增量),故排除A和B,对于C和D,由t0,1时f(t)= 的凹凸性可排除D,故应选C. 例2.如图所示,梯形OABC各顶点的坐标分

8、别为O(0,0),A(6,0), B(4,2),C(2,2),一条与y轴平行的直线从点O开始作平行移动,到点A为止.设直线与x轴的交点为M,OM=x,并记梯形被直线截得的在左侧的图形面积为y,求函数 y=f(x)的解析式,定义域及值域. 分析:如图,由于点M位置的不同,所得图形的形状与面积不同,故需要分类讨论,注意到决定左侧图形形状的关键点,故以x=2,4 分划讨论的区间. 解:(1)当0x2时,上述图形是一等腰Rt,此时, ,即 ; (2)当2(3)当4因此,综合(1)、(2)、(3)得所求y=f(x)的解析式为 由此可知,f(x)的定义域为0,2 =0,6. 又当0x2时, ,即此时0y2

9、;当2当4点评:分段函数问题的基本解题策略:分段研究,综合结论.不过,在研究由实际问题产生的函数及其两域时,必须具体问题具体分析,必须考虑所给问题的实际情况. 例3. (1)已知f(x)=x2+2x-1(x2),求f(2x+1)的解析式;(2)已知 ,求f(x1)的解析式. 解: (1) f(x)=x2+2x-1 (x2)以2x+1替代上式中的x得f(2x+1)=(2x+1)2+2(2x+1)-1 (2x+12) f(2x+1)=4x2+8x+2 (x1/2 ) (2)由已知得 以x替代上式中的 得f(x)=x2-1 (x1) f(x+1)=(x1)2-1 (x+11)即f(x+1)=x2+2

10、x (x0) 点评:上述求解也可运用换元法,但是,不论是换元法,还是上面实施的同位替换,它们都包括两个方面的替换: (1)解析式中的替换;(2) 取值范围中的替换.根据函数三要素的要求,这两个方面的替换缺一不可. 例4. 设y=f(2x+1)的定义域为-1,1,f(x-1)=x2,试求不等式f(1-x)分析:为将不等式f(1-x)解:由题设知,在y= f(2x+1)中有-1x1 -12x+13, 运用同位替换的思想在f(x-1)中应有-1x-13又由题设知f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1 由、得f(x-1)=(x-1)2+2(x-1)+1(-1x-13)f(1-x)=(1-x)2+

11、2(1-x)+1(-11-x3)即f(1-x)=x2-4x+4(-2x2) 于是有f(1-x)因此,所求不等式f(1-x)点评:在这里,三个不同函数f(2x+1), f(x-1), f(x+1)均以x为自变量,x是一仆三主.因此,在探求函数解析式或定义域时,一定要注意两方替换,双管齐下.本例便是多次实施同位替换的良好范例. 例5. (1)设A=a,b,c,B=-1,0,1,映射f：AB 若映射f满足f(a)f(b)f(c),则映射f的个数为 ; 若映射f满足f(a)+f(b)+f(c)=0,则映射f的个数为 ; 若映射f满足 f(a)-f(b)=f(c), 则映射f的个数为. (2)设A=1,

12、2,3,4,5,B=6,7,8,从A到B的映射f满足f(1)f(2)f(3)f(4)f(5),则映射f的个数为 . 分析:注意到f(a)的意义:在映射f：AB之下A中元素a的象,故有f(a),f(b),f(c)B.为便于梳理思路,解答这类题经常运用列表法或分类讨论的方法. 解: (1)由已知得f(a),f(b),f(c)B 列表法：f(a)f(b)f(c)f(a)只能取0或1,f(c)只能取-1或0. 根据映射的定义,以f(a)取值从大到小的次序列表考察:f(a)f(b)f(c)10010-11-1-10-1-1由此可知符合条件的映射是4个. 列表法:注意到f(a)+f(b)+f(c)=0,又

13、B中三个元素之和为0的情形只有两种:0+0+0;1+(-1)+0,以a的象f(a)的取值(从小到大)为主线列表考察f(a)f(b)f(c)00001-10-1110-11-10-110-101 由此可知符合条件的映射有7个. 分类讨论：f(a)-f(b)=f(c) f(a)=f(b)+f(c)即a的象等于其它两个元素的象的和.以象集合元素的个数为主线(从小到大)展开讨论. （ i ）当象集合为单元素集合时,只有象集0满足已知条件,此时符合条件的映射f只有1个. （ ii ）当象集合为双元素集合时,满足条件的象集合为-1,0或1,0 -1,0:-1=0+(-1),-1=(-1)+0;1,0:1=

14、0+1,1=1+0 此时符合条件的映射有4个. （ iii ）当象集合为三元素集合时,满足条件的象集合为-1,0,1 -1,0,1: 0=1+(-1), 0=(-1)+1此时符合条件的映射f有2个 于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为7. (2)分类讨论:以象集合中元素的个数(从小到大)为主线展开讨论. (i)当象集合为单元素集时,象集为6或7或8,故此时满足条件的映射f有3个; (ii)当象集合为双元素集时,先将A中元素分为两组,有 种分法,又每两组的象有3种情形,故此时符合条件的映射f有 3=12个; (iii)当象集合为三元素集时,先将A中元素分为3组,有 种分法，又每三组的象只有1种情形,故此时符合条件的映射f有 1=6个。于是综合(i)、(ii)、(iii)得符合条件的映射f的个数为3+12+6=21. 点评:在认知f()(A)的意义以及题设条件的意义的基础上,以象集元素的个数(从小到大)为主线展开讨论,是解决此类映射问题的通用方法(通性通法),请同学们在今后的解题中注意应用. 例6. 已知函数f(